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Terminale D

Sujet d'entraînement n° 2

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points5 parties corrigées
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Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

  1. 1Exercice 1 — Rotation et valeurs exactes de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$4 pts · 6 questions corrigées

    À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II

  2. 2Exercice 2 — Racines carrées, triangle, application4 pts · 5 questions corrigées

    À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II

  3. 3Problème — Partie A12 pts · 4 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques

  4. 4Problème — Partie B : Bijection réciproque $h^{-1}$2 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques

  5. 5Problème — Partie C : Courbe paramétrée3 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques, Courbes Paramétrées

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Rotation et valeurs exactes de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ 4 pts

1) Forme exponentielle de $z_A = 1+i$

1
$|z_A| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ et $\arg(z_A) = \dfrac{\pi}{4}$ (premier quadrant, $\cos = \sin = \frac{1}{\sqrt{2}}$).
$z_A = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$

2.a) Affixe $z_B$ de l'image de $B$ par la rotation $r\!\left(O,\dfrac{\pi}{4}\right)$

2.b) Nature du triangle $OAB$

3.a–b) Forme exponentielle et algébrique de $z_C$

3.c) Valeurs exactes de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{12}$

4) Résolution de $(\sqrt{3}+1)\cos x - (\sqrt{3}-1)\sin x = 2$

Exercice 2 — Racines carrées, triangle, application 4 pts

1) Racines carrées de $w = -3 + 4i$

2) Forme trigonométrique de $w = -3+4i$

3) Résolution de $z^2 - (2+i)z + (3+i) = 0$

4) Nature du triangle $ABC$ avec $z_A = 1+2i$, $z_B = 3i$, $z_C = 2+3i$

5) $f(Z) = \dfrac{Z-(1+2i)}{Z-(2+3i)}$ — Ensembles $(E)$ et $(\mathcal{D})$

Problème — Partie A 12 pts

$f(x) = \dfrac{x^2-2x+3}{x-3}$ si $x > 3$   et   $f(x) = 2 - xe^{x-2}$ si $x \leq 3$

1–3) Domaine $D_f = \mathbb{R}$, limites et continuité en $x = 3$

4–5) Dérivabilité en $x = 3$ et décomposition

6–7) Asymptotes : oblique $y = x+1$ et horizontale $y = 2$

8) Tableau de variations complet

Problème — Partie B : Bijection réciproque $h^{-1}$

$h = f\big|_{[-1\,;\,3]}$ — restriction de la branche $f(x) = 2 - xe^{x-2}$ à $[-1\,;\,3]$.

1) $h$ est une bijection de $[-1\,;\,3]$ sur $K$

2–4) Variations de $h^{-1}$ et courbe $(C')$

Problème — Partie C : Courbe paramétrée

$x(t) = t^2 - 1$, $\quad y(t) = t^3 - 3t$, $\quad t \in \mathbb{R}$

1–2) Ensemble des valeurs de $x$ et équation cartésienne

3) La trajectoire est la courbe algébrique entière

4) Vecteur vitesse — tangentes au point double

Mode hors-ligne — données en cache