Polynômes et équations dans ℂ

Exercice 1 — Équation du second degré

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+2z+5=0$.

Exercice 2 — Équation du second degré

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-4z+13=0$.

Exercice 3 — Équation de degré 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3-4z^2+6z-4=0$, sachant qu'elle admet une racine réelle évidente.

Exercice 4 — Racines carrées d'un complexe

Déterminer les racines carrées de $-3+4i$.

Exercice 4 — Racines cubiques de l'unité et $z^3=8$

Déterminer les racines cubiques de l'unité et vérifier que leur somme est nulle. En déduire les solutions de $z^3=8$.

Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=z^4-4z^3+14z^2-36z+45\). Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.

1) Démontre que, si un nombre complexe \(z_0\) est une racine de \(P\), alors son conjugué \(\overline{z_0}\) est aussi une racine de \(P\).

2) Calcule \(P(3i)\). Déduis-en deux racines de \(P\) et justifie que \(P(z)\) se factorise par \(z^2+9\).

3) Détermine les réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout complexe \(z\), \(P(z)=\left(z^2+9\right)\left(z^2+az+b\right)\).

4) Résous dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(P(z)=0\).

5) On note \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) les points d'affixes \(z_A=3i\), \(z_B=-3i\), \(z_C=2+i\) et \(z_D=2-i\), et \(\Omega\) le point d'affixe \(-1\). Démontre que \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont sur un même cercle de centre \(\Omega\), dont tu préciseras le rayon.

6) Démontre que le quadrilatère \(ACDB\) est un trapèze isocèle, puis calcule son aire en unités d'aire.

Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=z^3-(2+i)z^2+(-3+3i)z+10+10i\). Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.

1) Démontre que \(P\) admet une racine réelle et une seule, que tu détermineras.

2) Détermine les nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que, pour tout complexe \(z\), \(P(z)=(z+2)\left(z^2+az+b\right)\).

3) Détermine, sous forme algébrique, les racines carrées du nombre complexe \(-5-12i\).

4) Résous dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(P(z)=0\).

5) On note \(A\), \(B\) et \(C\) les points d'affixes \(z_A=-2\), \(z_B=1+2i\) et \(z_C=3-i\). Écris sous forme algébrique le quotient \(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\), puis déduis-en la nature du triangle \(ABC\).

6) Détermine l'affixe du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme. Justifie que \(ABCD\) est un carré et calcule son aire en unités d'aire.

On pose \(\omega=e^{\frac{2i\pi}{5}}\). Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(O\), on note \(M_0\), \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) et \(M_4\) les points d'affixes respectives \(1\), \(\omega\), \(\omega^2\), \(\omega^3\) et \(\omega^4\).

1) Démontre que \(\omega^5=1\), puis que \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0\).

2) Démontre que \(\omega^4=\overline{\omega}\) et que \(\omega^3=\overline{\omega^2}\). Déduis-en que les nombres \(\alpha=\omega+\omega^4\) et \(\beta=\omega^2+\omega^3\) sont réels, avec \(\alpha=2\cos\dfrac{2\pi}{5}\) et \(\beta=2\cos\dfrac{4\pi}{5}\).

3) Calcule la somme \(\alpha+\beta\) et le produit \(\alpha\beta\).

4) Déduis-en une équation du second degré dont \(\alpha\) et \(\beta\) sont les solutions, résous-la, puis donne les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{2\pi}{5}\) et de \(\cos\dfrac{4\pi}{5}\).

5) Justifie que \(M_0M_1M_2M_3M_4\) est un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, puis démontre que son côté mesure \(\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}\).

Sur la place d'un village, un charpentier construit un abri dont le toit repose sur un mât central \(O\) et sur six poteaux \(A_0\), \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) et \(A_5\). Les poteaux sont plantés aux sommets d'un hexagone régulier de centre \(O\) et se suivent dans le sens direct. Le terrain est muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(O\), d'unité 1 mètre, et le poteau \(A_0\) a pour affixe \(z_0=\sqrt{3}+i\). On note \(z_k\) l'affixe du poteau \(A_k\) et on pose \(\omega=e^{\frac{i\pi}{3}}\).

1) Écris \(z_0\) sous forme exponentielle. Justifie que, pour tout entier \(k\) de 0 à 5, \(z_k=z_0\,\omega^k\), puis donne la forme exponentielle de \(z_k\).

2) Écris les six affixes sous forme algébrique.

3) Démontre que les affixes des six poteaux sont exactement les solutions, dans \(\mathbb{C}\), de l'équation \(z^6=-64\).

4) Une poutre relie chaque poteau au suivant. Démontre que chaque poutre mesure 2 mètres et donne la longueur totale des six poutres. Calcule aussi la longueur de la traverse qui relie \(A_0\) à \(A_2\).

5) Démontre que \(z_0+z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0\) et interprète ce résultat.

6) Justifie que chaque triangle \(OA_kA_{k+1}\) est équilatéral, puis calcule l'aire du sol couvert par l'abri, c'est-à-dire l'aire de l'hexagone. Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième de mètre carré.