Géométrie, Stats & Proba
Dénombrement, probabilités, statistiques à deux variables et géométrie dans l'espace.
Dénombrement et Probabilités
I. Principes fondamentaux du dénombrement
Cardinal et règles de base
\[\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)\]
Règle du produit : \(k\) étapes indépendantes avec \(p_1,\ldots,p_k\) issues chacune conduisent à \(p_1\times\cdots\times p_k\) issues au total.
Factorielle
\[n! = n(n-1)\cdots 2\cdot 1 \qquad 0!=1\]
Valeurs clés : \(3!=6\), \(4!=24\), \(5!=120\), \(6!=720\), \(7!=5040\).
Simplification : \(\dfrac{7!}{5!}=7\times 6=42\) — ne jamais développer inutilement.
II. Arrangements
Formules essentielles
\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \quad \text{(sans répétition, ordre compte)}\]
\[n^k \quad \text{(avec répétition)} \qquad P_n = n! \quad \text{(permutations de } n \text{ éléments)}\]
Exemples
Mots de 3 lettres distincts parmi {A, B, C, D, E} : \(A_5^3=\dfrac{5!}{2!}=60\).
Podium (1er, 2e, 3e) parmi 8 coureurs : \(A_8^3=8\times7\times6=336\).
5 personnes en file indienne : \(P_5=5!=120\).
III. Combinaisons — Triangle de Pascal — Binôme de Newton
Coefficient binomial
\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \qquad \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \qquad \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\]
Binôme de Newton
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \qquad \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\]
Tableau de synthèse — choisir la bonne formule
| Situation | Ordre | Répétition | Formule |
|---|---|---|---|
| Arrangements | Oui | Non | \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) |
| Arrangements avec répét. | Oui | Oui | \(n^k\) |
| Permutations | Oui | Non (tous) | \(P_n=n!\) |
| Combinaisons | Non | Non | \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) |
Figure 1 — Triangle de Pascal et coefficients binomiaux (interactif)
Triangle de Pascal jusqu'à la ligne 12. Cliquez sur une cellule pour afficher \(\binom{n}{k}\) avec sa formule numérique. Relation de Pascal : les deux cellules « parents » s'affichent en or. Symétrie : la cellule symétrique s'affiche en vert.
IV. Vocabulaire des probabilités
Définitions essentielles
Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire.
Événement : sous-ensemble de \(\Omega\). Opérations : complémentaire \(\bar{A}\), union \(A\cup B\), intersection \(A\cap B\).
\[P(A)=\frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}\quad\text{(équiprobabilité)} \qquad P(\bar{A})=1-P(A) \qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
V. Probabilité conditionnelle et indépendance
Formules fondamentales
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \qquad P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)\]
\[P(A)=P(B)\cdot P(A\mid B)+P(\bar{B})\cdot P(A\mid\bar{B}) \quad \text{(probabilités totales)}\]
\[P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i)\cdot P(A\mid B_i)}{P(A)} \quad \text{(formule de Bayes)}\]
Indépendance : \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\). À vérifier par le calcul, jamais par intuition.
Confusion fréquente
Incompatibles ≠ Indépendants. Si \(A\cap B=\emptyset\), réaliser l'un exclut l'autre — ils sont donc très dépendants (sauf si l'un a probabilité nulle).
VI. Arbres de probabilités
Règles de construction et de lecture
- Les branches issues d'un même nœud forment une partition — leur somme vaut 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches empruntées.
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
- Vérification : la somme des probabilités de toutes les feuilles doit valoir exactement 1.
Figure 2 — Arbre de probabilités et formule de Bayes (test médical)
Arbre à deux niveaux. Les curseurs modifient P(Malade), P(+|Malade) et P(+|Sain) en temps réel. Les probabilités de chaque feuille se recalculent automatiquement. La formule de Bayes P(M|+) s'affiche avec sa valeur numérique.
Exemple — Test médical et paradoxe de Bayes
Maladie affectant 1 % de la population. Sensibilité du test : 99 % (P(+|M) = 0,99). Faux positifs : 2 % (P(+|S) = 0,02).
\[P(+)=0{,}01\times0{,}99+0{,}99\times0{,}02=0{,}0099+0{,}0198=0{,}0297\]
\[P(M\mid+)=\frac{P(M\cap+)}{P(+)}=\frac{0{,}0099}{0{,}0297}=\frac{1}{3}\approx 33{,}3\%\]
Paradoxe : même avec un résultat positif, seulement 1 personne sur 3 est réellement malade. La maladie étant rare, la majorité des positifs viennent des faux positifs.
VII. Variable aléatoire discrète
Espérance, Variance, Écart-type
\[E(X)=\sum x_i p_i \qquad V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\]
Interprétations : jeu équitable si \(E(X)=0\) ; favorable si \(E(X)>0\) ; défavorable si \(E(X)<0\).
Exemple — Jeu de dé
Gain : +2 € si on obtient 6 (\(p=\frac{1}{6}\)), −1 € sinon. Loi de \(X\) :
\[E(X)=2\cdot\frac{1}{6}+(-1)\cdot\frac{5}{6}=\frac{2-5}{6}=-\frac{1}{2}\approx -0{,}50\text{ €}\]
\(E(X)<0\) : le jeu est défavorable au joueur.
VIII. Loi binomiale
Loi \(B(n,p)\) — Schéma de Bernoulli
Conditions : \(n\) épreuves indépendantes, exactement 2 issues, même probabilité de succès \(p\). \(X\) = nombre de succès.
