Terminale E · Leçon 11
Transformations et configurations
Réflexions et composées de réflexions
Une isométrie du plan est une transformation \(f : \mathcal{P} \to \mathcal{P}\) qui conserve les distances : pour tous points \(M\) et \(N\) du plan, \(f(M)f(N) = MN\). Toute isométrie est bijective, conserve l'alignement, les milieux, les angles géométriques, les aires, et transforme droites en droites et cercles en cercles de même rayon.
On distingue deux familles selon qu'elles conservent ou renversent l'orientation du plan. Les déplacements conservent les angles orientés : ce sont les translations et les rotations. Les antidéplacements changent les angles orientés en leurs opposés : ce sont les réflexions (symétries axiales) et les symétries glissées (réflexion composée d'une translation selon l'axe).
La composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation : le vecteur est perpendiculaire aux axes, de norme égale au double de leur distance. La composée de deux réflexions d'axes sécants en \(O\) est une rotation de centre \(O\), d'angle égal au double de l'angle orienté formé par les deux axes (pris dans l'ordre de composition).
Soient \(d_1 : x = 0\) (axe des ordonnées) et \(d_2 : x = 2\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la translation de vecteur \(\vec{u} = (4,\,0)\). En effet les axes sont parallèles, écartés de \(2\), et le vecteur est perpendiculaire d'amplitude \(2 \times 2 = 4\).
Soient \(d_1 : y = 0\) et \(d_2\) l'axe faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) avec \(d_1\), tous deux passant par \(O\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\).
L'ordre de composition compte pour les réflexions d'axes sécants : \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation d'angle \(+2\alpha\) où \(\alpha = (d_1, d_2)\), mais \(s_{d_1} \circ s_{d_2}\) donne l'angle \(-2\alpha\). On n'intervertit pas les facteurs sans signe.
Figure interactive — Composition de deux réflexions axiales
axe \(d_2\)
point \(P\) initial
image \(P'\) finale
image intermédiaire \(P_1\)
Écriture complexe des transformations du plan
Dans le plan complexe, on note \(M(z)\) le point d'affixe \(z\) et \(M'(z')\) son image. Les transformations fondamentales s'écrivent :
\[\text{Translation de vecteur d'affixe } b : \quad z' = z + b\] \[\text{Rotation de centre } \Omega(\omega), \text{ angle } \theta : \quad z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)\] \[\text{Homothétie de centre } \Omega(\omega), \text{ rapport } k \in \mathbb{R}^* : \quad z' - \omega = k(z - \omega)\] \[\text{Réflexion d'axe } (Ox) : \quad z' = \bar{z}\]Partant de \(z' = az + b\) avec \(|a| = 1\) et \(a \neq 1\), on identifie \(\theta = \arg a\) et le centre \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\). Il suffit ensuite de vérifier que \(\omega\) est bien fixe : \(a\omega + b = \omega \Leftrightarrow \omega(a-1) = -b \Leftrightarrow \omega = \dfrac{b}{1-a}\).
Déterminons l'écriture de la rotation \(r\) de centre \(\Omega(1+i)\)
et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
On écrit \(z' - (1+i) = e^{i\pi/2}(z - (1+i)) = i(z-1-i)\),
donc \(z' = iz - i(1+i) + 1 + i = iz + 1 - i^2 + i - i = iz + 1 + 1 = iz + 2\).
Vérification : \(r(\Omega)\) vaut \(i(1+i)+2 = i - 1 + 2 = 1 + i = \omega\). Correct.
On donne \(f : z' = -z + 2 + 4i\). Ici \(a = -1 = e^{i\pi}\), donc \(|a| = 1\) et \(\theta = \pi\) : il s'agit d'une rotation d'angle \(\pi\), c'est-à-dire d'une symétrie centrale. Son centre vaut \(\omega = \dfrac{2+4i}{1-(-1)} = \dfrac{2+4i}{2} = 1+2i\). C'est la symétrie centrale de centre \((1;\,2)\).
Soit \(h : z' = 3z - 6 + 6i\). On a \(a = 3 \in \mathbb{R}^*\), \(\theta = 0\) : c'est une homothétie de rapport \(3\). Centre : \(\omega = \dfrac{-6+6i}{1-3} = \dfrac{-6+6i}{-2} = 3 - 3i\). L'homothétie a pour centre \(\Omega(3;\,-3)\) et pour rapport \(3\).
Quand \(a\) est réel positif, c'est une homothétie (angle nul). Quand \(a\) est réel négatif, c'est une homothétie de rapport \(|a|\) suivie d'une rotation d'angle \(\pi\), ce qui revient à une similitude directe dont on calcule quand même le centre par la formule.
