Géométrie, Stats & Proba
Dénombrement, Probabilités, Statistiques à 2 variables & Géométrie dans l'Espace
Dénombrement, Probabilités
Dénombrement et Probabilités
Compter les cas possibles et favorables — factorielles, arrangements, combinaisons, triangle de Pascal, probabilités conditionnelles, indépendance, loi binomiale et arbres pondérés.
📋 Sommaire du Chapitre
I. Principes Fondamentaux du Dénombrement
Règle du produit : \(k\) étapes indépendantes avec \(p_1,\ldots,p_k\) issues → \(p_1\times\cdots\times p_k\) issues au total.
Valeurs clés : \(3!=6\), \(4!=24\), \(5!=120\), \(6!=720\), \(7!=5040\).
Astuce simplification : \(\dfrac{7!}{5!}=7\times 6=42\)
II. Arrangements
Mots de 3 lettres dans {A,B,C,D,E} : \(A_5^3=60\). Podium sur 8 : \(A_8^3=336\). 5 personnes en ligne : \(5!=120\).
III. Combinaisons
Listes ordonnées, éléments distincts
Listes ordonnées, répétition OK
Tous les éléments, ordre compte
Sous-ensembles, ordre sans importance
Figure 1 : Triangle de Pascal jusqu'à la ligne 12. Cliquez sur une cellule pour afficher \(\binom{n}{k}\) avec sa formule numérique. Relation de Pascal : les deux « parents » s'affichent en orange. Case symétrie : le symétrique s'affiche en vert.
IV. Vocabulaire des Probabilités
- Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues possibles
- Événement : sous-ensemble de \(\Omega\) ; complémentaire \(\bar{A}\), union \(A\cup B\), intersection \(A\cap B\)
V. Probabilité Conditionnelle et Indépendance
Indépendance : \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) ← à vérifier par le calcul, pas intuitivement.
Incompatibles ≠ Indépendants ! Si \(A\cap B=\emptyset\), réaliser l'un exclut l'autre — ils sont très dépendants.
VI. Arbres de Probabilités
- Les branches d'un même nœud forment une partition → leur somme = 1
- Probabilité d'un chemin = produit des branches
- Probabilité d'un événement = somme des chemins qui y aboutissent
- Vérification : somme de toutes les feuilles = 1
Figure 2 : Arbre à deux niveaux. Les curseurs modifient P(Malade), P(+|Malade) et P(+|Sain) en temps réel. Les probabilités de chaque feuille se recalculent. La formule de Bayes P(M|+) s'affiche avec sa valeur numérique.
Maladie : 1% de la population. Test positif si malade : 99%. Faux positif : 2%.
Paradoxe du test : même avec un résultat positif, seulement 1 personne sur 3 est réellement malade, car la maladie est rare.
VII. Variable Aléatoire Discrète
Gain : +2€ si on fait 6 (\(p=1/6\)), −1€ sinon. \(E(X)=2\cdot\frac{1}{6}+(-1)\cdot\frac{5}{6}=-\frac{3}{6}=-0{,}5\)€ → jeu défavorable.
Jeu équitable : \(E(X)=0\). Favorable : \(E(X)>0\). Défavorable : \(E(X)<0\).
VIII. Loi Binomiale
Schéma de Bernoulli : \(n\) épreuves indépendantes, 2 issues, même \(p\). \(X\) = nombre de succès.
Figure 3 : Diagramme en bâtons de la loi \(B(n,p)\). Curseurs \(n\in[1,20]\) et \(p\in[0{,}05;0{,}95]\). La ligne rouge verticale indique \(E(X)=np\). La zone colorée représente \(P(X\geq k_0)\). Le panneau affiche \(E(X)\), \(\sigma(X)\) et la somme de contrôle (doit valoir 1).
\(X\sim B(5,\,0{,}25)\). \(E(X)=1{,}25\) bonne réponse. \(\sigma(X)\approx 0{,}97\).
\(n!=n(n-1)\cdots 1\), \(0!=1\)
Étapes indépendantes → produit
\(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\), \(P_n=n!\)
Ordre compte, éléments distincts
\(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Pascal : \(\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\)
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Composée : \(P(A\cap B)=P(B)P(A|B)\)
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
\(P(A)=P(B)P(A|B)+P(\bar{B})P(A|\bar{B})\)
\(P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\)
\(E=np\), \(V=npq\)
- ❌ Utiliser les combinaisons quand l'ordre compte (il faut les arrangements) et vice versa
- ❌ Oublier que \(0!=1\)
- ❌ Confondre événements incompatibles et indépendants
- ❌ Écrire \(P(A\mid B)=P(A\cap B)\) sans diviser par \(P(B)\)
- ❌ Sur un arbre : oublier de multiplier les probabilités des branches
- ❌ Ne pas vérifier que la somme des \(p_i\) vaut 1
- ❌ Appliquer la loi binomiale sans vérifier : indépendance + même \(p\) + 2 issues
- ✅ Se demander si l'ordre compte avant tout calcul
- ✅ Vérifier la partition sur chaque nœud d'un arbre (somme = 1)
- ✅ Utiliser le complémentaire pour \(P(X\geq 1)=1-P(X=0)\)
- ✅ Vérifier les 3 conditions avant d'invoquer la loi binomiale
- ✅ Interpréter \(E(X)\) dans le contexte du problème
Statistiques à Deux Variables
Statistiques à Deux Variables
Analyse de la liaison entre deux grandeurs — nuage de points, point moyen, covariance, coefficient de corrélation, droite de régression, changement de variable et prévisions.
