Sujet d'entraînement n° 13

Exercice 1 — Homographie $z'=\dfrac{iz+3}{z-2i}$ (4 pts)

$A=2i$, $B=1$, $C=-1+2i$. L'homographie est $z'=\dfrac{iz+3}{z-2i}$.

1a) Exprimer $z$ en fonction de $z'$

2) Décomposition $z'=i+\dfrac{1}{z-2i}$ — Interprétation géométrique

3) Relation $(z'-i)(z-2i)=1$ — Image du cercle $|z-2i|=\sqrt{5}$

Exercice 2 — Naissances et variable aléatoire $X$ (4 pts)

1) Probabilités élémentaires

2) $n$ naissances — trouver $n_0$ tel que $P_n \geq 0{,}97$

3) Loi de $X$, espérance, variance (3 naissances)

Problème — Parties A, B et C (12 pts)

Partie A — $f(x) = \ln(x^2-2x+2)$

1) Le trinôme $x^2-2x+2$ est strictement positif

2) Calcul de $f'(x)$ et tableau de variations

3) Limites aux bornes

4) Axe de symétrie $x=1$ — Tangentes en $x=0$ et $x=2$

1) Domaine et limites en $x \to 1$

2) Asymptote oblique en $\pm\infty$

3) Calcul de $f'(x)$ et tableau de variations

4) Centre de symétrie $B=(1\,;\,1)$

5) Tangente en $A(2\,;\,2)$

7) Aire comprise entre $(C_B)$ et $(D): y=x$ de $x=2$ à $x=3$

1) Bijectivité de $h$ — image $J$

2) Tableau de variations de $h^{-1}$

3) Tracé de $(C^{-1})$