Seconde A · Leçon 4
Systèmes d'équations linéaires
Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
L'objectif est double : connaître les différentes méthodes de résolution, et surtout savoir choisir la mieux adaptée à une situation — en particulier mettre en équations un problème concret. Tout se fait sur des exemples numériques.
Résoudre le système, c'est trouver le(s) couple(s) \((x,y)\) qui vérifient les deux équations à la fois.
Résoudre \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases}\).
La première équation donne directement \(y\) en fonction de \(x\) : on substitue dans la seconde. \(3x+(2x-1)=9\), soit \(5x=10\), donc \(x=2\), puis \(y=3\).
Solution : \((x,y)=(2,3)\).
Résoudre \(\begin{cases}2x+3y=12\\5x-3y=9\end{cases}\).
Les coefficients de \(y\) sont opposés : on additionne directement les deux équations, ce qui élimine \(y\). \(2x+3y+5x-3y=12+9\), soit \(7x=21\), donc \(x=3\). En reportant dans la première équation : \(2(3)+3y=12\), donc \(3y=6\), soit \(y=2\).
Solution : \((x,y)=(3,2)\).
Systèmes 2×2 : déterminant et interprétation graphique
Chaque équation représente une droite. La solution du système est le point d'intersection des deux droites — lisible directement sur un graphique bien construit, méthode particulièrement utile pour vérifier un résultat trouvé par le calcul.
Deux articles A et B. Trois articles A et deux articles B coûtent \(2\,900\) F ; un article A et quatre articles B coûtent \(2\,700\) F. Prix de chaque article ?
Notons \(x\) le prix de A, \(y\) le prix de B :
\[ \begin{cases} 3x+2y=2\,900 \\ x+4y=2\,700 \end{cases} \]De la seconde équation : \(x=2\,700-4y\). En substituant dans la première : \(3(2\,700-4y)+2y=2\,900\), soit \(8\,100-12y+2y=2\,900\), donc \(-10y=-5\,200\), \(y=520\). Puis \(x=2\,700-2\,080=620\).
L'article A coûte \(620\) F, l'article B coûte \(520\) F.
Figure — Intersection de deux droites
Le point d'intersection donne la solution du système \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases}\).
Résumé
Isoler une inconnue dans une équation, remplacer dans l'autre. Efficace si une équation est déjà "\(y=\ldots\)".
Multiplier les équations pour faire disparaître une inconnue par addition ou soustraction.
Chaque équation = une droite. Solution = point d'intersection. Utile pour vérifier visuellement un résultat.
Toujours vérifier la cohérence du résultat avec l'énoncé concret (valeurs entières, positives, réalistes…).
Sujet type devoir
Un groupe de \(30\) personnes (adultes et enfants) visite un musée. Le billet adulte coûte \(1\,000\) F, le billet enfant \(400\) F. La recette totale est de \(21\,000\) F.
Question 1. En notant \(x\) le nombre d'adultes et \(y\) le nombre d'enfants, écrire le système traduisant la situation.
Question 2. Résoudre ce système par substitution.
De la première équation : \(y=30-x\). En substituant :
\[ 1\,000x+400(30-x)=21\,000 \]\(1\,000x+12\,000-400x=21\,000\), soit \(600x=9\,000\), donc \(x=15\). Alors \(y=30-15=15\).
Question 3. Vérifier le résultat, puis interpréter concrètement.
Vérification : \(1\,000\times15+400\times15=15\,000+6\,000=21\,000\). Correct. Le groupe compte \(15\) adultes et \(15\) enfants.