Valeur absolue ; encadrement

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Les solutions de $|x-4|=6$ sont :
a) $10$ et $-2$   b) $10$ et $2$   c) $-10$ et $2$   d) $6$ et $-6$

2) L'ensemble des solutions de $|2x+1|\le9$ est :
a) $[-5;4]$   b) $[-4;5]$   c) $[-9;9]$   d) $[-10;8]$

3) Sachant $3{,}1\le\sqrt{10}\le3{,}2$ et $1{,}4\le\sqrt2\le1{,}5$, un encadrement de $\sqrt{20}$ est :
a) $[4{,}34;4{,}8]$   b) $[4{,}3;4{,}7]$   c) $[3{,}1;3{,}2]$   d) $[1{,}4;1{,}5]$

4) L'ensemble des solutions de $|x-3|>5$ est :
a) $\,]-\infty;-2[\,\cup\,]8;+\infty[$   b) $[-2;8]$   c) $\,]8;+\infty[$   d) $\,]-\infty;-2[$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un menuisier fabrique des portes de largeur nominale $90$ cm, avec une tolérance de fabrication de $\pm1{,}5$ cm : une porte de largeur $x$ (en cm) est acceptée si et seulement si $|x-90|\le1{,}5$. Il mesure deux portes en fin de journée : la première a une largeur de $91{,}2$ cm, la seconde de $88{,}3$ cm.

Consigne : Écrire l'inéquation traduisant la tolérance de fabrication. Vérifier, en calculant $|x-90|$ pour chaque porte, laquelle des deux portes est acceptée et laquelle doit être refusée. Conclure.

Exercice supplémentaire. Un pisciculteur doit maintenir la température de son bassin à $26°C$ à $\pm1{,}5°C$ près.

1) Écrire cette contrainte avec une valeur absolue, $x$ désignant la température.
2) Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des températures acceptables.
3) Si de plus le taux d'oxygène $y$ vérifie $5\le y\le8$ (mg/L), encadrer $x+y$.

Problème. On donne les encadrements $2{,}23\le\sqrt5\le2{,}24$ et $1{,}73\le\sqrt3\le1{,}74$.

Partie A. 1) En déduire un encadrement de $\sqrt5+\sqrt3$. 2) En déduire un encadrement de $\sqrt5\times\sqrt3=\sqrt{15}$.

Partie B. 3) Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $|x+2|\ge4$.

Partie C. 4) À l'aide de l'encadrement obtenu en A.2, donner une valeur approchée de $\sqrt{15}$ à $10^{-1}$ près par excès.

Un centre de santé conserve des vaccins dans un réfrigérateur. La notice indique que la température \(T\) (en degrés Celsius) doit vérifier \(|T-5|\le 3\).

1) Traduis cette condition par un intervalle, puis interprète-la en termes de distance.

2) L'infirmier relève quatre températures : 1,5 °C ; 4 °C ; 8,5 °C et 7,8 °C. Lesquelles respectent la notice ? Justifie par un calcul de distance.

3) Après réglage, la température du réfrigérateur reste comprise entre 3,2 °C et 6,8 °C. Écris cette condition sous la forme \(|T-c|\le r\), puis justifie que la notice est bien respectée.

4) Pour un appareil importé, on utilise les degrés Fahrenheit : \(F=1{,}8\,T+32\). En utilisant la condition de la notice, donne l'encadrement de \(F\), puis écris-le sous la forme \(|F-c|\le r\).

On considère les ensembles \(I\) et \(J\) des nombres réels \(x\) tels que \(|x-3|\le 2\) pour \(I\), et \(|x+1|\lt 3\) pour \(J\).

1) Écris \(I\) et \(J\) sous forme d'intervalles. Pour \(J\), explique pourquoi \(|x+1|\) est la distance entre \(x\) et \(-1\).

2) Représente \(I\) et \(J\) sur une même droite graduée, puis détermine \(I\cap J\) et \(I\cup J\).

3) Calcule la distance entre les centres 3 et \(-1\) des deux intervalles.

4) Détermine le nombre réel \(x\) tel que \(|x-3|=|x+1|\). Justifie ta réponse à l'aide des distances, puis vérifie-la par le calcul.

5) Résous \(|x-3|\gt 2\) et interprète le résultat à l'aide de l'intervalle \(I\).

La piste d'athlétisme d'un lycée est un cercle de rayon 20 m. On sait que \(3{,}14\lt\pi\lt 3{,}15\). On note \(L\) la longueur d'un tour de piste : \(L=2\pi r\).

1) Justifie que \(L=40\pi\), puis donne un encadrement de \(L\).

2) Déduis-en une valeur approchée de \(L\) à 1 m près par défaut, puis par excès.

3) Un élève court 8 tours. Encadre la distance \(D\) parcourue. Peut-on affirmer qu'il a couru plus d'un kilomètre ? Justifie.

4) Combien de tours complets l'élève doit-il faire au minimum pour être certain d'avoir couru au moins 5 km ? Justifie en utilisant les deux bornes de l'encadrement.

Une commerçante achète une caisse de mangues. La masse \(m\) de la caisse (en kg) vérifie \(|m-25|\le 0{,}5\) et le prix \(p\) du kilogramme au marché de gros varie entre 350 F et 400 F selon les jours.

1) Traduis la condition sur \(m\) par un intervalle.

2) Donne un encadrement du prix d'achat \(P=p\times m\) de la caisse. Justifie que l'on peut multiplier les encadrements.

3) Elle revend la caisse avec un bénéfice de 20 % du prix d'achat. Encadre le prix de vente \(V\).

4) Écris l'encadrement de \(V\) sous la forme \(|V-c|\le r\) et interprète \(c\) et \(r\).

5) Un client dispose de 12 000 F. Peut-il être certain de pouvoir acheter la caisse ? Justifie.