Figure interactive — Rotation dans le plan complexe
image \(M'(z')\)
centre \(\Omega\)
Similitudes directes
Une similitude directe est une transformation qui multiplie toutes les distances par un réel \(k > 0\) (son rapport) et conserve les angles orientés. Ce sont exactement les transformations d'écriture complexe de la forme :
\[z' = az + b, \qquad a \in \mathbb{C}^*,\ b \in \mathbb{C}.\]Cas particuliers : si \(|a|=1\), c'est une rotation (ou une translation si \(a=1\)) ; si \(\arg a = 0\), c'est une homothétie (ou une translation si \(a=1\)).
Pour \(s : z' = az + b\) avec \(a \neq 1\) :
\[k = |a| \quad \text{(rapport)}, \qquad \theta = \arg a \quad \text{(angle)}\] \[\omega = \frac{b}{1-a} \quad \text{(affixe du centre } \Omega\text{)}\]La similitude est alors la composée commutative de la rotation de centre \(\Omega\) d'angle \(\theta\) et de l'homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(k\). Si \(a = 1\), \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
Une similitude directe de rapport \(k\) : transforme droites en droites et cercles en cercles ; multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) ; conserve les angles orientés, le parallélisme, l'orthogonalité et les rapports de barycentres.
Caractérisons \(s : z' = (1+i)z + 2\).
On a \(a = 1+i\), donc \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) et
\(\theta = \arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{2}{1-(1+i)} = \dfrac{2}{-i} = \dfrac{2}{-i} \cdot \dfrac{i}{i}
= \dfrac{2i}{-i^2} = \dfrac{2i}{1} = 2i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(0;\,2)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
On compose \(s_1 : z' = (1+i)z + 2\) et \(s_2 : z'' = 2z' - 4\).
La composée \(s_2 \circ s_1\) : \(z'' = 2((1+i)z+2)-4 = (2+2i)z\).
Rapport : \(|2+2i| = 2\sqrt{2}\) ; angle : \(\dfrac{\pi}{4}\) ; centre : \(\omega = 0\)
(l'origine est fixe puisque \(b=0\)).
Soit le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(A(1)\) et de rayon \(r = 1\),
et \(s : z' = (1+i)z + 2\) de rapport \(k = \sqrt{2}\).
L'image \(s(\mathcal{C})\) est un cercle de rayon \(k \times r = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\),
centré en \(s(A)\). Or \(s(1) = (1+i)\cdot 1 + 2 = 3+i\).
Donc \(s(\mathcal{C})\) est le cercle de centre \((3;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).
Si \(a = 1\), il n'y a pas de centre fixe et la formule \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) est indéfinie : c'est une translation, pas une similitude au sens strict. Vérifiez toujours \(a \neq 1\) avant d'appliquer la formule du centre.
Figure interactive — Similitude directe \(z' = az + b\)
image \(A'B'C'\)
centre \(\Omega\)
Étant donnés deux couples de points distincts \((A, B)\) et \((A', B')\) avec \(A \neq B\) et \(A' \neq B'\), il existe une unique similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On cherche \(s : z' = az + b\). Le système \(\begin{cases} z_{A'} = az_A + b \\ z_{B'} = az_B + b \end{cases}\) donne par soustraction :
\[a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_{B} - z_{A}} \qquad \text{puis} \qquad b = z_{A'} - a\,z_A.\]Le rapport est \(k = |a| = \dfrac{A'B'}{AB}\) et l'angle \(\theta = \arg a = \left(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{A'B'}\right)\).
- Écrire \(z' = az + b\) et calculer \(a\) à partir des affixes des deux couples.
- Calculer \(k = |a|\) en mettant \(a\) sous forme trigonométrique.
- Lire \(\theta = \arg a\).
- Si \(a \neq 1\), calculer \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) et préciser le centre \(\Omega\).
- Conclure : « \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega\), de rapport \(k\), d'angle \(\theta\). »
Soient \(A(0)\), \(B(2)\), \(A'(1+i)\), \(B'(3+3i)\).
\(a = \dfrac{(3+3i)-(1+i)}{2-0} = \dfrac{2+2i}{2} = 1+i\).
\(b = z_{A'} - a \cdot 0 = 1+i\).
Rapport : \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) ; angle : \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{1+i}{1-(1+i)} = \dfrac{1+i}{-i}
= \dfrac{(1+i) \cdot i}{-i \cdot i} = \dfrac{i-1}{1} = -1+i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1;\,1)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
Après avoir trouvé \(a\) et \(b\), vérifiez que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\) en substituant. Un calcul de contrôle évite les erreurs de signe qui font perdre des points au Bac.