📋 Sommaire du Chapitre
- Vocabulaire et Nuage de Points
- Série statistique double, exemples concrets
- Types de nuages et interprétation visuelle
- Le Point Moyen G
- Formules \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) — propriété fondamentale
- Covariance et Coefficient de Corrélation
- Formule de Cov\((X,Y)\), interprétation du signe
- Coefficient \(r\) — propriétés, échelle, analyse critique
- Ajustement Affine — Méthode des Moindres Carrés
- Formules de \(a\) et \(b\), propriété du point moyen
- Méthode de calcul en 6 étapes — exemple complet
- Applications et Prévisions
- Interpolation vs extrapolation — fiabilité selon \(|r|\)
- Changement de Variable
- Ajustements exponentiel, logarithmique, puissance
- Utilisation de la Calculatrice
- Guide de Rédaction pour le Bac
I. Vocabulaire et Nuage de Points
1.1. Série Statistique Double
Une série statistique double (ou série bivariée) est un ensemble de \(n\) couples de valeurs \((x_i,\, y_i)\) où :
- \(x_i\) est la valeur de la variable explicative (aussi appelée variable indépendante)
- \(y_i\) est la valeur de la variable à expliquer (variable dépendante)
- \(i\) varie de \(1\) à \(n\) (nombre d'observations)
La série se présente sous forme d'un tableau :
| Obs. 1 | Obs. 2 | Obs. 3 | … | Obs. \(n\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | … | \(x_n\) |
| \(y_i\) | \(y_1\) | \(y_2\) | \(y_3\) | … | \(y_n\) |
- Heures de révision \((x)\) et note à l'examen \((y)\)
- Température extérieure \((x)\) et consommation d'électricité \((y)\)
- Âge d'une voiture en années \((x)\) et son prix de revente \((y)\)
- Taille des élèves \((x)\) et leur poids \((y)\)
1.2. Nuage de Points et Interprétation Visuelle
Le nuage de points est la représentation graphique de la série dans un repère orthogonal : chaque couple \((x_i;\, y_i)\) est représenté par un point de coordonnées \((x_i;\, y_i)\).
L'examen visuel du nuage est la première étape indispensable : il guide le choix du type d'ajustement approprié.
Points alignés en montant. Quand \(x\uparrow\), \(y\uparrow\). Ajustement affine possible si \(r \approx 1\).
Points alignés en descendant. Quand \(x\uparrow\), \(y\downarrow\). Ajustement affine possible si \(r \approx -1\).
Points éparpillés, sans direction claire. \(r \approx 0\). Ajustement affine inadapté.
Points suivant une courbe (exponentielle, log, parabole…). Nécessite un changement de variable.
Figure 1 : Nuage de points interactif. Points déplaçables à la souris. Double-clic sur le fond pour ajouter un point. Mise à jour automatique de \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), Cov\((X,Y)\), \(r\), et de la droite de régression. Point moyen \(G\) affiché en rouge. Cases à cocher : résidus, axes de centrage.
II. Le Point Moyen G
2.1. Définition et Formules
Le point moyen \(G\) (centre de gravité du nuage) est le point de coordonnées \((\bar{x},\, \bar{y})\) où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes arithmétiques des deux séries.
Le point moyen \(G(\bar{x},\, \bar{y})\) appartient toujours à la droite de régression de \(y\) en \(x\). C'est une propriété qui permet de vérifier l'équation de la droite trouvée.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Somme |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 26 |
Point moyen : \(G(3\,;\, 5{,}2)\)
III. Covariance et Coefficient de Corrélation
3.1. La Covariance
La covariance entre \(X\) et \(Y\) mesure la façon dont les deux variables varient ensemble :
— Formule équivalente, plus pratique pour les calculs —
- Cov > 0 → les variables varient dans le même sens (corrélation positive)
- Cov < 0 → les variables varient en sens inverse (corrélation négative)
- Cov ≈ 0 → pas de relation linéaire claire
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | \(\overline{xy}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | |
| \(x_i y_i\) | 2 | 8 | 15 | 28 | 40 | \(\frac{93}{5}=18{,}6\) |
Cov\( \gt 0\) → les deux variables varient dans le même sens ✓
3.2. Le Coefficient de Corrélation Linéaire \(r\)
Le coefficient de corrélation linéaire \(r\) est une version normalisée de la covariance : il mesure l'intensité de la liaison linéaire entre les deux variables, indépendamment des unités.
où \(\sigma_X = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\overline{x^2} - \bar{x}^2}\) et \(\sigma_Y = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{\overline{y^2} - \bar{y}^2}\) sont les écarts-types.
