Terminale E · Leçon 3
Fonctions usuelles : ln, exponentielle, puissances
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Équations exponentielles
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Exercice 1 — Propriétés du logarithme
Simplifier chacune des expressions suivantes :
1. $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$
2. $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$
3. $C = \ln(e^3) + \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)$
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- $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$ : $$A = \ln(6 \times 5) - \ln 30 = \ln 30 - \ln 30 = \boxed{0}$$
- $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\frac{1}{2}$ : $$B = \ln 8 - \ln 4 + \ln 2^{-1} = \ln\frac{8}{4} - \ln 2 = \ln 2 - \ln 2 = \boxed{0}$$
- $C = \ln(e^3) + \ln(e^{-1})$ : $$C = 3\ln e + (-1)\ln e = 3 - 1 = \boxed{2}$$
Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et de $\dfrac{u'}{u}$
Exercice 10 — Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{u'}{u}$
On rappelle : $\displaystyle\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$.
1. $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx$
3. $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$
Voir le corrigé
- $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$ : $\boxed{3\ln x + C}$ (sur $]0\,;+\infty[$)
- $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+5}\,dx$ : Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^2+5$, $u'=2x$ → $\boxed{\ln(x^2+5)+C}$
- $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$ : Poser $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$ → $\displaystyle\int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \boxed{\frac{1}{2}}$
Résolution d'une équation logarithmique
Exercice 1 — Résolution d'une équation logarithmique
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(2x-1) = \ln(x+3)$.
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- Domaine de validité
Il faut $2x-1>0$ et $x+3>0$, soit $x > \tfrac12$. - Égalité des logarithmes
$\ln(2x-1)=\ln(x+3) \iff 2x-1 = x+3$ ($\ln$ injective). - Résolution et vérification
$2x-1=x+3 \iff x=4$. Comme $4>\tfrac12$, la solution est valide. - Résultat
$\mathbb{S} = \{4\}$.
Résolution d'une équation exponentielle
Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.
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- Injectivité de l'exponentielle
$e^{2x-1}=e^3 \iff 2x-1=3$. - Résolution
$2x=4 \iff x=2$. - Résultat
$\mathbb{S} = \{2\}$.
Une inégalité classique : $\ln x \le x-1$
Exercice 3 — Une inégalité classique
Étudier le signe de $f(x) = \ln x - x + 1$ sur $]0\,;+\infty[$, et en déduire que $\ln x \le x-1$ pour tout $x>0$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
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- Dérivée
$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1-x}{x}$. - Signe et variations
$f'(x) > 0$ pour $x \in ]0;1[$, $f'(x) < 0$ pour $x>1$ : $f$ admet un maximum en $x=1$. - Valeur maximale
$f(1) = \ln 1 - 1 + 1 = 0$. - Conclusion
Le maximum de $f$ vaut $0$, donc $f(x) \le 0$ pour tout $x>0$, soit $\ln x \le x-1$, avec égalité uniquement en $x=1$.
Étude complète avec croissances comparées
Exercice 4 — Étude complète avec croissances comparées
Soit $g(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{x}$ définie sur $]0\,;+\infty[$. Déterminer les limites de $g$ en $0^+$ et en $+\infty$, puis étudier les variations de $g$.
Inéquation exponentielle par changement de variable
Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.
Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.
Prolongement par continuité, étude et discussion d'une équation
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x^2\left(2\ln x-3\right)\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Calcule la limite de \(f\) en 0 et la limite de \(f\) en \(+\infty\). Justifie que \(f\) admet un prolongement par continuité en 0 ; on le note \(g\) et tu préciseras \(g(0)\).
2) Étudie la dérivabilité de \(g\) en 0 et interprète graphiquement le résultat.
3) Démontre que, pour tout réel \(x\gt 0\), \(f'(x)=4x\left(\ln x-1\right)\). Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(g\).
4) Résous l'équation \(f(x)=0\) et écris sa solution sous la forme \(e^{a}\), puis à l'aide d'une racine carrée. Étudie le signe de \(f(x)\).
5) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) au point d'abscisse 1.
