Exercice 1 — Polynôme cubique, parallélogramme, quadrilatère 4 pts
$P(Z) = Z^3 + (2-i\sqrt{3})\,Z^2 + (2-2i\sqrt{3})\,Z - 2i\sqrt{3}$
1–3 — Racine imaginaire pure, factorisation, résolution
1) Recherche d’une racine imaginaire pure $z_0 = bi$, $b \in \mathbb{R}^*$
1
On substitue $Z = bi$ dans $P(Z)$ :
$$P(bi) = (bi)^3 + (2-i\sqrt{3})(bi)^2 + (2-2i\sqrt{3})(bi) - 2i\sqrt{3}$$
$$= -b^3 i + (2-i\sqrt{3})(-b^2) + (2bi - 2b^2\sqrt{3}\cdot(-1)) - 2i\sqrt{3}$$
2
On développe soigneusement. $(bi)^2 = -b^2$, $(bi)^3 = -b^3 i$.
$$P(bi) = \underbrace{(-2b^2 + b^2\sqrt{3}\cdot i\cdot i)}_{\text{terme en }(2-i\sqrt{3})(-b^2)} \cdots$$
3
Regroupons parties réelle et imaginaire :
$$\text{Partie réelle} : -2b^2 + 2b\sqrt{3} = 0 \;\Rightarrow\; b(-b + \sqrt{3}) = 0 \;\Rightarrow\; b = \sqrt{3} \quad (b \neq 0)$$
$$\text{Partie imaginaire avec } b=\sqrt{3} : -3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0 \quad \checkmark$$
$z_0 = i\sqrt{3}$ est l’unique racine imaginaire pure de $P$.
2) Factorisation de $P$
3) Résolution complète de $P(Z)=0$
4b) Image $F'$ de $F$ par la rotation $r(O,\,-\pi/4)$
4c) Image $A'$ de $A$ par la translation de vecteur $\vec{w}$ d’affixe $3-i$
5b) Point $N$ tel que $ABCN$ soit un parallélogramme
5c) Quotient $\dfrac{Z_C - Z_A}{Z_D - Z_A}$ — propriété de $A$
5d) Nature du quadrilatère $ABCD$
Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et répétitions 4 pts
Urne $U_1$ : 3 boules Noires + 1 Blanche • Urne $U_2$ : 2 Blanches + 1 Noire • Dé : $P(S) = \dfrac{1}{6}$ (face 6), $P(\bar{S}) = \dfrac{5}{6}$ (autre face). Si face 6 → $U_2$ ; sinon → $U_1$.
1) $P(W\,|\,S)$ — probabilité de tirer Blanc sachant face 6
2) $P(S \cap N)$ et $P(\bar{S} \cap N)$
3) Probabilité totale $P(N)$
4) Théorème de Bayes — $P(S\,|\,W)$
5) Exactement 1 boule noire en 3 tirages indépendants
Problème — Parties A & B 12 pts
$f(x) = \begin{cases} xe^{x/2} & \text{si } x \leq 0 \\ x\sqrt{1+x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Partie A — Étude de $f$
A.1) Limites en $\pm\infty$
A.2) Continuité et dérivabilité en $0$
A.3) Branches infinies
A.4–5) Dérivées, variations, tableau
A.6) Asymptote $y=0$ en $-\infty$ et intersection avec $(\Delta):y=x$
B.1) Décomposition de $\dfrac{x^2}{x+1}$
B.2) Calcul de $\displaystyle\int x\ln(1+x)\,dx$ par intégration par parties
Problème — Partie C — Bijection réciproque $h^{-1}$
$h = f\big|_{[1\,;\,+\infty[}$ : restriction de $f$ à $[1\,;\,+\infty[$, soit $h(x) = x\sqrt{1+x}$.
C.1) Bijectivité de $h$ et ensemble image $J$
C.2) Sens de variation de $h^{-1}$ et tableau
C.3) Courbe $(C^{-1})$ et pente en $(\sqrt{2}\,;\,1)$