- \(-1 \leq r \leq 1\) toujours
- \(r = 1\) : alignement parfait sur droite croissante
- \(r = -1\) : alignement parfait sur droite décroissante
- \(r = 0\) : aucune corrélation linéaire
- \(|r|\) proche de 1 → forte corrélation → ajustement affine justifié
L'échelle ci-dessous résume l'interprétation pratique de \(r\) :
| Valeur de \(|r|\) | Interprétation | Ajustement affine |
|---|---|---|
| \(0{,}9 \lt |r| \leq 1\) | Très forte corrélation | ✅ Excellent |
| \(0{,}7 \lt |r| \leq 0{,}9\) | Forte corrélation | ✅ Bon |
| \(0{,}5 \lt |r| \leq 0{,}7\) | Corrélation moyenne | ⚠️ Acceptable avec prudence |
| \(|r| \leq 0{,}5\) | Faible corrélation | ❌ Inadapté |
3.3. Analyse Critique — Corrélation ≠ Causalité
"CORRÉLATION N'EST PAS CAUSALITÉ"
Le fait que deux variables soient corrélées ne signifie pas que l'une cause l'autre. Une variable cachée peut expliquer les deux simultanément.
- 🍦 Ventes de glaces et noyades : corrélées car la chaleur augmente les deux — pas de causalité
- 🚒 Pompiers et dégâts d'incendie : corrélés car la gravité détermine les deux — pas de causalité
- 👟 Pointure et lecture chez les enfants : corrélés car l'âge explique les deux — pas de causalité
Conclusion : une forte corrélation indique une association statistique, pas une relation de cause à effet.
IV. Ajustement Affine — Méthode des Moindres Carrés
4.1. Principe
Objectif : trouver la droite \(y = ax + b\) qui passe "au plus près" de tous les points du nuage, au sens où elle minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.
Cette droite s'appelle la droite de régression de \(y\) en \(x\), notée parfois \(D_{y/x}\).
4.2. Formules des Coefficients
La droite de régression est \(y = ax + b\) avec :
où \(V(X) = \sigma_X^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2\) est la variance de \(X\).
Formule alternative pour \(a\) :
La droite de régression passe toujours par le point moyen \(G(\bar{x},\, \bar{y})\). Démonstration :
Cette propriété sert à vérifier l'équation de droite obtenue.
4.3. Méthode de Calcul en 6 Étapes
On reprend la série :
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 26 |
| \(x_i^2\) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 55 |
| \(x_i y_i\) | 2 | 8 | 15 | 28 | 40 | 93 |
Vérification : pour \(x = \bar{x} = 3\) : \(y = 1{,}5 \times 3 + 0{,}7 = 4{,}5 + 0{,}7 = 5{,}2 = \bar{y}\) ✓
Figure 2 : Points de l'exemple. Droite de régression \(y=1{,}5x+0{,}7\) en orange. Segments violets = résidus (écarts \(y_i-\hat{y}_i\)). Point \(G(3;\,5{,}2)\) en rouge. La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus (SCR affichée). Cases à cocher : carrés des résidus (visuels), valeurs ajustées \(\hat{y}_i\).
V. Applications et Prévisions
5.1. Interpolation et Extrapolation
Interpolation : estimer \(y\) pour une valeur de \(x\) à l'intérieur de l'intervalle d'observation \([x_{\min},\, x_{\max}]\). Plus fiable.
Extrapolation : estimer \(y\) pour une valeur de \(x\) en dehors de l'intervalle d'observation. Moins fiable — à mentionner explicitement dans la rédaction.
Interpolation — pour \(x = 2{,}5\) (dans \([1;\, 5]\)) :
Extrapolation — pour \(x = 10\) (hors de \([1;\, 5]\)) :
⚠️ Cette estimation est une extrapolation : elle doit être prise avec prudence.
- On ne sait pas si la relation linéaire reste valable en dehors de l'intervalle observé
- Plus on s'éloigne des données, plus l'erreur potentielle est grande
- D'autres phénomènes peuvent intervenir aux valeurs extrêmes
Au Bac : toujours mentionner explicitement qu'il s'agit d'une extrapolation et qu'elle doit être prise avec précaution.
