Terminale D

Sujet d'entraînement n° 14

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points3 parties corrigées

Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

1Exercice 1 — Nombres complexes et géométrie4 pts · 4 questions corrigées
À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II
2Exercice 2 — Ajustement affine — Méthode de Mayer4 pts · 4 questions corrigées
À revoir : Statistiques à Deux Variables
3Problème — Parties A, B et C9 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Logarithme Népérien, Fonction Exponentielle

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Nombres complexes et géométrie (4 pts)

$P(z)=z^3-5z^2+9z-5$ | $A(1)$, $B(1+i\sqrt{3})$, $C(1-i\sqrt{3})$ | $K(-\sqrt{3}+i)$

1) Racines de $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$

$z_0=1$ est racine : $P(1)=1-5+9-5=0$ ✓.

Factorisation par $(z-1)$ : Division euclidienne de $P(z)$ par $(z-1)$ :

$$P(z) = (z-1)(z^2-4z+5)$$

Discriminant de $z^2-4z+5$ : $\Delta = 16-20 = -4$, donc $\sqrt{\Delta} = 2i$.

$$z_1 = \frac{4+2i}{2} = 2+i \qquad z_2 = \frac{4-2i}{2} = 2-i$$

$P(z)=(z-1)(z^2-4z+5)=0$ admet trois racines complexes : $z_0=1$, $z_1=2+i$, $z_2=2-i$.

2) Triangle $ABC$ — distances, nature

3) Affixes de $F$ et $G$ — Perpendicularité

4) Affixe de $H$ — Carré $COFH$ — Triangle $AGH$

Exercice 2 — Ajustement affine — Méthode de Mayer (4 pts)

$X_i$ : dépenses publicitaires (M FCFA) | $Y_i$ : chiffre d'affaires (M FCFA)

$i$	1	2	3	4	5	6
$X_i$	95	100	110	130	150	170
$Y_i$	12	12	13	17	20	31

Sujet d'entraînement n° 14

Dans ce sujet

Corrigé détaillé

Exercice 1 — Nombres complexes et géométrie (4 pts)

1) Racines de $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$

2) Triangle $ABC$ — distances, nature

3) Affixes de $F$ et $G$ — Perpendicularité

4) Affixe de $H$ — Carré $COFH$ — Triangle $AGH$

Exercice 2 — Ajustement affine — Méthode de Mayer (4 pts)

1) Point moyen $G$ du nuage

2) Coefficient de corrélation linéaire

3) Méthode de Mayer — équation de la droite $(D)$

4) Prévisions

Problème — Parties A, B et C

Partie A — $f(x) = \ln(x^2-2x+2)$

A1) $x^2-2x+2 > 0$ pour tout réel

A2) Calcul de $f'(x)$ — Tableau de variations — Extremum

A3) Limites en $\pm\infty$

A4) Axe de symétrie $x=1$ — Tangentes en $x=0$ et $x=2$ — Tracé

B1) Calcul de $h'(x)$ et $h''(x)$

B2) Signe de $h'$ sur $[0\,;\,+\infty[$

B3) Unique solution $\alpha$ de $h(x)=0$

B4) Signe de $h(x)$ sur $[0\,;\,+\infty[$

C1) La trajectoire $(\Gamma)$ est la branche $x \leq -1$ de la courbe $(C)$

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Corrigé détaillé

Exercice 1 — Nombres complexes et géométrie (4 pts)

1) Racines de $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$

2) Triangle $ABC$ — distances, nature

3) Affixes de $F$ et $G$ — Perpendicularité

4) Affixe de $H$ — Carré $COFH$ — Triangle $AGH$

Exercice 2 — Ajustement affine — Méthode de Mayer (4 pts)

1) Point moyen $G$ du nuage

2) Coefficient de corrélation linéaire

3) Méthode de Mayer — équation de la droite $(D)$

4) Prévisions

Problème — Parties A, B et C

Partie A — $f(x) = \ln(x^2-2x+2)$

A1) $x^2-2x+2 > 0$ pour tout réel

A2) Calcul de $f'(x)$ — Tableau de variations — Extremum

A3) Limites en $\pm\infty$

A4) Axe de symétrie $x=1$ — Tangentes en $x=0$ et $x=2$ — Tracé

B1) Calcul de $h'(x)$ et $h''(x)$

B2) Signe de $h'$ sur $[0\,;\,+\infty[$

B3) Unique solution $\alpha$ de $h(x)=0$

B4) Signe de $h(x)$ sur $[0\,;\,+\infty[$

C1) La trajectoire $(\Gamma)$ est la branche $x \leq -1$ de la courbe $(C)$

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