Calcul vectoriel et configurations

Exercice 1 — Réduction vectorielle

Soit $A$ et $B$ deux points, $G$ le barycentre de $(A,3)$ et $(B,1)$. Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.

Exercice 2 — Coordonnées d'un barycentre

Soit $A(1\,;2)$, $B(5\,;-2)$, $C(-2\,;4)$ affectés des coefficients $1$, $2$, $1$. Calculer les coordonnées du barycentre $G$.

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(3;-4)$ et $\vec v(2;5)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $-14$   b) $6$   c) $26$   d) $-6$

2) $\|\vec u\|$ pour $\vec u(3;-4)$ vaut :
a) $5$   b) $7$   c) $1$   d) $25$

3) Deux vecteurs $\vec u,\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u=-\vec v$

4) Pour $A(2;1)$, $B(6;4)$, la distance $AB$ vaut :
a) $5$   b) $4$   c) $3$   d) $7$

Exercice 3 — Théorème de la médiane

Soit $A$, $B$ deux points avec $AB=6$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=50$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte vérifie que l'angle d'un mur de fondation est bien droit avant la pose des fondations. Les trois coins du mur sont repérés, dans un repère où les distances sont en mètres, par $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$. 2) Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et en déduire si l'angle en $B$ est droit. 3) Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$, et vérifier la cohérence avec le théorème de Pythagore.

Exercice 4 — Ligne de niveau pondérée

Soit $A$, $B$ deux points avec $AB=4$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $2MA^2+MB^2=24$, en utilisant le barycentre $G$ de $(A,2)$ et $(B,1)$.

Exercice 5 — Produit vectoriel et aire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, soit $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$, $C(0\,;0\,;3)$. Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, en déduire l'aire du triangle $ABC$ et un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Exercice 6 — Cocyclicité d'un rectangle

Soit $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(4\,;3)$, $D(0\,;3)$. Montrer que ces quatre points sont cocycliques et déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit.

Dans le plan, \(ABC\) est un triangle isocèle en \(A\) tel que \(AB=AC=5\) et \(BC=6\). On note \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(G\) le barycentre des points pondérés \((A\,;\,2)\), \((B\,;\,1)\) et \((C\,;\,1)\).

1) Calcule \(AI\). Démontre que \(G\) est le milieu de \([AI]\), puis calcule \(GA\), \(GI\), \(GB\) et \(GC\).

2) Démontre que, pour tout point \(M\) du plan, \(2MA^2+MB^2+MC^2=4MG^2+34\).

3) Détermine l'ensemble \((E_1)\) des points \(M\) du plan tels que \(2MA^2+MB^2+MC^2=50\). Justifie que \(A\) et \(I\) appartiennent à \((E_1)\).

4) Démontre que, pour tout point \(M\) du plan, \(2MA^2-MB^2-MC^2=4\,\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AI}-50\).

5) Détermine l'ensemble \((E_2)\) des points \(M\) du plan tels que \(2MA^2-MB^2-MC^2=-18\).

6) Les ensembles \((E_1)\) et \((E_2)\) se coupent en deux points \(P\) et \(Q\). Démontre que le quadrilatère \(APIQ\) est un carré et calcule son aire.

Dans une plaine, deux antennes-relais sont installées en deux points \(A\) et \(B\) distants de 6 kilomètres ; l'unité de longueur est le kilomètre. L'antenne \(A\) émet avec une puissance quatre fois plus grande que l'antenne \(B\). Un téléphone placé en un point \(M\), distinct de \(A\) et de \(B\), reçoit de \(A\) un signal d'intensité \(s_A=\dfrac{4k}{MA^2}\) et de \(B\) un signal d'intensité \(s_B=\dfrac{k}{MB^2}\), où \(k\) est une constante strictement positive. Il se connecte à l'antenne dont il reçoit le signal le plus intense. On note \((F)\) l'ensemble des points où les deux signaux ont la même intensité.

1) Démontre qu'un point \(M\) appartient à \((F)\) si et seulement si \(MA=2\,MB\).