6) Soit \(m\) un réel. Détermine, suivant les valeurs de \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(g(x)=m\) dans \([0\,;+\infty[\). Justifie avec soin.
Le bruit des moulins : logarithme décimal et puissances
Le niveau sonore, en décibels, d'un bruit d'intensité \(I\) (exprimée en watts par mètre carré) est \(N=10\log\dfrac{I}{I_0}\), où \(I_0=10^{-12}\) est l'intensité du plus faible son audible et où \(\log\) désigne le logarithme décimal, défini pour tout réel \(x\gt 0\) par \(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\). Dans l'atelier d'un quartier, un moulin à grains produit, à 1 mètre de distance, un bruit d'intensité \(I_1=10^{-3}\).
1) Démontre que, pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs, \(\log(ab)=\log a+\log b\) et \(\log\dfrac{a}{b}=\log a-\log b\), puis que \(\log\left(10^{r}\right)=r\) pour tout réel \(r\).
2) Calcule le niveau sonore à 1 mètre du moulin.
3) L'atelier fait tourner \(k\) moulins identiques placés côte à côte ; les intensités s'ajoutent. Démontre que le niveau sonore à 1 mètre est alors \(N_k=90+10\log k\). Donne \(N_2\) arrondi au dixième, puis le plus petit nombre de moulins pour lequel le niveau atteint 98 décibels.
4) Un seul moulin fonctionne. À la distance \(d\) mètres du moulin, avec \(d\geq 1\), l'intensité du bruit est \(I(d)=\dfrac{I_1}{d^2}\). Démontre que le niveau sonore est \(N(d)=90-20\log d\), puis étudie le sens de variation de la fonction \(N\) sur \([1\,;+\infty[\).
5) À quelle distance du moulin le niveau sonore vaut-il 60 décibels ? Donne la valeur exacte, écrite avec une racine carrée, puis la valeur arrondie au dixième de mètre. À partir de quelle distance le niveau est-il inférieur à 50 décibels ?
6) Démontre que, chaque fois que la distance au moulin double, le niveau sonore baisse d'une même quantité, dont tu donneras la valeur arrondie au dixième. Interprète ce résultat pour un habitant qui cherche à s'éloigner du bruit.
Une puissance à exposant variable et les racines n-ièmes
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\), c'est-à-dire \(f(x)=e^{\frac{\ln x}{x}}\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Calcule la limite de \(f\) en 0 et la limite de \(f\) en \(+\infty\). Interprète graphiquement la limite en \(+\infty\).
2) Démontre que, pour tout réel \(x\gt 0\), \(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\,f(x)\). Dresse le tableau de variation de \(f\) et donne la valeur exacte de son maximum.
3) Démontre que, pour tout réel \(x\gt 0\), l'égalité \(2^{x}=x^{2}\) équivaut à \(f(x)=f(2)\). Vérifie que \(f(4)=f(2)\), puis démontre que l'équation \(2^{x}=x^{2}\) a exactement deux solutions strictement positives.
4) Pour tout entier \(n\geq 1\), on a \(\sqrt[n]{n}=f(n)\). Parmi tous les nombres \(\sqrt[n]{n}\), lequel est le plus grand ? Justifie.
5) Sans calculatrice, compare les deux entiers \(2026^{2027}\) et \(2027^{2026}\).
Dérivée seconde, asymptote oblique et inégalité
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x-2)e^{x}+x+2\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine \(O\).
1) Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
2) Calcule \(f'(x)\) et \(f''(x)\). Étudie les variations de la fonction \(f'\), déduis-en que \(f'(x)\geq 0\) pour tout réel \(x\), puis dresse le tableau de variation de \(f\).
3) Démontre que la droite \((D)\) d'équation \(y=x+2\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(-\infty\). Étudie la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à \((D)\).
4) Calcule \(f(0)\) et donne le signe de \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\). Détermine une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) au point \(O\) et la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à cette tangente.
5) Déduis de la question 4 que, pour tout réel \(x\gt 0\), \(\dfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\lt\dfrac{x}{2}\). Que devient cette inégalité pour \(x\lt 0\) ?