5.2. Fiabilité des Prévisions selon \(|r|\)
| Valeur de \(|r|\) | Fiabilité des prévisions |
|---|---|
| \(|r| \gt 0{,}9\) | Très fiables |
| \(0{,}7 \lt |r| \lt 0{,}9\) | Fiables |
| \(0{,}5 \lt |r| \lt 0{,}7\) | Moyennement fiables |
| \(|r| \lt 0{,}5\) | Peu fiables — ajustement discutable |
VI. Changement de Variable
Lorsque le nuage n'est pas rectiligne (forme exponentielle, logarithmique, en puissance…), l'ajustement affine direct est inadapté. On effectue un changement de variable pour transformer le nuage courbe en nuage linéaire, sur lequel on applique ensuite la méthode des moindres carrés.
6.1. Les Trois Cas du Programme
Retour : \(b = b'\) et \(a = e^{a'}\)
Retour : \(a\) et \(b\) directement
Retour : \(b = b'\) et \(a = e^{a'}\)
- Tracer le nuage de points original — observer la forme
- Appliquer le changement de variable suspect et tracer le nouveau nuage
- Calculer \(r\) pour le nuage transformé — garder le modèle avec \(|r|\) le plus proche de 1
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 6 | 18 | 54 |
Le nuage a une forme exponentielle. On pose \(Y = \ln(y)\) :
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(Y_i = \ln(y_i)\) | \(\ln 2 \approx 0{,}69\) | \(\ln 6 \approx 1{,}79\) | \(\ln 18 \approx 2{,}89\) | \(\ln 54 \approx 3{,}99\) |
Le nouveau nuage \((x_i, Y_i)\) est parfaitement linéaire. L'ajustement donne : \(Y \approx 1{,}1x + 0{,}69\).
Donc \(b' = 1{,}1\) et \(a' = 0{,}69 = \ln(2)\), soit \(a = e^{0{,}69} \approx 2\).
Vérification : pour \(x = 1\) : \(y \approx 2\,e^{1{,}1} \approx 2 \times 3 = 6\) ✓
Figure 3 : Vue double. Gauche = nuage original \((x_i,y_i)\) avec courbe ajustée et son \(r\). Droite = nuage transformé avec droite de régression et \(r\) transformé. Sélectionner le modèle dans le menu. Un \(r\) transformé proche de 1 valide le choix du modèle.
VII. Utilisation de la Calculatrice
La calculatrice calcule automatiquement \(a\), \(b\) et \(r\) — mais au Bac, vous devez quand même écrire les formules et justifier les calculs.
- Les touches et menus varient selon les modèles (Casio, TI, HP…) — s'entraîner avant l'examen
- Au Bac, même si vous utilisez la calculatrice, écrire toutes les formules et justifier les résultats
- La calculatrice peut donner \(r^2\) (coefficient de détermination) — la corrélation est \(r = \pm\sqrt{r^2}\), le signe étant celui de \(a\)
VIII. Guide de Rédaction pour le Bac
"Le coefficient de corrélation linéaire vaut \(r = \ldots\), donc \(|r| = \ldots\) est proche de 1. Il existe donc une forte corrélation linéaire entre \(x\) et \(y\). Un ajustement affine est justifié."
Si \(|r|\) est faible : "Le coefficient \(|r| = \ldots\) est éloigné de 1 : la corrélation est faible. Un ajustement affine n'est pas approprié."
"On cherche la droite de régression de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés : \(y = ax + b\)."
"Calcul des moyennes : \(\bar{x} = \ldots\) et \(\bar{y} = \ldots\)"
"Covariance : \(\text{Cov}(X,Y) = \overline{xy} - \bar{x}\bar{y} = \ldots\)"
"Variance : \(V(X) = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = \ldots\)"
"\(a = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)} = \ldots\) ; \(b = \bar{y} - a\bar{x} = \ldots\)"
"L'équation de la droite de régression est : \(y = \ldots x + \ldots\)"
"D'après le modèle, pour \(x = \ldots\) : \(y = a \times \ldots + b = \ldots\)"
Si extrapolation : "Cette estimation est une extrapolation (\(x = \ldots\) est hors de l'intervalle d'observation) et doit être prise avec prudence."
"Pour \(x = \bar{x} = \ldots\) : \(y = a\bar{x} + b = \ldots = \bar{y}\). Donc \(G(\bar{x};\bar{y})\) appartient bien à la droite."
Si \(r \gt 0\) : "Le coefficient est positif : quand \(x\) augmente, \(y\) augmente."
Si \(r \lt 0\) : "Le coefficient est négatif : quand \(x\) augmente, \(y\) diminue."