2) On note \(J\) le barycentre de \((A\,;\,1)\) et \((B\,;\,2)\), et \(K\) le barycentre de \((A\,;\,1)\) et \((B\,;\,-2)\). Exprime \(\overrightarrow{AJ}\) et \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), calcule \(AJ\) et \(AK\), puis vérifie que \(J\) et \(K\) appartiennent à \((F)\).

3) Soit \(\Omega\) le milieu de \([JK]\). Démontre que, pour tout point \(M\) du plan, \(MA^2-4MB^2=-3\,\overrightarrow{MJ}\cdot\overrightarrow{MK}=48-3M\Omega^2\). Déduis-en la nature de \((F)\) et ses éléments caractéristiques.

4) Le plan est muni du repère orthonormé d'origine \(A\) dans lequel \(B\) a pour coordonnées \((6\,;\,0)\). Un village est situé au point \(V(8\,;\,3)\). À quelle antenne un téléphone situé en \(V\) se connecte-t-il ? Justifie de deux façons, puis calcule l'aire de la zone dans laquelle les téléphones se connectent à \(B\), arrondie au dixième de kilomètre carré.

5) Une route rectiligne est formée des points \(M\) tels que \(MA^2-MB^2=12\). Démontre que cette route est la perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(J\). Déduis-en sa position par rapport à \((F)\) et interprète ce résultat pour un téléphone qui se déplace le long de la route.

L'espace est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). On considère les points \(A(1\,;\,1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,-1\,;\,1)\), \(C(1\,;\,3\,;\,0)\) et \(D(6\,;\,4\,;\,6)\).

1) Calcule les coordonnées du vecteur \(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\). Justifie que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés, puis calcule l'aire du triangle \(ABC\).

2) Soit \(E\) le barycentre des points pondérés \((A\,;\,-1)\), \((B\,;\,1)\) et \((C\,;\,1)\). Calcule les coordonnées de \(E\). Démontre que \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), puis précise la nature du quadrilatère \(ABEC\) et son aire. Pourquoi le point \(E\) est-il dans le plan \((ABC)\) ?

3) Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{ED}\). Déduis-en que la droite \((ED)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\), puis calcule la distance de \(D\) à ce plan et le volume de la pyramide de sommet \(D\) et de base \(ABEC\).

4) Démontre que, pour tout point \(M\) de l'espace, \(-MA^2+MB^2+MC^2=ME^2+8\).

5) Détermine l'ensemble \((S)\) des points \(M\) de l'espace tels que \(-MA^2+MB^2+MC^2=57\). Vérifie que \(D\) appartient à \((S)\), puis précise l'intersection de \((S)\) et du plan \((ABC)\).

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d'affixes \(z_A=-2-3i\), \(z_B=5-2i\), \(z_C=1+6i\) et \(z_D=-3+4i\).

1) Écris sous forme algébrique les quotients \(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\) et \(\dfrac{z_B-z_D}{z_A-z_D}\). Déduis-en une mesure de chacun des angles orientés \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\) et \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\).

2) Démontre que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont cocycliques.

3) Soit \(\Omega\) le point d'affixe \(1+i\). Vérifie que \(\Omega A=\Omega B=\Omega C=5\). Que représente \(\Omega\) pour les quatre points ? Calcule une mesure de l'angle \(\left(\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega B}\right)\) et compare-la à celle de \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\). Quel théorème retrouves-tu ?

4) On note \((\Gamma)\) le cercle de centre \(\Omega\) et de rayon 5, et \((\Delta)\) la tangente à \((\Gamma)\) en \(A\). Démontre que \((\Delta)\) a pour équation \(3x+4y+18=0\) et que le point \(T\) d'affixe \(2-6i\) est sur \((\Delta)\). Calcule une mesure de l'angle \(\left(\overrightarrow{AT},\overrightarrow{AB}\right)\). Quel théorème ce résultat illustre-t-il ?

5) Détermine l'ensemble des points \(M\) du plan, distincts de \(A\) et de \(B\), tels que \(\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=\dfrac{\pi}{4}\) modulo \(\pi\), puis l'ensemble de ceux tels que \(\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=\dfrac{\pi}{4}\) modulo \(2\pi\). Les points \(E\) et \(F\) d'affixes \(6+i\) et \(1-4i\) appartiennent-ils à chacun de ces ensembles ?