Exercice 1 — Suite d’intégrales $U_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$ (4 pts)
$f(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$, $U_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$, $n\in\mathbb{N}$.
1a) Calculer $f'(x)$ et en déduire $U_0$
1
Posons $u(x)=x+\sqrt{1+x^2}$. Sa dérivée :
$$u'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}$$
2
$f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$. Le facteur $x+\sqrt{1+x^2}$ se simplifie avec le dénominateur de $u'$ :
$$f'(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}\cdot\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
3
$f$ est une primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ sur $\mathbb{R}$, donc :
$$U_0=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\Bigl[f(x)\Bigr]_0^1=f(1)-f(0)$$
4
$f(1)=\ln(1+\sqrt{2})$, $f(0)=\ln(0+1)=\ln 1=0$.
$U_0=\ln(1+\sqrt{2})\approx 0{,}881$
1b) Calculer $U_1=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$
2) Monotonie et minoration de $(U_n)$
3) Encadrement et limite de $(U_n)$
Exercice 2 — Suite : $U_0=9$, $\;U_{n+1}=\dfrac{U_n^2+9}{2U_n}$ (4 pts)
$U_0=9$, $U_{n+1}=\dfrac{U_n^2+9}{2U_n}$, $V_n=\dfrac{U_n-3}{U_n+3}$, $W_n=\ln(V_n)$.
1) Montrer que $V_{n+1}=V_n^2$
2) Nature de $(W_n)$, expression de $W_n$ et $V_n$
3) Expression et convergence de $U_n$
4) Comportement asymptotique de $S_n=U_0+U_1+\cdots+U_n$
Problème — Partie A (12 pts)
$u:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$, $u(x)=x+2+\ln|x|$.
A1) Domaine, limites et tableau de variations de $u$
A2–A3) Zéros de $u$ et signe de $u(x)$
Problème — Partie B
$f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x+1}{x}\ln|x|=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln|x|$.
B1) Domaine, limites et dérivée de $f$
B2) Tableau de variations de $f$
B3) Zéros, branches infinies et tangente en $(-1\,;\,0)$
Problème — Partie C — Bijection réciproque $h^{-1}$
$h=f|_{[1,+\infty[}$, restriction de $f$ à $[1,+\infty[$.
C1) Bijectivité et image de $h$
C2) Tangente à $\mathcal{C}^{-1}$ en $(0\,;\,1)$
Problème — Partie D — Aires et volume
D1) Aire $A(n)=\displaystyle\int_1^n f(x)\,dx$
D2a) Intégrale $\displaystyle\int_1^2(x-2)e^{1-x}\,dx$ par IPP
D2b) Volume de révolution $V=\pi\displaystyle\int_1^2\bigl[f(x)\bigr]^2\,dx$
