Seconde A · Leçon 6
Statistiques
Exercices corrigés
QCM — Vocabulaire, moyenne, médiane, histogramme
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une série a pour effectifs $3,7,6,3,1$. L'effectif total est :
a) $20$ b) $15$ c) $18$ d) $25$
2) Pour une série de $20$ individus (effectif pair), la médiane se situe entre :
a) la $10^{\text e}$ et la $11^{\text e}$ valeur triées b) la $9^{\text e}$ et la $10^{\text e}$ c) uniquement la $10^{\text e}$ d) uniquement la $11^{\text e}$
3) Dans un histogramme, ce qui doit être proportionnel à l'effectif d'une classe est :
a) l'aire du rectangle b) la hauteur du rectangle c) la largeur du rectangle d) le périmètre
4) La classe modale d'une série regroupée en classes est :
a) la classe de plus grand effectif b) la classe la plus large c) la première classe d) la classe contenant la moyenne
Voir le corrigé
- Réponse : a. $3+7+6+3+1=20$.
- Réponse : a. Effectif pair $2n=20$ : médiane entre la $n^{\text e}=10^{\text e}$ et la $(n+1)^{\text e}=11^{\text e}$ valeur.
- Réponse : a. L'aire, pas seulement la hauteur — important quand les classes n'ont pas toutes la même largeur.
- Réponse : a. Par définition, la classe modale est celle de plus grand effectif.
Situation d'intégration — Rendements de mil au Sahel
Exercice 2 — Situation d'intégration
Le président d'une association de producteurs de mil dans la région du Sahel a relevé les rendements (en kg par are) de $15$ parcelles pilotes : $40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 65, 70, 75$.
Consigne : 1) Construire le tableau des effectifs et l'effectif cumulé croissant. 2) Calculer le rendement moyen des $15$ parcelles. 3) Déterminer la médiane de cette série. 4) Le président qualifie de "bon rendement" toute parcelle au-dessus de la moyenne. Combien de parcelles sont dans ce cas ?
Exercice supplémentaire — Vaccinations
Exercice supplémentaire. Un vétérinaire relève le nombre de vaccins administrés par jour sur $20$ jours : $3$ jours à $2$ vaccins, $5$ jours à $4$ vaccins, $8$ jours à $5$ vaccins, $4$ jours à $8$ vaccins.
1) Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2) Calculer la moyenne.
3) Déterminer la médiane de cette série.
Situation d'intégration — Résultats d'un contrôle de mathématiques
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un enseignant de mathématiques regroupe les notes sur $20$ de ses $25$ élèves à un contrôle en classes : $[0;5[$ : $2$ élèves ; $[5;10[$ : $6$ élèves ; $[10;15[$ : $11$ élèves ; $[15;20]$ : $6$ élèves. Le proviseur souhaite savoir si une séance de soutien s'impose : il fixe le seuil de déclenchement à $30\,\%$ d'élèves en situation d'échec (note strictement inférieure à $10$).
Consigne : Vérifier l'effectif total, déterminer la classe modale, calculer le nombre d'élèves ayant une note inférieure à $10$ ainsi que le pourcentage correspondant, et conclure si le proviseur doit déclencher la séance de soutien.
Exercice supplémentaire — Âges des clients
Exercice supplémentaire. Un pharmacien classe les âges de $40$ clients reçus en une matinée : $[0;20[$ : $6$ clients ; $[20;40[$ : $14$ clients ; $[40;60[$ : $12$ clients ; $[60;80[$ : $8$ clients.
1) Donner le centre de chaque classe.
2) Calculer l'âge moyen de ces clients.
3) Quelle est la classe modale ?
Problème — Notes d'une interrogation
Problème. Un enseignant de mathématiques d'un lycée a noté sur $20$ les résultats de $22$ élèves à une interrogation : $6, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19$.
Partie A.
1) Quel est le mode de cette série ?
2) Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).
Partie B.
3) Déterminer la médiane de cette série ($22$ valeurs : moyenne des $11^e$ et $12^e$ valeurs triées).
4) L'enseignant attribue une mention "Très bien" aux notes strictement supérieures à $15$. Combien d'élèves l'obtiennent, et quel pourcentage de la classe cela représente-t-il (arrondi à l'entier) ?
Voir le corrigé
- Mode $=12$ (effectif $4$, le plus grand).
- Somme $=6+16+9+30+11+48+26+28+30+16+17+18+19=274$. Moyenne $=274/22\approx12{,}5$.
