Fonctions — généralités et exemples

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-8$   d) $10$

2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$   b) $[-4;1]$   c) $[-3;4]$   d) $[1;4]$

3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$   b) $-2$ et $6$   c) $6$ et $6$   d) $-2$ et $-2$

4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$   b) $[2;+\infty[$   c) $[0;4]$   d) $\mathbb{R}$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est :
a) paire   b) impaire   c) ni paire ni impaire   d) périodique

2) Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt x$ est :
a) $\mathbb{R}$   b) $[0;+\infty[$   c) $\mathbb{R}^*$   d) $]-\infty;0]$

3) La fonction $x\mapsto x^3$ est :
a) décroissante sur $\mathbb{R}$   b) croissante sur $\mathbb{R}$   c) décroissante sur $\mathbb{R}^+$ seulement   d) ni croissante ni décroissante

4) Soit $f(x)=\sqrt{x-5}$. $f$ se ramène à la fonction racine carrée par :
a) une translation de $5$ vers la droite   b) une translation de $5$ vers la gauche   c) une dilatation de rapport $5$   d) une symétrie

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une fonction affine $x\mapsto ax+b$ est décroissante sur $\mathbb R$ si :
a) $a<0$   b) $a>0$   c) $a=0$   d) $b<0$

2) La fonction carré $x\mapsto x^2$ est :
a) paire, décroissante sur $\,]-\infty;0]$, croissante sur $[0;+\infty[$   b) impaire   c) toujours croissante   d) constante

3) Pour $f(x)=2x-3$, l'image de $4$, $f(4)$, vaut :
a) $5$   b) $8$   c) $-1$   d) $11$

4) Pour une fonction affine par intervalle représentée par une ligne brisée, un « point de cassure » correspond à :
a) un changement de coefficient directeur entre deux tronçons   b) une valeur interdite   c) un maximum global   d) l'ordonnée à l'origine

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.

Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.

Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).

1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un commerçant de tissus achète du tissu en gros. Le prix unitaire $p(x)$ (en FCFA par mètre), en fonction de la quantité $x$ (en dizaines de mètres) achetée, est modélisé par $p(x)=\dfrac{4500}{x}$ pour $x\in[1;15]$ : plus la quantité achetée est grande, plus le prix au mètre est faible.

Consigne : 1) Calculer $p(3)$ et $p(9)$, et interpréter chaque résultat. 2) À quelle fonction de référence $p$ se ramène-t-elle ? En déduire son sens de variation, et vérifier la cohérence avec les deux valeurs de la question 1. 3) Le commerçant veut un prix unitaire de $300$ FCFA/m. Quelle quantité (en mètres) doit-il acheter ?

Exercice supplémentaire. Un maraîcher compare deux formules d'arrosage. Le volume d'eau (en m³) déversé après $x$ heures ($x\ge0$) suit soit $V_1(x)=x$ (débit constant), soit $V_2(x)=\sqrt{x}$ (débit dégressif).

1) Étudier le signe de $V_1(x)-V_2(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ pour $x\in]0;1[$ puis pour $x>1$.
2) En déduire quelle formule utilise le moins d'eau sur la première heure, puis au-delà.
3) Calculer $V_1(4)$ et $V_2(4)$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

La société d'électricité facture $80$ F le kWh pour les $50$ premiers kWh consommés dans le mois, puis $120$ F le kWh au-delà. Soit $f(x)$ le montant facturé (en F) pour une consommation de $x$ kWh.

Consigne : Exprimer $f(x)$ pour $0\le x\le50$, puis pour $x>50$. Calculer la facture pour une consommation de $75$ kWh. Un ménage dispose d'un budget de $8\,000$ F pour l'électricité du mois : déterminer, en nombre entier de kWh, la consommation maximale qu'il peut se permettre.

Exercice supplémentaire. La distribution d'eau facture selon un tarif progressif : $300$ FCFA/m³ pour les $10$ premiers m³, puis $450$ FCFA/m³ au-delà. Soit $F(x)$ le montant (en FCFA) pour une consommation de $x$ m³.

1) Exprimer $F(x)$ pour $0\le x\le10$.
2) Exprimer $F(x)$ pour $x>10$.
3) Calculer $F(15)$ et le prix moyen par m³ pour cette consommation.

Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.

1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=\sqrt{x+4}-1$, définie pour $x\ge-4$.
1) Calculer $f(0)$, $f(5)$ et $f(12)$.
2) Montrer que $f$ se ramène à la fonction racine carrée, et donner son sens de variation.

Partie B. Soit $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$, définie pour $x\ne2$.
3) Calculer $g(3)$ et $g(-3)$.
4) $g$ est-elle décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ tout entier ? Justifier à l'aide des deux valeurs précédentes.

Partie C. Soit $h(x)=(x-1)^3+2$.
5) Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
6) Quel est le sens de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier en la reliant à une fonction de référence.

Problème. Une société de location de vélos facture un forfait de $1\,000$ F pour les $3$ premières heures d'utilisation (heures incluses dans le forfait), puis $200$ F par heure supplémentaire au-delà. Soit $g(x)$ le prix (en F) pour $x$ heures d'utilisation, $x\ge0$.

Partie A. 1) Exprimer $g(x)$ pour $0\le x\le3$, puis pour $x>3$. 2) Calculer $g(2)$ et $g(5)$.

Partie B. 3) Un client paie $1\,800$ F pour une utilisation de plus de $3$ heures. Déterminer le nombre d'heures $x$ qu'il a utilisé le vélo.

Partie C. 4) $g$ est-elle une fonction affine par intervalle ? Justifier et donner le coefficient directeur de chaque tronçon.

Un atelier de photocopie applique le tarif suivant : 25 F la page pour les 50 premières pages, puis 20 F pour chaque page au-delà de la 50e. On note \(f(x)\) le prix payé, en francs, pour \(x\) pages.

1) Calcule \(f(40)\), \(f(50)\) et \(f(80)\).

2) Justifie que \(f(x)=25x\) si \(0\le x\le 50\) et \(f(x)=20x+250\) si \(x\gt 50\). Comment appelle-t-on une telle fonction ?

3) Un élève a payé 2 250 F. Combien de pages a-t-il photocopiées ?

4) Donne le sens de variation de \(f\) sur chacun des deux intervalles et interprète.

5) Un autre atelier fait payer 22 F la page, quel que soit le nombre de pages : \(g(x)=22x\). À partir de combien de pages le premier atelier devient-il strictement moins cher ? Justifie.

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-3;2]\) par \(f(x)=x^2\).

1) Recopie et complète le tableau de valeurs pour \(x=-3\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\).

2) Rappelle le sens de variation de la fonction carré et dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([-3;2]\).

3) Détermine le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-3;2]\). Justifie.

4) Détermine les antécédents de 4 par \(f\). Combien le nombre 6 a-t-il d'antécédents par \(f\) ? Justifie.

5) Résous l'inéquation \(x^2\le 4\) sur \([-3;2]\).

Un car de transport relie deux villes distantes de 120 km. Sa vitesse moyenne \(v\) (en km/h) est comprise entre 40 et 120. La durée du trajet, en heures, est \(t(v)=\frac{120}{v}\).

1) Calcule \(t(40)\), \(t(60)\), \(t(80)\) et \(t(120)\).

2) Donne le sens de variation de \(t\) sur \([40;120]\) en utilisant la fonction inverse, puis interprète.

3) Le trajet a duré 2 h 24 min. Calcule la vitesse moyenne du car.

4) Sur une route en travaux, la vitesse vérifie \(60\le v\le 80\). Donne un encadrement de la durée du trajet.

5) Combien de minutes gagne-t-on au maximum en roulant à 80 km/h au lieu de 60 km/h ?

Une fonction affine \(f\), définie par \(f(x)=ax+b\), a une courbe qui passe par les points \(A(1;3)\) et \(B(4;9)\).

1) Justifie que \(a\) et \(b\) vérifient le système \(\begin{cases} a+b=3\\ 4a+b=9\end{cases}\).

2) Résous ce système et donne l'expression de \(f(x)\).

3) Calcule l'image de \(-2\) par \(f\), puis l'antécédent de 0.

4) Donne le sens de variation de \(f\) en justifiant.

5) On considère \(g(x)=-x+7\). Détermine le point d'intersection des courbes de \(f\) et de \(g\), puis résous \(f(x)\ge g(x)\) et interprète graphiquement.