Terminale D

Sujet d'entraînement n° 9

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points4 parties corrigées

Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

1Exercice 1 — Équations différentielles du second ordre4 pts · 5 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Calcul Intégral, Équations Différentielles
2Exercice 2 — Calcul d’intégrales4 pts · 2 questions corrigées
À revoir : Calcul Intégral
3Problème — Parties A & B12 pts · 2 questions corrigées
À revoir : Logarithme Népérien
4Problème — Partie C : Primitive et Aire3 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Fonction Exponentielle, Calcul Intégral

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Équations différentielles du second ordre (4 pts)

$(E_1) : f'' + 3f' = 4\sin x$ $(E_2) : f'' + 3f' = 0$

1) Résoudre $(E_2) : f'' + 3f' = 0$

Équation caractéristique (en posant $f = e^{rx}$) :

$$r^2 + 3r = 0 \;\Rightarrow\; r(r+3) = 0 \;\Rightarrow\; r_1 = 0 \text{ ou } r_2 = -3$$

Deux racines réelles distinctes $\Rightarrow$ solution générale :

$h(x) = C_1 + C_2\,e^{-3x}$, $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$

2) Trouver $a, b$ tels que $g(x) = a\cos x + b\sin x$ soit solution de $(E_1)$

3) Montrer que $f - g$ est solution de $(E_2)$

4) Solution générale de $(E_1)$ — conditions initiales $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$

5) Valeur moyenne de $f$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$

Exercice 2 — Calcul d’intégrales (4 pts)

$X = \displaystyle\int_0^{\pi/2}(1-x)\cos^2 x\,dx$ $Y = \displaystyle\int_0^{\pi/2}(1-x)\sin^2 x\,dx$

Sujet d'entraînement n° 9

Dans ce sujet

Corrigé détaillé

Exercice 1 — Équations différentielles du second ordre (4 pts)

1) Résoudre $(E_2) : f'' + 3f' = 0$

2) Trouver $a, b$ tels que $g(x) = a\cos x + b\sin x$ soit solution de $(E_1)$

3) Montrer que $f - g$ est solution de $(E_2)$

4) Solution générale de $(E_1)$ — conditions initiales $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$

5) Valeur moyenne de $f$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$

Exercice 2 — Calcul d’intégrales (4 pts)

Q1 — Calcul de $X + Y$, $X - Y$, puis $X$ et $Y$

Q2 — Calcul de $A$, $B$ et $C$

Problème — Parties A & B (12 pts)

Partie A — $g(x) = x + 1 + \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$

Partie B — $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par morceaux

Problème — Partie C : Primitive et Aire

Primitive $F(x) = 2x + (ax+b)e^{-2x}$ de $f$ sur $]-\infty\,;\,0]$

a) Expression de $A(\lambda) = \displaystyle\int_\lambda^0 |f(x)|\,dx$ pour $\lambda < 0$

b) Limite de $A(\lambda)$ quand $\lambda \to -\infty$

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Corrigé détaillé

Exercice 1 — Équations différentielles du second ordre (4 pts)

1) Résoudre $(E_2) : f'' + 3f' = 0$

2) Trouver $a, b$ tels que $g(x) = a\cos x + b\sin x$ soit solution de $(E_1)$

3) Montrer que $f - g$ est solution de $(E_2)$

4) Solution générale de $(E_1)$ — conditions initiales $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$

5) Valeur moyenne de $f$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$

Exercice 2 — Calcul d’intégrales (4 pts)

Q1 — Calcul de $X + Y$, $X - Y$, puis $X$ et $Y$

Q2 — Calcul de $A$, $B$ et $C$

Problème — Parties A & B (12 pts)

Partie A — $g(x) = x + 1 + \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$

Partie B — $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par morceaux

Problème — Partie C : Primitive et Aire

Primitive $F(x) = 2x + (ax+b)e^{-2x}$ de $f$ sur $]-\infty\,;\,0]$

a) Expression de $A(\lambda) = \displaystyle\int_\lambda^0 |f(x)|\,dx$ pour $\lambda < 0$

b) Limite de $A(\lambda)$ quand $\lambda \to -\infty$

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