Calcul différentiel

Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.

Exercice 2 — Recherche d'une primitive

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2-4x+5$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=2$.

Exercice 3 — Dérivabilité à gauche et à droite

Soit $f(x) = |x-1|(x+2)$. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$.

Exercice 4 — Encadrement par l'inégalité des accroissements finis

En utilisant l'IAF appliquée à $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[121\,;122]$, donner un encadrement de $\sqrt{122}$.

Exercice 5 — Majoration à l'aide de l'IAF

Soit $f$ dérivable sur $[0\,;+\infty[$ telle que $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ pour tout $x\ge0$, et $f(0)=0$. Montrer que pour tout $x \ge 0$, $f(x) \le x$.

Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) par \(f(x)=|x-3|\sqrt{x}\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Étudie la dérivabilité de \(f\) à droite en 0 à l'aide du taux d'accroissement, puis interprète graphiquement le résultat.

2) Pour \(x\gt 0\) et \(x\neq 3\), simplifie le taux d'accroissement \(\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\) en distinguant les cas \(x\gt 3\) et \(x\lt 3\). Déduis-en le nombre dérivé à droite et le nombre dérivé à gauche de \(f\) en 3. La fonction \(f\) est-elle dérivable en 3 ? Donne une équation de chacune des deux demi-tangentes à \(\mathcal{C}\) au point \(A\) d'abscisse 3.

3) Calcule \(f'(x)\) sur \(\left]0\,;3\right[\), puis sur \(\left]3\,;+\infty\right[\), et dresse le tableau de variation de \(f\).

4) Justifie que les demi-tangentes en \(A\) sont dirigées par les vecteurs \(\vec{u}\left(1\,;\sqrt{3}\right)\) et \(\vec{v}\left(-1\,;\sqrt{3}\right)\), puis calcule l'angle géométrique qu'elles forment.

5) Calcule \(f(4)\). Démontre que l'équation \(f(x)=2\) a exactement deux solutions dans \(\left[0\,;+\infty\right[\) et donne leurs valeurs.

Le balancier d'une horloge ancienne est une tige de longueur \(L\) mètres. On admet que la durée d'une oscillation complète, en secondes, est \(T(L)=2\sqrt{L}\). L'horloge est réglée pour \(L=1\) : chaque oscillation dure 2 secondes et fait avancer les aiguilles de 2 secondes. Après une réparation, la tige mesure \(1{,}05\) mètre et l'horloge retarde.

1) Pour \(L\gt 0\), calcule \(T'(L)\) et \(T''(L)\). Déduis-en le sens de variation de la fonction \(T'\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).

2) Démontre que, pour tout \(L\) de l'intervalle \([1\,;1{,}21]\), \(\dfrac{10}{11}\leq T'(L)\leq 1\).

3) À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, démontre que, pour tout \(L\) de \([1\,;1{,}21]\), \(\dfrac{10}{11}(L-1)\leq T(L)-2\leq L-1\).

4) Déduis-en un encadrement de la durée d'une oscillation du balancier réparé, sans utiliser la touche racine carrée de la calculatrice.

5) En une heure, soit 3600 secondes, le balancier réparé effectue \(\dfrac{3600}{T}\) oscillations, où \(T\) est la durée d'une oscillation. Démontre que le retard de l'horloge au bout d'une heure, en secondes, est \(R(T)=3600-\dfrac{7200}{T}\), puis que la fonction \(R\) est croissante sur \(\left]0\,;+\infty\right[\). Encadre enfin ce retard et interprète.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos^3 x\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative.

1) Calcule \(f'(x)\), puis \(f''(x)\). Démontre que \(f''(x)=6\cos x-9\cos^3 x\), puis que, pour tout réel \(x\), \(f''(x)+9f(x)=6\cos x\).

2) Sachant que \(f'\) est une primitive de \(f''\), déduis de la question 1 une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), sans autre calcul de primitive que celle de la fonction cosinus.

3) Retrouve une primitive de \(f\) par une autre méthode : écris \(\cos^3 x=\cos x-\cos x\,\sin^2 x\) et reconnais la dérivée d'une fonction de la forme \(u^3\). Compare les deux primitives obtenues et commente.

4) Détermine la primitive \(G\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui prend la valeur 1 en \(\dfrac{\pi}{2}\).

5) Détermine une équation de la tangente à \(\mathcal{C}\) au point \(A\) d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\). Étudie la position de \(\mathcal{C}\) par rapport à cette tangente sur l'intervalle \(\left]0\,;\pi\right[\). Que peux-tu dire du point \(A\) ?

Soit \(f\) la fonction tangente, définie sur \(I=\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\) par \(f(x)=\tan x\). On rappelle que \(f\) est dérivable sur \(I\) et que \(f'(x)=1+\tan^2 x\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative.

1) En dérivant \(f'\) comme une fonction composée, démontre que \(f''(x)=2\tan x\,(1+\tan^2 x)\). Étudie le signe de \(f''(x)\) sur \(I\) et déduis-en que \(f'(x)\geq 1\) pour tout \(x\) de \(I\).

2) Soit \(h\) la fonction définie sur \(I\) par \(h(x)=\tan x-x\). Calcule \(h'(x)\), puis étudie le signe de \(h(x)\). Déduis-en la position de \(\mathcal{C}\) par rapport à sa tangente au point \(O\) d'abscisse 0. Que peux-tu dire du point \(O\) ?

3) Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\) par \(g(x)=\tan x-x-\dfrac{x^3}{3}\). Démontre que \(g'(x)=(\tan x-x)(\tan x+x)\), puis que, pour tout \(x\) de \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\), \(\tan x\geq x+\dfrac{x^3}{3}\).

4) Détermine une primitive sur \(I\) de la fonction \(x\mapsto\tan^2 x\). Détermine ensuite la primitive sur \(I\) de la fonction \(k:x\mapsto\tan x\,(1+\tan^2 x)\) qui s'annule en \(\dfrac{\pi}{4}\). Explique pourquoi \(\dfrac{1}{2}f'\) est une autre primitive de \(k\) et vérifie que les deux diffèrent d'une constante.

5) On admet que \(\tan\dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}\). Déduis de la question 2 que \(\pi\lt 12(2-\sqrt{3})\), puis, sachant que \(\sqrt{3}\gt 1{,}732\), que \(\pi\lt 3{,}216\).