Cardinaux, Arrangements & Combinaisons
Cardinal d'un ensemble fini (réunion, produit cartésien, parties) — arrangements et permutations — combinaisons, relations et formule du binôme de Newton. Programme officiel de Première Série D.
Cardinal d'un ensemble fini
XXVII.1 — Réunion, complémentaire et produit cartésien
Pour deux ensembles finis \(A\) et \(B\) :
\[ \text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B). \]On retranche \(\text{card}(A\cap B)\) car les éléments communs à \(A\) et \(B\) seraient sinon comptés deux fois. Si \(A\) et \(B\) sont disjoints (\(A\cap B=\varnothing\)), on retrouve simplement \(\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)\) — c'est le principe de partition. Pour le complémentaire \(\overline A\) de \(A\) dans un ensemble \(E\) : \(\text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A)\).
Dans une classe de \(30\) élèves, \(18\) pratiquent le football (\(F\)), \(12\) pratiquent le basketball (\(B\)), et \(6\) pratiquent les deux. Combien pratiquent au moins un des deux sports ? Combien n'en pratiquent aucun ?
\[ \text{card}(F\cup B)=18+12-6=24. \]Élèves ne pratiquant aucun des deux sports : \(30-\text{card}(F\cup B)=30-24=6\).
Figure — Diagramme de Venn de l'exemple (classe de 30 élèves)
\(12\) élèves ne pratiquent que le football, \(6\) que le basketball, \(6\) les deux, \(6\) aucun des deux — total \(12+6+6+6=30\).
XXVII.2 — Produit cartésien, parties et \(p\)-uplets
Pour \(E\) et \(F\) finis, de cardinaux \(n\) et \(m\), et \(p\) un entier naturel :
\[ \text{card}(E\times F)=n\times m, \qquad \text{card}\bigl(\mathcal P(E)\bigr)=2^n, \qquad \text{card}(E^p)=n^p. \]\(\mathcal P(E)\) désigne l'ensemble des parties de \(E\) (sous-ensembles de \(E\), \(\varnothing\) et \(E\) inclus). \(E^p\) désigne l'ensemble des \(p\)-uplets d'éléments de \(E\) (des \(p\)-listes ordonnées, avec répétitions possibles).
Produit cartésien. Un menu propose \(4\) entrées et \(3\) plats. Nombre de menus (entrée, plat) possibles : \(4\times3=12\).
Parties. Un ensemble \(E\) à \(5\) éléments possède \(2^5=32\) parties (dont \(\varnothing\) et \(E\) lui-même).
\(p\)-uplets. Un digicode comporte \(4\) chiffres, chacun choisi parmi \(\{0,1,\dots,9\}\), avec répétitions autorisées : nombre de codes possibles \(=10^4=10\,000\).
XXVII.Bac — Exercice type Bac
Question 1. Dans un groupe de \(50\) personnes, \(28\) parlent anglais, \(15\) parlent espagnol, \(8\) parlent les deux langues. Combien parlent au moins une des deux langues ? Combien n'en parlent aucune ?
\(\text{card}(A\cup E)=28+15-8=35\). Aucune des deux langues : \(50-35=15\).
Question 2. Un cadenas à combinaison comporte \(3\) anneaux, chacun réglable sur un chiffre de \(0\) à \(9\). Combien de combinaisons différentes existe-t-il ?
\(10^3=1\,000\) combinaisons.
Question 3. Soit \(E\) un ensemble à \(6\) éléments. Combien \(E\) a-t-il de parties au total ? Combien de parties propres non vides (on exclut \(\varnothing\) et \(E\)) ?
\(2^6=64\) parties au total. En retirant \(\varnothing\) et \(E\) : \(64-2=62\).
\(\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)\).
\(\text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A)\).
\(\text{card}(E\times F)=\text{card}(E)\times\text{card}(F)\).
\(\text{card}(\mathcal P(E))=2^n\) ; \(\text{card}(E^p)=n^p\).