Matrices

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Exercice 1 — Produit matriciel

Calculer $\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$.

Exercice 2 — Déterminant et inversibilité

Calculer le déterminant de $A=\begin{pmatrix}5&2\\3&4\end{pmatrix}$ et dire si $A$ est inversible.

Exercice 3 — Matrice inverse

Déterminer l'inverse de $A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$.

Exercice 4 — Résolution d'un système

Résoudre le système $\begin{cases}3x+y=7\\5x+2y=11\end{cases}$ en utilisant la matrice inverse déterminée à l'exercice 3.

Exercice 5 — Non-commutativité

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Montrer que $AB \neq BA$.

Exercice 6 — Inverse et vérification

Soit $A=\begin{pmatrix}4&3\\2&2\end{pmatrix}$. Calculer $A^{-1}$, puis vérifier que $AA^{-1}=I_2$.

Un atelier de menuiserie fabrique des tabourets, des bancs et des tables. Le tableau donne ce que demande la fabrication d'un article.

On note \(A=\begin{pmatrix}2&3&5\\3&4&8\\2&3&6\end{pmatrix}\) la matrice de ce tableau. Les commandes de deux semaines sont \(C_1=\begin{pmatrix}10\\4\\2\end{pmatrix}\) et \(C_2=\begin{pmatrix}5\\6\\4\end{pmatrix}\) (tabourets, bancs, tables, dans cet ordre). Une planche coûte 1 500 francs, une heure de travail 800 francs et un décilitre de vernis 250 francs : on note \(P=\begin{pmatrix}1500&800&250\end{pmatrix}\). Les prix de vente, en francs, sont donnés par \(V=\begin{pmatrix}8000&12000&22000\end{pmatrix}\).

1) Donne le format de chacune des matrices \(A\), \(C_1\) et \(P\), et dis ce que représente le coefficient de \(A\) situé à la deuxième ligne et à la troisième colonne. Écris la transposée de \(A\) : la matrice \(A\) est-elle symétrique ?

2) Calcule les produits \(AC_1\) et \(AC_2\) et interprète leurs coefficients.

3) Calcule \(C_1+C_2\), puis \(A(C_1+C_2)\). Vérifie que \(A(C_1+C_2)=AC_1+AC_2\) et dis ce que cette égalité signifie pour l'atelier.

4) Calcule le produit \(PA\) et interprète ses coefficients. Vérifie sur cet exemple que \((PA)C_1=P(AC_1)\) : que représente ce nombre ?

5) Calcule la matrice ligne \(B=V-PA\), puis le bénéfice total réalisé sur les deux semaines.

6) Tous les coûts unitaires augmentent de 10 %, les prix de vente ne changent pas. Justifie que les nouveaux coûts de revient sont donnés par la matrice \(1{,}1\,PA\), calcule-la, puis calcule le nouveau bénéfice total sur les mêmes commandes.

On considère les matrices \(A=\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}\) et \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). On rappelle qu'une matrice carrée \(M\) est inversible s'il existe une matrice \(N\) de même ordre telle que \(MN=NM=I\) ; la matrice \(N\) est alors l'inverse de \(M\), notée \(M^{-1}\).

1) Calcule \(A^2\) et vérifie que \(A^2=5A-6I\).

2) Déduis de cette égalité que \(A\) est inversible et que \(A^{-1}=\dfrac{1}{6}(5I-A)\). Écris les coefficients de \(A^{-1}\).

3) Démontre par récurrence que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(A^n=(3^n-2^n)A+(3\times 2^n-2\times 3^n)I\).

4) Déduis-en les quatre coefficients de \(A^n\) en fonction de \(n\).

5) Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont définies par \(u_0=3\), \(v_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=4u_n-2v_n\) et \(v_{n+1}=u_n+v_n\). On pose \(X_n=\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}\). Justifie que \(X_{n+1}=AX_n\), puis que \(X_n=A^nX_0\) pour tout entier \(n\geq 1\), et exprime \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).

6) Justifie que \(v_n\) n'est jamais nul, puis détermine la limite de la suite de terme général \(\dfrac{u_n}{v_n}\).

On note \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). On rappelle qu'une matrice carrée \(M\) d'ordre 2 est inversible s'il existe une matrice \(P\) d'ordre 2 telle que \(MP=PM=I\), et que le déterminant de \(M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) est le nombre \(\det(M)=ad-bc\). On pose \(N=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).

1) Calcule les produits \(MN\) et \(NM\). Déduis-en que, si \(\det(M)\neq 0\), alors \(M\) est inversible et \(M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\,N\).

2) On suppose que \(\det(M)=0\) et qu'il existe une matrice \(P\) telle que \(PM=I\). En calculant le produit \(PMN\) de deux façons, démontre que \(N\) est la matrice nulle, puis que cette situation est impossible. Conclus.

3) Pour tout réel \(m\), on pose \(M_m=\begin{pmatrix}m&2\\3&m-1\end{pmatrix}\). Calcule \(\det(M_m)\) et détermine les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(M_m\) est inversible.

4) Dans cette question, \(m=4\). Calcule l'inverse de \(M_4\), puis utilise-la pour résoudre le système formé des équations \(4x+2y=14\) et \(3x+3y=15\), après l'avoir écrit sous forme matricielle.

5) Dans cette question, \(m=3\) et \(p\) est un réel. On considère le système formé des équations \(3x+2y=7\) et \(3x+2y=p\). Écris-le sous forme matricielle, explique pourquoi la méthode de la question 4 ne s'applique pas, puis résous-le selon la valeur de \(p\). Interprète avec deux droites du plan.

Une petite savonnerie artisanale fabrique chaque jour \(x\) centaines de savons, avec \(0\leq x\leq 7\). Son bénéfice journalier, en milliers de francs, est modélisé par \(f(x)=ax^2+bx+c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois réels à déterminer. On a relevé \(f(1)=5\), \(f(2)=12\) et \(f(3)=15\).

On considère les matrices \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&-2&1\\-5&8&-3\\6&-6&2\end{pmatrix}\) et \(I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\). On rappelle que \(A\) est inversible s'il existe une matrice \(N\) telle que \(AN=NA=I\).

1) Traduis les trois relevés par un système de trois équations d'inconnues \(a\), \(b\) et \(c\), puis écris ce système sous la forme \(AX=Y\) en précisant les matrices colonnes \(X\) et \(Y\).

2) Calcule le produit \(AB\). On admet que \(BA=AB\). Déduis-en que \(A\) est inversible et donne \(A^{-1}\).

3) Résous le système à l'aide de \(A^{-1}\), puis vérifie la solution trouvée dans les trois équations. Écris l'expression de \(f(x)\).

4) Étudie les variations de \(f\) sur \([0;\,7]\). Pour quelle production le bénéfice est-il maximal, et combien vaut-il ?

5) Résous l'équation \(f(x)=0\) et déduis-en les productions pour lesquelles l'atelier ne perd pas d'argent. Interprète le nombre \(f(0)\).

6) Calcule la valeur moyenne de \(f\) sur l'intervalle \([1;\,4]\) et interprète-la.