Polynômes

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le discriminant de $2x^2+3x-5$ vaut :
a) $49$   b) $9$   c) $29$   d) $1$

2) Les racines de $x^2-7x+10=0$ sont :
a) $2$ et $5$   b) $-2$ et $-5$   c) $1$ et $10$   d) $2$ et $-5$

3) La forme canonique de $x^2-6x+5$ est :
a) $(x-3)^2-4$   b) $(x-3)^2+4$   c) $(x+3)^2-4$   d) $(x-6)^2+5$

4) Le signe de $(x-2)(x+4)$ pour $x\in\,]-4;2[$ est :
a) négatif   b) positif   c) nul   d) indéterminé

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un agriculteur dispose de $40$ m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire pour ses volailles, adossé à un mur déjà existant (seuls les trois autres côtés doivent être clôturés : deux largeurs et une longueur). Il note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres.

Consigne : Exprimer la longueur de l'enclos en fonction de $x$, puis son aire $A(x)$. Déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'aire de l'enclos dépasse strictement $150$ m², en tenant compte des contraintes physiques du problème ($x>0$ et longueur $>0$).

Exercice supplémentaire. On considère le polynôme $P(x)=2x^2-5x-3$.

1) Calculer le discriminant de $P$.
2) Résoudre l'équation $P(x)=0$.
3) En déduire la factorisation de $P(x)$ puis résoudre l'inéquation $P(x)\le0$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Problème. On considère $P(x)=x^2+x-12$.

Partie A. 1) Vérifier que $3$ est racine de $P$, puis factoriser $P(x)$.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $P(x)<0$.

Partie C. 3) Donner la forme canonique de $P$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

On considère le trinôme \(P(x)=x^2-6x+5\).

1) Démontre que \(P(x)=(x-3)^2-4\) pour tout réel \(x\). Comment appelle-t-on cette écriture ?

2) À l'aide d'une identité remarquable, factorise \(P(x)\).

3) Résous l'équation \(P(x)=0\), puis vérifie les solutions en calculant le discriminant.

4) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\). Justifie ensuite que \(P(x)\le 0\) équivaut à \(|x-3|\le 2\) et retrouve ainsi l'ensemble des solutions de \(P(x)\le 0\).

5) Justifie que \(P(x)\ge -4\) pour tout réel \(x\). Pour quelle valeur de \(x\) le trinôme atteint-il sa plus petite valeur ?

Une coopérative aménage un jardin potager rectangulaire dont la longueur dépasse la largeur de 4 m. On note \(x\) la largeur en mètres (\(x\gt 0\)).

1) Exprime l'aire \(A(x)\) du jardin en fonction de \(x\) et donne son degré.

2) L'aire du jardin est de 96 m². Justifie que \(x\) vérifie \(x^2+4x-96=0\), puis résous cette équation.

3) Interprète : donne les dimensions du jardin, puis calcule le coût de sa clôture si le grillage coûte 1 500 F le mètre.

4) Pour un autre projet, la coopérative veut une aire d'au moins 60 m². Pour quelles largeurs \(x\) est-ce possible ?

On considère le polynôme \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).

1) Donne le degré de \(P\). Calcule \(P(1)\) et interprète le résultat.

2) On admet qu'il existe deux réels \(b\) et \(c\) tels que \(P(x)=(x-1)(x^2+bx+c)\). Développe cette expression et détermine \(b\) et \(c\) en identifiant les coefficients.

3) Factorise \(x^2-x-6\) à l'aide du discriminant, puis écris \(P(x)\) comme un produit de trois facteurs du premier degré.

4) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\).

5) Déduis-en l'ensemble des solutions de l'inéquation \(P(x)\gt 0\).

On veut résoudre l'inéquation \(\frac{x+3}{x-1}\ge 2\).

1) Pour quelle valeur de \(x\) le quotient n'est-il pas défini ? Justifie.

2) Démontre que l'inéquation équivaut à \(\frac{-x+5}{x-1}\ge 0\).

3) Dresse le tableau de signes du quotient \(\frac{-x+5}{x-1}\).

4) Donne l'ensemble des solutions de l'inéquation.

5) Vérifie ton résultat avec \(x=3\) et \(x=6\), puis explique pourquoi il ne fallait pas multiplier directement les deux membres par \(x-1\).