- ✅ Toujours justifier l'ajustement affine par la valeur de \(|r|\) avant de calculer la droite
- ✅ Écrire les formules avant les résultats numériques
- ✅ Arrondir raisonnablement — 2 à 3 décimales sont généralement suffisantes
- ✅ Conclure dans le contexte du problème — pas juste un nombre, mais une phrase
- ✅ Distinguer interpolation et extrapolation, et mentionner la prudence pour les extrapolations
- ✅ Ne jamais confondre corrélation et causalité
Appartient toujours à la droite de régression
Signe → direction de la liaison
\(|r| \approx 1\) → ajustement affine justifié
Passe toujours par \(G(\bar{x},\bar{y})\)
Toujours positive ou nulle
Exponentiel \(y=ae^{bx}\) → \(Y=\ln y\)
Logarithmique \(y=a\ln x+b\) → \(X=\ln x\)
Puissance \(y=ax^b\) → \(X=\ln x\), \(Y=\ln y\)
- ❌ Calculer la droite de régression sans vérifier d'abord que \(|r|\) justifie un ajustement affine
- ❌ Confondre \(V(X) = \overline{x^2} - \bar{x}^2\) et Cov\((X,Y) = \overline{xy} - \bar{x}\bar{y}\) (même structure, pas les mêmes variables !)
- ❌ Oublier de vérifier que \(G(\bar{x},\bar{y})\) appartient à la droite trouvée
- ❌ Ne pas mentionner qu'une prévision hors de l'intervalle est une extrapolation
- ❌ Conclure qu'une forte corrélation implique une relation de cause à effet
- ❌ Utiliser la droite de régression sans changement de variable quand le nuage est clairement non linéaire
- ✅ Commencer par \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) — tout le reste en découle
- ✅ Utiliser le tableau de calcul avec colonnes \(x_i\), \(y_i\), \(x_i^2\), \(y_i^2\), \(x_iy_i\) pour éviter les erreurs
- ✅ Vérifier G sur la droite — si ça ne marche pas, il y a une erreur dans \(a\) ou \(b\)
- ✅ Toujours interpréter \(r\) dans le contexte du problème, pas juste donner un nombre
- ✅ Si le nuage est courbé → envisager immédiatement un changement de variable
Géométrie dans l'Espace
Géométrie dans l'Espace
📋 Sommaire du Chapitre
- Repérage dans l'Espace
- Repère orthonormé, coordonnées, vecteurs, opérations, distance, norme, milieu
- Produit Scalaire dans l'Espace
- Définition analytique, propriétés, orthogonalité, calcul d'angles
- Droites de l'Espace
- Représentation paramétrique, appartenance, droite par deux points
- Plans de l'Espace
- Vecteur normal, équation cartésienne, déterminer l'équation, appartenance
- Positions Relatives — Parallélisme et Orthogonalité
- Critères, tableau récapitulatif, exemples
- Intersections
- Droite/Plan, deux plans, discussion des cas
- Distances et Projeté Orthogonal
- Distance point-plan, projeté orthogonal, distance point-droite
- Sphères dans l'Espace
- Équation d'une sphère, appartenance, intersection avec un plan
- Synthèse — Type Bac
I. Repérage dans l'Espace
1.1. Repère de l'Espace
Un repère de l'espace est formé d'un point origine \(O\) et de trois vecteurs non coplanaires \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\). On le note \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
Si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 1, le repère est orthonormé.
- \(O\) = coin au sol (origine)
- \(\vec{i}\) longe le mur de gauche (axe horizontal)
- \(\vec{j}\) longe le mur du fond (deuxième axe horizontal)
- \(\vec{k}\) monte vers le plafond (axe vertical)
1.2. Coordonnées et Opérations Vectorielles
| Notion | Formule |
|---|---|
| Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) | \(\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}\) |
| Distance \(AB\) | \(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) |
| Milieu \(I\) de \([AB]\) | \(\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)\) |
| Norme \(\|\vec{u}\|\) | \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) |
| Somme \(\vec{u}+\vec{v}\) | \((x+x'\,;\,y+y'\,;\,z+z')\) |
| Scalaire \(k\vec{u}\) | \((kx\,;\,ky\,;\,kz)\) |
\(\overrightarrow{AB} = (3\,;\,4\,;\,-2)\) ; \(AB = \sqrt{9+16+4} = \sqrt{29}\) ; \(I = \left(\frac{5}{2};\,4;\,2\right)\)
II. Produit Scalaire dans l'Espace
2.1. Définition Analytique
Le produit scalaire de \(\vec{u}(x;y;z)\) et \(\vec{v}(x';y';z')\) est :
2.2. Propriétés
- Commutativité : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\)
- Distributivité : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
- Homogénéité : \((k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
- Carré : \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\)
2.3. Orthogonalité et Angle
L'angle \(\theta\) est dans \([0\,;\,\pi]\).
Les vecteurs \(\vec{u}(2;3;1)\) et \(\vec{v}(1;-2;4)\) sont-ils orthogonaux ?