- Effectifs cumulés : $\ldots$, jusqu'à $11$ : $8$ ; jusqu'à $12$ : $12$. Les $11^e$ et $12^e$ valeurs sont toutes deux dans le groupe $12$ : médiane $=(12+12)/2=12$.
- Notes $>15$ : $16, 17, 18, 19$ soit $4$ élèves. Pourcentage $=4/22\times100\approx18\%$.
Problème — Ventes d'un vendeur de recharges
Problème. Un vendeur de recharges téléphoniques relève le nombre de recharges vendues chaque jour sur $10$ jours :
| Ventes (valeur) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 4 | 2 | 1 | 1 |
Partie A. 1) Vérifier que l'effectif total est bien $10$, puis déterminer le mode.
Partie B. 2) Calculer la moyenne des ventes journalières.
Partie C. 3) Déterminer la médiane de cette série.
Enquête sur le nombre d'enfants par famille
Dans un quartier, une association a demandé à 40 familles le nombre d'enfants de moins de 15 ans vivant avec elles. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant.
| Nombre d'enfants | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif (familles) | 4 | 6 | 10 | 12 | 5 | 3 |
1) Précise la population, le caractère étudié et sa nature. Calcule la fréquence de chaque valeur, en pourcentage.
2) Donne le mode de la série, puis calcule le nombre moyen d'enfants par famille.
3) Construis la ligne des effectifs cumulés croissants et déduis-en la médiane. Interprète ce résultat.
4) On veut représenter la série par un diagramme circulaire. Calcule l'angle de chaque secteur.
5) L'association offre 2 cahiers à chaque enfant recensé. Combien de cahiers doit-elle prévoir ? Quel pourcentage des familles a au moins 3 enfants ? Explique pourquoi ce pourcentage est cohérent avec la médiane trouvée à la question 3.
Temps de trajet des élèves et histogramme
Le conseil d'un lycée étudie la durée du trajet domicile-lycée de 80 élèves, en minutes. Les résultats sont regroupés en classes.
| Durée (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | [40 ; 60[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 12 | 18 | 25 | 15 | 10 |
1) Calcule la fréquence de chaque classe en pourcentage, puis le centre de chaque classe.
2) En utilisant les centres des classes, calcule la durée moyenne du trajet.
3) Donne la classe modale. Construis la ligne des effectifs cumulés croissants et détermine la classe qui contient la médiane.
4) On trace l'histogramme en prenant pour hauteur d'une classe d'amplitude 10 minutes son effectif. Explique pourquoi la hauteur du rectangle de la classe [40 ; 60[ n'est pas 10, et donne cette hauteur.
5) Le lycée veut mettre en place un car pour les élèves dont le trajet dure au moins 30 minutes. Combien d'élèves sont concernés, et quel pourcentage cela représente-t-il ? Un car de 30 places suffit-il ? Justifie.
Retrouver des effectifs inconnus
Une série statistique de 20 valeurs est donnée par le tableau suivant, où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers naturels inconnus.
| Valeur | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(a\) | 7 | \(b\) | 3 |
On sait que la moyenne de cette série est égale à 11,2.
1) Justifie que \(a\) et \(b\) vérifient \(a+b=10\) et \(2a+3b=28\).
2) Résous ce système, puis vérifie que la moyenne vaut bien 11,2.
3) Donne le mode et la médiane de la série.
4) On ajoute une 21e valeur \(x\) à la série. La nouvelle moyenne est 11. Calcule \(x\).
5) Calcule la nouvelle médiane. Compare l'effet de cet ajout sur la moyenne et sur la médiane, puis interprète.
Cultures d'une coopérative agricole
Une coopérative regroupe 80 producteurs. Chacun a indiqué sa culture principale. Le diagramme circulaire obtenu comporte les secteurs suivants : mil 108 degrés, maïs 90 degrés, arachide 72 degrés, sésame \(x\) degrés et niébé 36 degrés.
1) Quel est le caractère étudié et quelle est sa nature ? Calcule \(x\).
2) Calcule l'effectif et la fréquence en pourcentage de chaque culture.
3) Donne le mode de cette série. Explique pourquoi on ne peut calculer ni moyenne ni médiane.
4) Les producteurs de mil ont indiqué la surface qu'ils cultivent : 6 cultivent 1 ha, 9 cultivent 2 ha, 6 cultivent 3 ha et les autres 4 ha. Combien cultivent 4 ha ? Calcule la surface moyenne cultivée par un producteur de mil. Quelle représentation graphique convient à cette série ?
5) Détermine la médiane des surfaces. Quel pourcentage des producteurs de mil cultive au moins 3 ha ? Et quel pourcentage de l'ensemble de la coopérative cela représente-t-il ?