Seconde A · Leçon 3

Polynômes

Calcul littéral : développement, factorisation, identités remarquables

Identités remarquables \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \quad (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

Les identités du troisième degré ne sont pas au programme.

Théorème — Racine et factorisation (admis)

Soit \(P(x)\) un polynôme et \(a\) un réel. On admet :

\[ P(a)=0 \iff \text{il existe un polynôme } Q(x) \text{ tel que } P(x)=(x-a)Q(x). \]

Méthode — Coefficients indéterminés (exemple du programme)

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Trinôme du second degré : forme canonique

Forme canonique

Pour \(P(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\ne0\)) :

\[ P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, \qquad \alpha=-\dfrac{b}{2a},\quad \beta=P(\alpha). \]

Discriminant

Pour résoudre \(ax^2+bx+c=0\), on pose \(\Delta=b^2-4ac\).

\(\Delta>0\) : deux solutions \(x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}\). \(\Delta=0\) : une solution double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\). \(\Delta<0\) : aucune solution réelle.

Exemples gradués

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Hors programme

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Signe du trinôme et inéquations du second degré

Signe du trinôme

Si \(\Delta>0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe opposé entre les racines. Règle mnémotechnique : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».

Méthode — Signe d'un produit, résolution d'une inéquation

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Exemple — Problème concret

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Figure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)

\(a\) = 1 \(b\) = -1 \(c\) = -6