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2-6+4 = 0\) → oui, orthogonaux ✓
Angle entre \(\vec{u}(1;2;2)\) et \(\vec{v}(2;1;2)\) :
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=2+2+4=8\) ; \(\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=3\)
Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) orthogonal à \(\vec{u}(1;2;-1)\) et \(\vec{v}(3;0;2)\) :
On prend \(a=2\) → \(c=-3\) → \(b=\frac{c-a}{2}=\frac{-5}{2}\). Solution : \(\vec{n}(4;-5;-6)\) (multiplié par 2).
III. Droites de l'Espace
3.1. Représentation Paramétrique
La droite passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\) s'écrit :
- \(t=0\) → point \(A\) lui-même
- \(t=1\) → point \(A + \vec{u}\)
- \(t=-1\) → point \(A - \vec{u}\) (direction opposée)
- Faire varier \(t\) dans \(\mathbb{R}\) génère tous les points de la droite
3.2. Appartenance et Droite par Deux Points
- Substituer les coordonnées de \(M\) dans les 3 équations
- Chercher une valeur de \(t\) qui satisfait les 3 équations simultanément
- Si une telle valeur existe : \(M\) appartient à la droite. Sinon : non.
- Calculer \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\)
- Utiliser \(A\) comme point de référence
- Écrire les équations paramétriques avec le vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AB} = (2\,;\,-1\,;\,4)\)
Le point \(M(5;0;11)\) appartient-il à la droite ? Système : \(t=2\) vérifie les 3 équations simultanément → oui, \(M \in (AB)\) ✓
IV. Plans de l'Espace
4.1. Vecteur Normal — Équation Cartésienne
Un vecteur \(\vec{n}\) est normal à un plan \(\mathcal{P}\) s'il est orthogonal à tout vecteur du plan.
Tout plan admet une équation de la forme :
Le vecteur \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) est un vecteur normal au plan.
Réciproquement : connaître le vecteur normal → connaître les coefficients \(a,b,c\).
4.2. Déterminer l'Équation d'un Plan
Méthode 1 — À partir d'un point et d'un vecteur normal
- L'équation est \(ax+by+cz+d=0\) (les coeff. de \(\vec{n}\) sont \(a,b,c\))
- Substituer les coordonnées du point connu pour trouver \(d\)
Équation : \(2x-y+4z+d=0\). \(A\) ∈ plan : \(2-2+12+d=0\) → \(d=-12\)
Méthode 2 — À partir de trois points non alignés
- Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\)
- Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) tel que \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) ET \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\)
- Fixer une coordonnée (ex. \(a=1\)) et résoudre le système 2×3
- Utiliser la méthode A avec \(\vec{n}\) trouvé
\(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;0;1)\)
Système : \(-a+b=0\) et \(-a+c=0\) → \(a=b=c=1\) → \(\vec{n}(1;1;1)\)
\(A(1;0;0)\) ∈ plan : \(1+0+0+d=0\) → \(d=-1\)
Méthode 3 — À partir d'un point et deux vecteurs directeurs du plan
Vecteur normal : chercher \(\vec{n}(a;b;c)\) avec \(a+b+2c=0\) et \(2b-c=0\) → \(c=2b\), \(a=-5b\). Prendre \(b=1\) : \(\vec{n}(-5;1;2)\)
\(A\) ∈ plan : \(-10+1+0+d=0\) → \(d=9\)
Figure 1 : Repère orthonormé 3D. Points A(2;1;3), B(4;2;1), C(1;−1;2) (exercice Bac). Droite paramétrique \((AB)\) en orange avec curseur \(t\) — le point \(P(t)\) parcourt la droite. Plan \((ABC)\) en bleu avec son vecteur normal \(\vec{n}(5;-4;3)\) en rouge. Faire glisser la figure pour changer l'angle de vue.
V. Positions Relatives — Parallélisme et Orthogonalité
5.1. Tableau Récapitulatif des Critères
| Relation | Condition |
|---|---|
| Droites \((d_1)\) et \((d_2)\) parallèles | Vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) colinéaires |
| Droites \((d_1)\) et \((d_2)\) orthogonales | \(\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0\) |
| Droite \((d)\) parallèle au plan \(\mathcal{P}\) | \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) (\(\vec{u}\) dir., \(\vec{n}\) normal) |
| Droite \((d)\) perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\) | \(\vec{u}\) et \(\vec{n}\) colinéaires |
| Plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) parallèles | \(\vec{n_1}\) et \(\vec{n_2}\) colinéaires |
| Plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) perpendiculaires | \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\) |
Règle d'or : Parallélisme → vecteurs colinéaires · Orthogonalité → produit scalaire nul
Vecteurs colinéaires
\(\vec{u_1} = k\vec{u_2}\)
Produit scalaire nul
\(\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0\)
Vect. dir. colinéaire
au vect. normal
La droite \((d)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;4)\) est-elle perpendiculaire à \(\mathcal{P}: 2x-y+4z=5\) ?
