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Terminale D

Sujet d'entraînement n° 4

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points4 parties corrigées
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Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

  1. 1Exercice 1 — Complexes : puissances, valeurs exactes, ensembles4 pts · 5 questions corrigées

    À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II

  2. 2Exercice 2 — Homographie $f(z) = \dfrac{(2+i)z-3}{z-(4-i)}$4 pts · 6 questions corrigées

    À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II

  3. 3Problème — Parties A & B12 pts · 5 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques, Logarithme Népérien

  4. 4Problème — Parties C & D2 questions corrigées

    À revoir : Calcul Intégral

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Complexes : puissances, valeurs exactes, ensembles 4 pts

$z_0 = 1-i$,   $A = \bar{z}_0 = 1+i$,   $B = iz_0^2$,   $C = A \cdot B$

1–2) Modules, arguments et formes exponentielles de $A$, $B$, $C$

1
$A = 1+i$ : $|A| = \sqrt{2}$, $\arg A = \dfrac{\pi}{4}$ (1er quadrant, parties égales).
$A = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$
2
$z_0^2 = (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$, donc $B = i \times (-2i) = -2i^2 = 2$. $|B| = 2$, $\arg B = 0$.
$B = 2$ (réel positif)
3
$C = A \cdot B = (1+i) \cdot 2 = 2+2i$. $|C| = 2\sqrt{2}$, $\arg C = \dfrac{\pi}{4}$.
$C = 2\sqrt{2}\,e^{i\pi/4} = 2+2i$

3) Calcul de $A^{202}$

4–5) Valeurs exactes de $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{11\pi}{12}$

6) Parallélogramme $EFGH$ — Affixe de $H$

7) $Z' = \dfrac{z - z_E}{z - z_F}$ — Ensembles $(E_1)$ et $(E_2)$

Exercice 2 — Homographie $f(z) = \dfrac{(2+i)z-3}{z-(4-i)}$ 4 pts

1) Forme algébrique de $z_0 = \dfrac{4(1+i)}{1-3i}$

2) Racines carrées de $z_0$

3) Forme trigonométrique de $z_0$

4.a) Décomposition de $f(z)$

4.b) $|f(z)| = \sqrt{5}$ — Droite $7x - y = 19$

4.c) $f(z)$ réel — Cercle $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 10$

Problème — Parties A & B 12 pts

$f(x) = 3e^{x-1}-x$ si $x \leq 1$   et   $f(x) = \dfrac{x+2\ln x}{x^2}$ si $x > 1$

Partie A — Signe de $Q(x) = 2 + x - 3\ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$

Partie B — 1–2) Domaine $D_f = \mathbb{R}$ et limites

Partie B — 3–4) Discontinuité et demi-tangente en $x = 1$

Partie B — 5) Asymptote curviligne $y = -\dfrac{1}{x}$ en $+\infty$

Partie B — 6) Dérivées, signe et tableau de variations

Problème — Parties C & D

Partie C — Bijection réciproque $h^{-1}$ sur $[x_0\,;\,+\infty[$

Partie D — Primitive et aire entre $(C)$, $Ox$, $x = 1$, $x = e$

Mode hors-ligne — données en cache