Sphères, Sections & Dispersion
Parallélisme, orthogonalité et sphère dans l'espace — sections planes des polyèdres usuels — caractéristiques de dispersion d'une série statistique (étendue, écart-moyen, variance, écart-type). Programme officiel de Première Série D.
Parallélisme, orthogonalité et sphère
XXIV.1 — Parallélisme et orthogonalité dans l'espace (rappels)
Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Deux plans sont parallèles s'ils ne se coupent pas (ou sont confondus). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan — elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.
Pour démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de trouver deux droites sécantes de ce plan, chacune orthogonale à la droite étudiée — inutile de vérifier toutes les droites du plan une à une. Ces propriétés serviront directement pour la sphère (XXIV.2) et les sections de polyèdres (XXV).
XXIV.2 — Sphère : sections planes et plan tangent
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points de l'espace situés à distance \(R\) de \(O\). Soit \(P\) un plan et \(d\) la distance de \(O\) à \(P\) :
• si \(d<R\), \(P\) coupe la sphère selon un cercle de
rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\) (plan sécant) ;
• si \(d=R\), \(P\) coupe la sphère en un unique point \(T\)
(plan tangent en \(T\), orthogonal au rayon \(OT\)) ;
• si \(d>R\), \(P\) ne rencontre pas la sphère (plan
extérieur).
Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=5\). Un plan \(P\) est situé à distance \(d=3\) de \(O\) : \(P\) est sécant, et coupe la sphère selon un cercle de rayon \(r=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\).
Figure interactive — Coupe d'une sphère de rayon 5 par un plan à distance \(d\)
Faites glisser \(d\) : sécant si \(d<5\), tangent si \(d=5\), extérieur si \(d>5\).
XXIV.Bac — Exercice type Bac
Question 1. Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=13\). Un plan \(P_1\) est à distance \(d_1=5\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon.
\(d_1=5<13=R\) : plan sécant. Rayon \(r=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Question 2. Un plan \(P_2\) est à distance \(d_2=13\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_2=13=R\) : plan tangent à la sphère en un unique point.
Question 3. Un plan \(P_3\) est à distance \(d_3=15\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_3=15>13=R\) : plan extérieur à la sphère, aucune intersection.
Orthogonale à deux droites sécantes du plan ⟹ orthogonale au plan entier.
\(d<R\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).
\(d=R\) : un seul point, plan orthogonal au rayon en ce point.
\(d>R\) : aucune intersection.