Vecteur normal : \(\vec{n}(2;-1;4)\). On a \(\vec{u} = \vec{n}\) → colinéaires → oui, perpendiculaire.
Pour droite parallèle au plan : \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) (produit scalaire nul).
Pour droite perpendiculaire au plan : \(\vec{u}\) colinéaire à \(\vec{n}\) (même direction).
C'est l'inverse de l'intuition : être "dans" la direction du plan ↔ ortho au normal.
VI. Intersections
6.1. Intersection Droite / Plan
- Écrire les équations paramétriques de la droite
- Substituer dans l'équation cartésienne du plan
- Résoudre en \(t\)
- Analyser le résultat :
| Résultat en \(t\) | Interprétation géométrique |
|---|---|
| Une solution unique \(t_0\) | Un point d'intersection \(\rightarrow\) substituer \(t_0\) |
| Équation toujours vraie | Droite incluse dans le plan |
| Équation impossible | Droite parallèle au plan (sans intersection) |
Droite : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)
Point : \(x=1-2=-1\), \(y=2+1=3\), \(z=3-4=-1\) → Point \(I(-1\,;\,3\,;\,-1)\)
6.2. Intersection de Deux Plans
- Poser \(z = t\) (paramètre libre)
- Résoudre le système de 2 équations en \(x\) et \(y\)
- Exprimer \(x\) et \(y\) en fonction de \(t\) → représentation paramétrique
Posons \(z=t\). Système : \(x+y=1-t\) et \(x-y=-2t\).
Somme : \(2x=1-3t\) → \(x=\frac{1-3t}{2}\) ; Différence : \(2y=1+t\) → \(y=\frac{1+t}{2}\)
VII. Distances et Projeté Orthogonal
7.1. Distance d'un Point à un Plan
Distance du point \(M(x_M;y_M;z_M)\) au plan \(\mathcal{P}: ax+by+cz+d=0\) :
- Mettre l'équation du plan sous forme \(ax+by+cz+d=0\) (tout à gauche)
- Calculer le numérateur : substituer \(x_M,y_M,z_M\) et prendre la valeur absolue
- Calculer le dénominateur : \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) (norme du vecteur normal)
- Diviser
Ne pas oublier la valeur absolue au numérateur et la racine carrée au dénominateur. Ces deux oublis sont les erreurs les plus fréquentes.
Num. : \(|2(1)-2+2(3)-5| = |2-2+6-5| = |1| = 1\)
Dén. : \(\sqrt{4+1+4} = 3\)
7.2. Projeté Orthogonal d'un Point sur un Plan
Le projeté orthogonal de \(M\) sur le plan \(\mathcal{P}\) est le point \(H\) de \(\mathcal{P}\) tel que \((MH) \perp \mathcal{P}\).
- Le vecteur directeur de la droite \((MH)\) est le vecteur normal \(\vec{n}\) du plan
- Écrire la droite passant par \(M\) et de direction \(\vec{n}\)
- Calculer l'intersection de cette droite avec \(\mathcal{P}\) → c'est \(H\)
Droite \((MH)\) : \(\vec{n}(1;1;1)\) → \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\end{cases}\)
Intersection avec \(\mathcal{P}\) : \((1+t)+(2+t)+(3+t)-1=0\) → \(5+3t=0\) → \(t=-5/3\)
7.3. Distance d'un Point à une Droite
- Trouver le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur la droite
- Calculer \(MH = d(M,(d))\)
Pour trouver \(H\) : paramétrer la droite, puis résoudre \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u} = 0\) (condition d'orthogonalité).
Point générique \(P(2t;t;2t)\). \(\overrightarrow{MP} = (2t-1\,;\,t\,;\,2t-2)\)
Vecteur dir. \(\vec{u}(2;1;2)\). Condition : \(\overrightarrow{MP}\cdot\vec{u}=0\)
\(2(2t-1)+1(t)+2(2t-2)=0\) → \(4t-2+t+4t-4=0\) → \(9t=6\) → \(t=2/3\)
\(H(4/3\,;\,2/3\,;\,4/3)\), \(MH = \|(1/3\,;\,2/3\,;\,-2/3)\| = \sqrt{1/9+4/9+4/9} = 1\)
Figure 2 : Plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) en bleu. Point \(M\) (orange) déplacé par les curseurs. Projeté orthogonal \(H\) (vert) = pied de la perpendiculaire de \(M\) sur le plan. Segment \(MH\) en rouge est perpendiculaire au plan. La distance \(d(M,\mathcal{P})\) est calculée et affichée en temps réel via la formule \(\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
VIII. Sphères dans l'Espace
8.1. Équation d'une Sphère
La sphère de centre \(\Omega(a;b;c)\) et de rayon \(R>0\) est l'ensemble des points \(M\) vérifiant \(\Omega M = R\). Son équation est :
En développant, on obtient une équation de la forme :
Centre : \(\Omega = \left(-\frac{\alpha}{2};\,-\frac{\beta}{2};\,-\frac{\gamma}{2}\right)\) ; \(R = \sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{4}-\delta}\)
Développé : \(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0\)
Compléter le carré : \((x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 4+1+9-9 = 5\)
Centre : \(\Omega(2;-1;3)\), Rayon : \(R = \sqrt{5}\)
8.2. Position d'un Point par Rapport à une Sphère
| Condition | Position |
|---|---|
| \(\Omega M < R\) | \(M\) est à l'intérieur de la sphère |
| \(\Omega M = R\) | \(M\) est sur la sphère |
| \(\Omega M > R\) | \(M\) est à l'extérieur de la sphère |
8.3. Intersection d'une Sphère et d'un Plan
Soit \(d\) la distance du centre \(\Omega\) au plan \(\mathcal{P}\).
