Limites & Dérivation
Comportement global et limites d'une fonction, asymptotes — nombre dérivé, tangente et règles de dérivation — application de la dérivation à l'étude complète d'une fonction. Programme officiel de Première Série D.
Comportement global et limites d'une fonction
XIX.1 — Comportement global d'une fonction
On rappelle les opérations usuelles sur les fonctions numériques : pour \(f\) et \(g\) définies sur un même ensemble, on note \(f+g\), \(\lambda f\) (\(\lambda\) réel), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\) et la composée \(g\circ f\) (\(g\circ f(x)=g(f(x))\)). On dit que \(f\leqslant g\) si \(f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\) du domaine considéré.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), alors \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) :
| \(u\) | \(v\) | \(v\circ u\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
XIX.2 — Limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\)
En \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^2}=0\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite d'équation \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+1=2(x-1)+3\), on obtient la forme utile :
\[ f(x)=2+\dfrac3{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac3{x-1}\to0\), donc \(f(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
XIX.3 — Limite en un réel \(a\), opérations et comparaison
Si \(f\) est définie sur un intervalle contenant \(a\) sauf en \(a\), on étudie séparément la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) et la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\). Si l'une des deux est infinie, la droite \(x=a\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Toujours avec \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\) : quand \(x\to1^+\), \(x-1\to0^+\) (valeurs positives de plus en plus petites), donc \(\dfrac3{x-1}\to+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to1^-\), \(x-1\to0^-\), donc \(\dfrac3{x-1}\to-\infty\) et \(f(x)\to-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction (comme pour les suites), sauf dans les cas de formes indéterminées. Théorème de comparaison : si \(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) au voisinage de \(a\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to a}u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(g(x)=\dfrac{x+\sin x}{x}=1+\dfrac{\sin x}{x}\). Comme \(|\sin x|\leqslant1\), on a \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leqslant\dfrac1x\), et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=1\).
Les formes \(\dfrac00\), \(\dfrac\infty\infty\), \(\infty-\infty\) et \(0\times\infty\) sont des formes indéterminées : les théorèmes d'opérations sur les limites ne s'appliquent pas directement, il faut d'abord transformer l'écriture (comme on l'a fait pour \(f\) en la réécrivant \(2+\frac3{x-1}\)) avant de conclure.
Figure — Courbe de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
XIX.Bac — Exercice type Bac
Question 1. Soit \(h(x)=\dfrac{3x-2}{x+2}\). Déterminer les limites de \(h\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis en déduire une asymptote.
\(3x-2=3(x+2)-8\), donc \(h(x)=3-\dfrac8{x+2}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(\dfrac8{x+2}\to0\), donc \(h(x)\to3\). La droite \(y=3\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\).
Question 2. Déterminer les limites de \(h\) en \((-2)^-\) et en \((-2)^+\).
Quand \(x\to(-2)^+\), \(x+2\to0^+\), donc \(\dfrac8{x+2}\to+\infty\) et \(h(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-2)^-\), \(x+2\to0^-\), donc \(\dfrac8{x+2}\to-\infty\) et \(h(x)\to+\infty\). La droite \(x=-2\) est asymptote verticale.
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}\).
Pour tout \(x\), \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\), donc \(0\leqslant\left|\dfrac{2+\cos x}{x}\right|\leqslant\dfrac3x\) pour \(x>0\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac3x=0\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}=0\).
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\) asymptote.
Limite à gauche ou à droite en \(a\) infinie \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\) : réécrire avant de conclure.
\(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).