Calcul, proportionnalité et ordre dans ℝ

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Calculer $A=12-3\times(5-2)$ :
a) 27   b) 3   c) -3   d) -15

2) Un article coûte $24\,000$ F. Il subit une hausse de $12{,}5\,\%$. Le nouveau prix est :
a) $27\,000$ F   b) $24\,125$ F   c) $21\,000$ F   d) $30\,000$ F

3) La solution de $-4x+9\le-3$ est :
a) $x\ge3$   b) $x\le3$   c) $x\ge-3$   d) $x\le-3$

4) L'intervalle $\,]-6\,;2]$ signifie :
a) $-6<x\le2$   b) $-6\le x<2$   c) $-6\le x\le2$   d) $-6<x<2$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Sachant $0\le x<1$, le bon classement de $x$, $x^2$ et $\sqrt x$ est :
a) $x^2<x<\sqrt x$   b) $\sqrt x<x<x^2$   c) $x<x^2<\sqrt x$   d) $\sqrt x<x^2<x$

2) La distance entre $-7$ et $4$ vaut :
a) $11$   b) $-3$   c) $3$   d) $-11$

3) Sachant $|x-5|\le2$, l'intervalle correspondant est :
a) $[3;7]$   b) $[-3;7]$   c) $[3;-7]$   d) $\,]3;7[$

4) Pour $E=\,]2;6]$, le réel $6$ est :
a) un majorant de $E$, et c'est son maximum   b) un majorant de $E$, mais pas son maximum   c) un minorant de $E$   d) ni majorant ni minorant de $E$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un commerçant de mil achète un sac à $18\,000$ F et le revend en réalisant un bénéfice de $20\,\%$ du prix d'achat. Pendant la période de soudure, il souhaite accorder une réduction $x$ (en francs) sur son prix de vente habituel, tout en gardant un bénéfice d'au moins $1\,500$ F par sac. Par ailleurs, son fournisseur annonce une hausse du prix d'achat de $8\,\%$ pour la prochaine campagne.

Consigne : Calculer le prix de vente habituel du sac. Écrire l'inéquation traduisant la contrainte de bénéfice minimal et la résoudre pour trouver la réduction maximale possible. Calculer enfin le nouveau prix de vente après la hausse du fournisseur, en conservant le même taux de bénéfice de $20\,\%$.

Exercice supplémentaire. Une coopérative de teinturières vend un pagne à $8\,000$ FCFA. Elle augmente le prix de $15\%$, puis, face à la baisse des ventes, le baisse de $10\%$ par rapport au nouveau prix.

1) Calculer le prix après l'augmentation.
2) Calculer le prix final après la baisse.
3) Comparer ce prix final au prix initial : hausse ou baisse globale, et de combien de pourcent ?

Problème. Deux compagnies assurent le trajet entre deux villes pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.

Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.

Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.

Un vendeur de matériel électroménager reçoit chaque mois un salaire composé d'une partie fixe de 45 000 francs et d'une commission égale à 5 % du montant \(x\) (en francs) de ses ventes du mois.

1) Calcule son salaire pour un mois où il a vendu pour 300 000 francs.

2) Exprime son salaire \(S(x)\) en fonction de \(x\).

3) Quel montant de ventes doit-il réaliser pour gagner au moins 80 000 francs ? Résous une inéquation.

4) Son patron lui propose un nouveau contrat : la partie fixe augmente de 10 % et la commission passe à 4 % des ventes. Exprime le nouveau salaire \(T(x)\), puis détermine pour quels montants de ventes le nouveau contrat est plus avantageux.

5) Le vendeur réalise en général 600 000 francs de ventes par mois. Doit-il accepter le nouveau contrat ? Calcule la variation de son salaire en francs et en pourcentage.

Un sac de riz coûte 25 000 francs. En période de pénurie, son prix augmente de 20 %. Quelques mois plus tard, il baisse de 20 %.

1) Calcule le prix du sac après la hausse de 20 %.

2) Calcule le prix après la baisse de 20 %. Quel est le pourcentage d'évolution entre le prix de départ et le prix final ? Explique pourquoi on ne retrouve pas le prix de départ.

3) Quel pourcentage de baisse aurait-il fallu appliquer après la hausse pour revenir exactement à 25 000 francs ? Donne le résultat arrondi au dixième.

4) Dans une autre boutique, le sac est affiché 29 500 francs, taxe de 18 % comprise. Retrouve le prix hors taxe et le montant de la taxe.

Dans cet exercice, \(x\) désigne un nombre réel.

1) On suppose que \(2\le x\le 5\). Donne un encadrement de \(3x-1\).

2) Avec la même hypothèse, donne un encadrement de \(-2x+7\) en expliquant chaque étape.

3) Résous l'inéquation \(3x-1\ge -2x+7\) et écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. Explique pourquoi les questions 1 et 2 permettaient de prévoir que tout nombre de \([2;5]\) est solution.

4) Résous l'inéquation \(3x-1\le 2(x+4)\). Déduis-en l'ensemble des réels qui vérifient à la fois les deux inéquations, et compte les nombres entiers de cet ensemble.

5) Parmi les nombres \(-3\) ; \(\frac{8}{5}\) ; \(\frac{9}{3}\) ; \(\sqrt{2}\), indique le plus petit ensemble de nombres (\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) ou \(\mathbb{R}\)) auquel chacun appartient, puis lesquels vérifient les deux inéquations.

Dans un atelier de teinture, il faut 3 kg de poudre d'indigo pour teindre 20 mètres de tissu. La quantité de poudre est proportionnelle à la longueur de tissu teint. La poudre coûte 4 500 francs le kilogramme, le tissu teint est vendu 2 000 francs le mètre, et l'atelier paie 26 500 francs de frais fixes par semaine (loyer, eau, bois).

1) Calcule le coefficient de proportionnalité (quantité de poudre par mètre de tissu), puis la quantité de poudre nécessaire pour 50 mètres.

2) Avec un stock de 12 kg de poudre, quelle longueur de tissu peut-on teindre ?

3) Calcule le coût de la poudre pour un mètre de tissu, puis le gain réalisé sur chaque mètre vendu, sans compter les frais fixes.

4) On note \(n\) le nombre de mètres vendus dans la semaine. Exprime le bénéfice \(B\) de la semaine en fonction de \(n\), puis détermine le nombre minimal de mètres à vendre pour ne pas perdre d'argent.

5) Cette semaine, l'atelier a utilisé tout son stock de 12 kg et vendu tout le tissu teint. Calcule son bénéfice.