| Condition | Intersection |
|---|---|
| \(d > R\) | Aucune intersection (plan externe) |
| \(d = R\) | Un seul point (plan tangent) |
| \(d < R\) | Un cercle de rayon \(r = \sqrt{R^2-d^2}\) |
Centre \(\Omega(1;2;0)\), rayon \(R=3\). Distance \(\Omega\) au plan \(z=2\) : \(d = |0-2| = 2\).
\(d = 2 < R = 3\) → intersection : cercle de rayon \(r = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}\)
IX. Problème de Synthèse — Type Bac
On se place dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
Soient \(A(2;1;3)\), \(B(4;2;1)\), \(C(1;-1;2)\) et le plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(AB\).
2. \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
Test de colinéarité de \(\overrightarrow{AB}(2;1;-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1;-2;-1)\) : si colinéaires, il existerait \(k\) tel que \(\overrightarrow{AC} = k\cdot\overrightarrow{AB}\). La composante \(x\) donne \(k = -1/2\), mais la composante \(y\) donnerait \(k = -2 \neq -1/2\). Contradiction → les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.
3. Trouver un vecteur normal à \((ABC)\).
On cherche \(\vec{n}(a;b;c)\) avec \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) :
De la 2e : \(a=-2b-c\). Substitution dans la 1re : \(2(-2b-c)+b-2c=0\) → \(-3b-4c=0\) → \(b=-4c/3\). Prendre \(c=3\) → \(b=-4\) → \(a=8-3=5\).
Vecteur normal : \(\vec{n}(5;-4;3)\)
Équation du plan \((ABC)\) : \(5(x-2)-4(y-1)+3(z-3)=0\) → \(5x-4y+3z-15=0\)
4. La droite \((AB)\) est-elle parallèle au plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) ?
Vecteur normal de \(\mathcal{P}\) : \(\vec{n_P}(2;-1;1)\). Test : \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n_P} = 4-1-2 = 1 \neq 0\)
→ La droite \((AB)\) n'est pas parallèle au plan.
5. Calculer la distance du point \(A\) au plan \(\mathcal{P}\).
\(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
\(d(M,\mathcal{P}) = \frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'+zz'\)
\(\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)
Ortho : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
\(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\)
Vecteur dir. \(\vec{u}(a;b;c)\)
\(ax+by+cz+d=0\)
Vect. normal \(\vec{n}(a;b;c)\)
Trouver \(d\) : substituer un point connu
Parallèle → colinéaire
Ortho → produit scalaire nul
Droite ⊥ Plan → \(\vec{u}\) || \(\vec{n}\)
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)
Intersection plan : cercle si \(d<R\)
rayon \(r = \sqrt{R^2-d^2}\)
- ❌ Oublier de vérifier les 3 équations simultanément pour l'appartenance à une droite
- ❌ Confondre vecteur directeur (de la droite) et vecteur normal (du plan)
- ❌ Oublier la valeur absolue dans la formule de distance point-plan
- ❌ Oublier la racine carrée au dénominateur de la formule de distance
- ❌ Confondre "droite parallèle au plan" (\(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\)) et "droite ⊥ plan" (\(\vec{u}\) colinéaire à \(\vec{n}\))
- ❌ Ne pas mettre l'équation du plan sous forme \(ax+by+cz+d=0\) avant d'appliquer la formule
- ❌ Oublier de conclure après un calcul (toujours dire "donc…")
- ✅ Identifier systématiquement le vecteur normal d'un plan dès sa lecture
- ✅ Visualiser géométriquement : le vecteur normal est perpendiculaire à la "feuille" du plan
- ✅ Pour l'intersection droite/plan : toujours substituer les équations paramétriques dans l'équation cartésienne
- ✅ Pour trouver un vecteur normal à un plan défini par 3 points : résoudre le système \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\)
- ✅ Vérifier ses résultats en substituant les coordonnées trouvées dans les équations de départ
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