Sujet d'entraînement n° 15

Exercice 1 — Transformation du plan complexe 4 pts

1a) Exprimer $z$ en fonction de $z'$

1b) $M$ sur l'axe réel $\Rightarrow$ $M'$ décrit un cercle de centre $C(-1+i)$

2a) Décomposition $z'=(1-2i)+\dfrac{2(3+i)}{z-2i}$

2b) Relations métriques et angulaires

3a) Relation $(z'-(1-2i))(z-2i)=2(3+i)$

3b) Relation $P_0M' \times AM = 2\sqrt{10}$

3c) Image du cercle $|z-2i|=\sqrt{10}$

Exercice 2 — Variable aléatoire et loi binomiale 4 pts

a–b) Valeurs de $X$ et loi de probabilité

c) Montrer que $E(X) = -75$ F CFA

d) Interprétation — sort des acteurs

4) Exactement un gain positif en 5 parties ($p = \tfrac{3}{20}$ ou valeur du sujet)

Problème — Partie A : étude complète de $f$ 8 pts

A1) Domaine de définition $D_f$

A2) Limites aux bornes

A3) Continuité en $x=1$

A4) Dérivabilité en $x=1$

A5) Branches infinies

A6) Tableau de variations de $f$

A7) Tangente $(T)$ en $x=0$

A8) Tracé de $(C_f)$

Problème — Partie B : bijection réciproque $h^{-1}$ 4 pts

B1) $h$ est une bijection de $[1\,;\,+\infty[$ vers $J$

B2) Exprimer $h^{-1}$ et étudier ses variations

B3) Construction de $(C')$

Problème — Partie C : intégrale et aire 4 pts

C1) Aire entre $(C_f)$ et $(\Delta)$ de $x=1$ à $x=e-1$

C2) $I(\alpha)=\displaystyle\int_1^\alpha f(x)\,dx$ — comportement en $+\infty$