Terminale D

Sujet d'entraînement n° 6

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points4 parties corrigées

Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

1Exercice 1 — Polynôme cubique, rotation, ensembles4 pts · 6 questions corrigées
À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II
2Exercice 2 — Primitives de $f(x)=\dfrac{3x-1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{\sqrt{2-x}}$4 pts · 4 questions corrigées
À revoir : Logarithme Népérien, Calcul Intégral
3Problème — Parties A & B12 pts · 6 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Logarithme Népérien
4Problème — Partie C : Bijection réciproque $h^{-1}$3 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Polynôme cubique, rotation, ensembles (4 pts)

$P(z)=z^3-(3+2i)z^2+(2+6i)z-4i$

Partie A — Résolution de $P(z)=0$

A1) Montrer que $z_1=2i$ est racine de $P$

On pose $z_1=bi$ avec $b\in\mathbb{R}^*$ et on calcule $P(bi)$.

$$P(bi)=b^3i^3-(3+2i)b^2i^2+(2+6i)bi-4i=(-b^3i)+(3b^2+2b^2i)+(2bi-6b)-4i$$

Partie réelle : $3b^2-6b=3b(b-2)=0$ → $b=0$ (exclu) ou $b=2$.

Vérification avec $b=2$ — partie imaginaire : $-8+8+4-4=0$ ✓

Vérification directe : $P(2i)=(2i)^3-(3+2i)(2i)^2+(2+6i)(2i)-4i$
$=-8i-(3+2i)(-4)+(4i-12)-4i=-8i+12+8i+4i-12-4i=0$ ✓

$z_1=2i$ est l'unique racine imaginaire pure de $P$

A2) Résolution complète de $P(z)=0$ par les relations de Vieta

B1) Parallélogramme $ABCD$ — affixe de $D$

Sujet d'entraînement n° 6

Dans ce sujet

Corrigé détaillé

Exercice 1 — Polynôme cubique, rotation, ensembles (4 pts)

Partie A — Résolution de $P(z)=0$

A1) Montrer que $z_1=2i$ est racine de $P$

A2) Résolution complète de $P(z)=0$ par les relations de Vieta

B1) Parallélogramme $ABCD$ — affixe de $D$

B2) Quotient $k=\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}$ et nature du triangle $ABC$

B3) Rotation de centre $O$, angle $-\pi/3$ — image $G$ de $A$

B4) $Z'=\dfrac{Z-z_A}{Z-z_B}$ — ensembles $(E_1)$ et $(E_2)$, médiatrice

Exercice 2 — Primitives de $f(x)=\dfrac{3x-1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{\sqrt{2-x}}$ (4 pts)

a) Dériver $p(x)=\ln\!\left(2-x+\sqrt{(2-x)^2+1}\right)$

b) Primitive de $q(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2-x}}$

c) Décomposition de $k(x)=\dfrac{3x-1}{(x+1)^2}$ et primitive

d) Primitive $F$ s'annulant en $0$

Problème — Parties A & B (12 pts)

Partie A — Signe de $g(x)=2-x^2+2\ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$

Etude de $g$

B1–3) Domaine, limites, dérivabilité

B4–5) Dérivée et variations de $f$

B6) Tangente au point $A(1\,;\,3)$

B7) Asymptote $y=x$ en $+\infty$

B8) Position de $(C)$ par rapport à $(D)$

Problème — Partie C : Bijection réciproque $h^{-1}$

C1) Bijectivité de $h=f|_{[1\,;\,+\infty[}$ et domaine de $h^{-1}$

C2) Variations de $h^{-1}$

C3) Courbe $(C')$ de $h^{-1}$

Dans ce sujet

Corrigé détaillé

Exercice 1 — Polynôme cubique, rotation, ensembles (4 pts)

Partie A — Résolution de $P(z)=0$

A1) Montrer que $z_1=2i$ est racine de $P$

A2) Résolution complète de $P(z)=0$ par les relations de Vieta

B1) Parallélogramme $ABCD$ — affixe de $D$

B2) Quotient $k=\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}$ et nature du triangle $ABC$

B3) Rotation de centre $O$, angle $-\pi/3$ — image $G$ de $A$

B4) $Z'=\dfrac{Z-z_A}{Z-z_B}$ — ensembles $(E_1)$ et $(E_2)$, médiatrice

Exercice 2 — Primitives de $f(x)=\dfrac{3x-1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{\sqrt{2-x}}$ (4 pts)

a) Dériver $p(x)=\ln\!\left(2-x+\sqrt{(2-x)^2+1}\right)$

b) Primitive de $q(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2-x}}$

c) Décomposition de $k(x)=\dfrac{3x-1}{(x+1)^2}$ et primitive

d) Primitive $F$ s'annulant en $0$

Problème — Parties A & B (12 pts)

Partie A — Signe de $g(x)=2-x^2+2\ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$

Etude de $g$

B1–3) Domaine, limites, dérivabilité

B4–5) Dérivée et variations de $f$

B6) Tangente au point $A(1\,;\,3)$

B7) Asymptote $y=x$ en $+\infty$

B8) Position de $(C)$ par rapport à $(D)$

Problème — Partie C : Bijection réciproque $h^{-1}$

C1) Bijectivité de $h=f|_{[1\,;\,+\infty[}$ et domaine de $h^{-1}$

C2) Variations de $h^{-1}$

C3) Courbe $(C')$ de $h^{-1}$

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