Seconde A · Leçon 1
Calcul, proportionnalité et ordre dans ℝ
Ensembles de nombres et règles de calcul
Ce chapitre consolide les acquis du post-primaire. L'objectif n'est pas la virtuosité technique, mais la maîtrise sûre des mécanismes élémentaires, toujours reliée à la résolution de problèmes concrets — on évitera les exemples artificiels ou trop techniques.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) : entiers naturels, entiers relatifs, décimaux (écriture décimale finie), rationnels (quotients d'entiers), réels. Chaque ensemble est inclus dans le suivant.
Priorité des opérations : parenthèses d'abord, puis multiplication/division, puis addition/soustraction. Associativité de l'addition et de la multiplication : l'ordre de regroupement ne change pas le résultat. Distributivité : \(a(b+c) = ab+ac\).
Puissances entières : \(a^n = a\times a\times\cdots\times a\) (\(n\) facteurs), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) pour \(a\ne0\). Racine carrée d'un réel positif \(x\) : l'unique réel positif \(\sqrt x\) tel que \((\sqrt x)^2=x\).
Facile. \(3+4\times2 = 3+8=11\) (pas \(14\) : la multiplication est prioritaire).
Fractions. \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\) (mise au même dénominateur).
Équation du premier degré. Résoudre \(3x-7=2x+5\) : on regroupe les termes en \(x\) d'un côté, \(3x-2x=5+7\), donc \(x=12\).
Proportionnalité et pourcentages
Deux grandeurs sont proportionnelles s'il existe un réel \(a\) (le coefficient de proportionnalité) tel que la seconde s'obtienne toujours en multipliant la première par \(a\) : c'est la fonction \(x \mapsto ax\), dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine.
Un pourcentage \(t\,\%\) correspond au coefficient de proportionnalité \(\dfrac{t}{100}\). Augmenter une quantité de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\) ; la diminuer de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\).
Exemple. Un article à \(8\,000\) F subit une remise de \(15\,\%\). Nouveau prix : \(8\,000\times(1-0{,}15) = 8\,000\times0{,}85 = 6\,800\) F.
Ordre dans ℝ et inégalités
L'ordre est conservé par addition d'un même réel, et par multiplication par un réel strictement positif. Il est inversé par multiplication par un réel strictement négatif. Toute virtuosité technique au-delà de ces règles élémentaires est exclue du programme.
Résoudre \(-2x+5 \le 11\).
\(-2x \le 6\), puis on divise par \(-2\) (négatif : l'inégalité s'inverse) : \(x \ge -3\). Solution : \(x \in [-3\,;+\infty[\).
Facile. \(3x-1 > 8 \iff 3x > 9 \iff x > 3\), soit \(x \in\ ]3\,;+\infty[\).
Intervalle. \(x \in [-2\,;5[\) signifie \(-2 \le x < 5\) : borne de gauche incluse, borne de droite exclue.
Figure interactive — Fonction de proportionnalité
La droite \(y=ax\) passe toujours par l'origine, quel que soit \(a\).
Résumé
\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Priorités, associativité, distributivité, puissances, racine carrée.
\(y=ax\) : droite passant par l'origine. Pourcentage \(t\,\%\) = coefficient \(t/100\). Augmenter de \(t\,\%\) : multiplier par \(1+t/100\).
Conservé par addition et multiplication par un positif ; inversé par multiplication par un négatif.
Même démarche qu'une équation, mais surveiller le sens de l'inégalité à chaque multiplication/division par un négatif.
Sujet type devoir
Un commerçant achète un article \(12\,000\) F et le revend avec un bénéfice de \(25\,\%\) du prix d'achat.
Question 1. Calculer le prix de vente.
Prix de vente \(= 12\,000 \times 1{,}25 = 15\,000\) F.
Question 2. Lors d'une promotion, il accepte de vendre l'article avec une réduction \(x\) (en francs) par rapport au prix de vente, à condition de garder un bénéfice d'au moins \(2\,000\) F. Écrire l'inéquation correspondante et la résoudre.
Bénéfice après réduction : \((15\,000-x)-12\,000 = 3\,000-x\). On veut \(3\,000-x \ge 2\,000\), soit \(-x \ge -1\,000\), donc (en divisant par \(-1\), l'inégalité s'inverse) \(x \le 1\,000\).
Le commerçant peut réduire le prix d'au plus \(1\,000\) F.
Question 3. Le prix d'achat augmente de \(10\,\%\) chez le fournisseur. Le commerçant garde le même taux de bénéfice de \(25\,\%\). Quel est le nouveau prix de vente ?
Nouveau prix d'achat : \(12\,000\times1{,}10=13\,200\) F. Nouveau prix de vente : \(13\,200\times1{,}25=16\,500\) F.