Isométries de l'espace
Dans l'espace, les isométries usuelles sont les translations, les rotations autour d'un axe, les réflexions par rapport à un plan et leurs composées. Comme dans le plan, elles conservent les distances, l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, ainsi que les aires et les volumes.
Les similitudes indirectes, d'écriture \(z' = a\bar{z} + b\), sont hors programme en série C. Seules les similitudes directes \(z' = az + b\) sont exigibles au Bac.
Résumé
Déplacements (translations, rotations) conservent les angles orientés. Antidéplacements (réflexions, symétries glissées) les renversent. Composée de 2 réflexions d'axes parallèles = translation ; d'axes sécants en O = rotation.
Translation : \(z' = z + b\).
Rotation de centre \(\omega\) : \(z' - \omega = e^{i\theta}(z-\omega)\).
Homothétie de centre \(\omega\) : \(z' - \omega = k(z-\omega)\).
Réflexion \((Ox)\) : \(z' = \bar{z}\).
Rapport : \(k = |a|\). Angle : \(\theta = \arg a\).
Centre (\(a \neq 1\)) : \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\).
Si \(a = 1\) : translation de vecteur \(b\).
Longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\).
\(a = \dfrac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A}\), puis \(b = z_{A'} - az_A\).
Toujours vérifier \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
Sujet type Bac
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \((O;\,\vec{u},\,\vec{v})\), on pose \(A(0)\), \(B(4)\), \(C(4+4i)\), \(D(4i)\) les sommets d'un carré, et \(A'(0)\), \(B'(2+2i\sqrt{3})\).
Question 1. Calculer \(AB\) et \(A'B'\), puis en déduire le rapport de la similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On a \(A(0)\), \(B(4)\), donc \(AB = |4-0| = 4\).
\(A'(0)\), \(B'(2+2i\sqrt{3})\), donc
\(A'B' = |2+2i\sqrt{3}| = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\).
Donc \(k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{4}{4} = 1\) :
la similitude est une isométrie (rotation ou translation).
Question 2. Calculer \(a = \dfrac{z_{B'}-z_{A'}}{z_B - z_A}\) et identifier la nature de \(s\).
\(a = \dfrac{(2+2i\sqrt{3}) - 0}{4 - 0} = \dfrac{2+2i\sqrt{3}}{4}
= \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}\).
Donc \(|a| = 1\) (rotation) et \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).
\(b = z_{A'} - a \cdot z_A = 0 - e^{i\pi/3} \cdot 0 = 0\).
Ainsi \(s : z' = e^{i\pi/3} z\) : c'est la rotation de centre
\(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
Question 3. Déterminer l'image du carré \(ABCD\) par \(s\).
On calcule les images des quatre sommets par \(z' = e^{i\pi/3}z\) :
\(s(A) = 0 = A'\).
\(s(B) = 4e^{i\pi/3} = 4\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
= 2+2i\sqrt{3} = B'\).
\(s(C) = (4+4i)e^{i\pi/3}\). En posant \(e^{i\pi/3} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}\) :
\(s(C) = (4+4i)\cdot\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
= 2(1+i)(1+i\sqrt{3}) = 2(1+i\sqrt{3}+i-\sqrt{3})
= 2(1-\sqrt{3}) + 2i(\sqrt{3}+1)\).
\(s(D) = 4i\cdot e^{i\pi/3} = 4i\cdot\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
= 2i(1+i\sqrt{3}) = 2i - 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}+2i\).
L'image du carré est le quadrilatère \(A'B'C''D''\) dont les quatre sommets
sont les affixes calculées ci-dessus.
Question 4. Montrer que le triangle image \(OAB\) est équilatéral.
Notons que \(A' = A = O\) (point fixe de la rotation), donc le triangle « \(OA'B'\) » est dégénéré au sens littéral. Reformulation correcte : le triangle \(OAB\) a pour image \(OA'B'\) avec \(OA = OB = A'B' = 4\) et \(\widehat{A'OB'} = \dfrac{\pi}{3}\). Puisque \(OA' = OA = 4\), \(OB' = OB = 4\) (isométrie) et l'angle au sommet vaut \(\dfrac{\pi}{3}\), le triangle \(OAB\) image est équilatéral (trois côtés égaux à 4).
Question 5. La similitude \(s\) est-elle une similitude directe au sens strict ou un cas particulier ? Justifier.
\(s : z' = e^{i\pi/3}z\) a \(a = e^{i\pi/3} \neq 1\) et \(|a| = 1\). C'est un cas particulier de similitude directe où \(k = 1\) : autrement dit une rotation. Toute rotation est une similitude directe de rapport 1, mais on ne parle généralement de « similitude stricte » que pour \(k \neq 1\). Ici la similitude est en réalité une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).