Continuité

Exercice 1 — Étude de continuité en un point

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ si $x \neq 2$ et $f(2) = 5$. Étudier la continuité de $f$ en $2$.

Exercice 2 — Prolongement par continuité

Soit $g(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$. Déterminer le prolongement par continuité de $g$ en $0$.

Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.

Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)

Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.

Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus

On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Exercice 6 — Prolongement puis image d'un intervalle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^3-1}{x-1}$. Déterminer le prolongement par continuité $\tilde f$ de $f$ en $1$, puis calculer $\tilde f([-2\,;1])$.

Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.

Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.

Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.

1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?

2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.

3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+\sqrt{x^2+5}\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\). Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{5}{\sqrt{x^2+5}-x}\), puis déduis-en la limite de \(f\) en \(-\infty\). Interprète graphiquement ce dernier résultat.

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2+5}}\). Déduis-en le sens de variation de \(f\) et dresse son tableau de variation.

3) Démontre que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un intervalle \(J\) que tu préciseras. Quel est le sens de variation de la bijection réciproque \(f^{-1}\) ? Calcule \(f(2)\) et \(f(-2)\), puis déduis-en \(f^{-1}(5)\) et \(f^{-1}(1)\).

4) Soit \(y\) un réel de \(J\). En résolvant l'équation \(f(x)=y\), d'inconnue \(x\), démontre que \(f^{-1}(y)=\dfrac{y^2-5}{2y}\). Contrôle cette formule avec les valeurs de la question 3.

5) Démontre que la droite \(D\) d'équation \(y=2x\) est asymptote à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) et précise la position de \(\mathcal{C}\) par rapport à \(D\). La courbe \(\mathcal{C}'\) de \(f^{-1}\) est la symétrique de \(\mathcal{C}\) par rapport à la droite d'équation \(y=x\) : quelle droite \(D'\) est alors asymptote à \(\mathcal{C}'\) en \(+\infty\) ? Vérifie-le par le calcul.

Une citerne d'eau a la forme d'une sphère de rayon intérieur 3 mètres. Lorsque la hauteur d'eau, mesurée depuis le fond, est de \(h\) mètres, avec \(0\leq h\leq 6\), on admet que le volume d'eau, en mètres cubes, est \(V(h)=\dfrac{\pi h^2(9-h)}{3}\).

1) Calcule \(V(0)\), \(V(3)\) et \(V(6)\), puis interprète ces trois résultats.

2) Étudie le sens de variation de \(V\) sur \([0\,;6]\). Déduis-en que \(V\) réalise une bijection de \([0\,;6]\) sur un intervalle que tu préciseras.

3) Le gardien veut savoir à quelle hauteur la citerne est remplie au quart. Démontre que cette hauteur est solution de l'équation \(g(h)=0\), où \(g(h)=h^3-9h^2+27\), puis que cette équation a une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;6]\) et que \(1\lt\alpha\lt 2\).

4) Pour encadrer \(\alpha\) de plus près, on procède par dichotomie : on calcule \(g\) au milieu de l'intervalle, puis on garde la moitié de l'intervalle aux bornes de laquelle \(g\) prend des valeurs de signes contraires. Applique ce procédé trois fois de suite à partir de \([1\,;2]\). Quel encadrement de \(\alpha\) obtiens-tu, et quelle est son amplitude ? Vérifie enfin que \(1{,}95\lt\alpha\lt 1{,}96\).

5) Démontre que, pour tout \(h\) de \([0\,;6]\), \(V(6-h)=36\pi-V(h)\). Déduis-en la hauteur d'eau, en fonction de \(\alpha\), lorsque la citerne est remplie aux trois quarts. Le gardien pense que « un quart du volume, c'est un quart de la hauteur » : que lui réponds-tu ?

Soit \(m\) un réel. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}\) si \(x\lt 0\), \(f(0)=m\), et \(f(x)=\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\) si \(x\gt 0\). On rappelle que \(\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1\).

1) Démontre que, pour tout \(x\lt 0\), \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}\). Déduis-en la limite de \(f\) à gauche en 0, puis la limite de \(f\) en \(-\infty\).

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(1-\cos x=2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\). Déduis-en que, pour tout \(x\gt 0\), \(f(x)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\), puis détermine la limite de \(f\) à droite en 0.

3) Pour quelle valeur de \(m\) la fonction \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ? Justifie avec soin. Dans la suite, \(m\) prend cette valeur.

4) Démontre que, pour tout \(x\gt 0\), \(0\leq f(x)\leq\dfrac{2}{3x^2}\). Déduis-en la limite de \(f\) en \(+\infty\) et interprète graphiquement les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

5) On admet que, pour tout réel \(t\), \(|\sin t|\leq|t|\). Démontre que, pour tout réel \(x\), \(0\leq f(x)\leq\dfrac{1}{6}\). Résous enfin l'équation \(f(x)=0\) et interprète graphiquement.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2\sin x-x\).

1) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe sur \([0\,;\pi]\) et dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0\,;\pi]\).

2) Démontre que l'équation \(f(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle \(\left]0\,;\pi\right]\).

3) Démontre que \(\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\dfrac{2\pi}{3}\). On pourra utiliser \(1{,}73\lt\sqrt{3}\lt 1{,}74\) et \(2{,}09\lt\dfrac{2\pi}{3}\).

4) Démontre que \(f(x)\lt 0\) pour tout \(x\gt\pi\), puis que \(f\) est impaire. Déduis-en toutes les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'équation \(2\sin x=x\).

5) Sur un cercle de rayon 1, on place deux points \(A\) et \(B\) tels que l'angle au centre qui intercepte l'arc \(AB\) mesure \(2x\) radians, avec \(0\lt x\leq\pi\). L'arc \(AB\) a alors pour longueur \(2x\) et la corde \([AB]\) pour longueur \(2\sin x\). Démontre qu'il existe une seule valeur de \(x\) pour laquelle l'arc est deux fois plus long que la corde, et donne un encadrement de l'angle au centre correspondant, en radians puis en degrés.