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \qquad E(X)=np \qquad V(X)=np(1-p)\]
Figure 3 — Diagramme de la loi binomiale \(B(n, p)\) (interactif)
Diagramme en bâtons de la loi \(B(n,p)\). Curseurs \(n\in[1,20]\) et \(p\in[0{,}05\,;\,0{,}95]\). La ligne verticale en rouge indique \(E(X)=np\). La zone colorée en or représente \(P(X\geq k_0)\). Le panneau affiche \(E(X)\), \(\sigma(X)\) et la somme de contrôle (doit valoir 1).
Exemple — QCM de 5 questions (\(p=0{,}25\))
\(X\sim B(5,\;0{,}25)\). Espérance : \(E(X)=1{,}25\) bonne réponse en moyenne. \(\sigma(X)\approx 0{,}97\).
\[P(X=2)=\binom{5}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^3=10\times0{,}0625\times0{,}4219\approx 0{,}264\]
\[P(X\geq3)=1-P(X\leq2)\approx 1-0{,}896=0{,}104\]
Résumé — Formules et points clés du chapitre
\(n!=n(n-1)\cdots 1\), \(0!=1\)
Étapes indépendantes → produit des issues
\(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\), \(P_n=n!\)
Ordre compte, éléments distincts
\(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
Pascal : \(\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\)
\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Composée : \(P(A\cap B)=P(B)P(A|B)\)
\(P(A)=\sum P(B_i)P(A|B_i)\)
Bayes : \(P(B_i|A)=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}\)
\(P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\)
\(E=np\), \(\sigma=\sqrt{npq}\)
Les 7 erreurs les plus coûteuses
- Utiliser les combinaisons quand l'ordre compte (arrangements) — et inversement.
- Oublier que \(0!=1\).
- Confondre événements incompatibles et indépendants.
- Écrire \(P(A\mid B)=P(A\cap B)\) sans diviser par \(P(B)\).
- Additionner les probabilités sur un arbre au lieu de les multiplier le long d'un chemin.
- Ne pas vérifier que la somme des \(p_i\) vaut 1 dans la loi de \(X\).
- Appliquer la loi binomiale sans vérifier les trois conditions : indépendance, même \(p\), deux issues.
Les 5 réflexes gagnants
- Se demander si l'ordre compte avant tout calcul de dénombrement.
- Vérifier la partition sur chaque nœud de l'arbre (somme des branches = 1).
- Exploiter le complémentaire : \(P(X\geq 1)=1-P(X=0)\).
- Vérifier les trois conditions avant d'invoquer la loi binomiale.
- Interpréter \(E(X)\) concrètement dans le contexte du problème.
Exercice type Bac — Dénombrement & Loi binomiale
Une urne contient 5 boules rouges (R) et 3 boules bleues (B). On effectue 4 tirages successifs avec remise. Soit \(X\) le nombre de boules rouges obtenues.
1. Montrer que \(X\) suit une loi binomiale. Préciser les paramètres.
2. Calculer \(P(X=2)\), \(P(X\geq 3)\), \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
3. On tire maintenant 4 boules sans remise. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges.
Éléments de réponse : 1. \(X\sim B(4,\frac{5}{8})\). 2. \(P(X=2)=6\cdot(\frac{5}{8})^2\cdot(\frac{3}{8})^2\approx 0{,}263\) ; \(P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)\approx 0{,}586\) ; \(E(X)=\frac{5}{2}=2{,}5\) ; \(\sigma\approx 0{,}968\). 3. Sans remise, utiliser les combinaisons : \(\dfrac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{\binom{8}{4}}=\dfrac{10\cdot3}{70}=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}429\).
Statistiques à Deux Variables
I. Vocabulaire et nuage de points
Une série statistique double (ou bivariée) est un ensemble de \(n\) couples \((x_i,\,y_i)\) où \(x_i\) est la variable explicative (indépendante) et \(y_i\) la variable à expliquer (dépendante), \(i\) variant de 1 à \(n\).
| Obs. 1 | Obs. 2 | Obs. 3 | … | Obs. \(n\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | … | \(x_n\) |
| \(y_i\) | \(y_1\) | \(y_2\) | \(y_3\) | … | \(y_n\) |
- Heures de révision \((x)\) et note à l'examen \((y)\)
- Température extérieure \((x)\) et consommation d'électricité \((y)\)
- Âge d'une voiture en années \((x)\) et son prix de revente \((y)\)
- Taille des élèves \((x)\) et leur poids \((y)\)
Le nuage de points est la représentation graphique de la série : chaque couple \((x_i;\,y_i)\) est un point dans un repère orthogonal. L'examen visuel du nuage est la première étape indispensable avant tout ajustement.
| Forme du nuage | Interprétation | Action |
|---|---|---|
| Points alignés en montant | Corrélation positive forte | Ajustement affine si \(r\approx 1\) |
| Points alignés en descendant | Corrélation négative forte | Ajustement affine si \(r\approx -1\) |
| Points éparpillés | Peu ou pas de corrélation | Ajustement affine inadapté |
| Points sur une courbe | Relation non linéaire | Changement de variable |
Figure 1 — Nuage de points interactif et droite de régression
Déplacer les points bleus · Double-clic pour ajouter (max 12)
Nuage de points interactif. Déplacer les points bleus à la souris. Double-clic sur le fond pour ajouter un point. Mise à jour automatique de \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), Cov\((X,Y)\), \(r\) et de la droite de régression.
II. Le point moyen G
Le point moyen \(G(\bar{x},\,\bar{y})\) est le centre de gravité du nuage, où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes arithmétiques des deux séries.
\[G\!\left(\bar{x},\;\bar{y}\right) \qquad \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i\]
Le point moyen \(G(\bar{x},\,\bar{y})\) appartient toujours à la droite de régression de \(y\) en \(x\). Cette propriété sert à vérifier l'équation obtenue.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Somme |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 26 |
\[\bar{x}=\frac{15}{5}=3 \qquad \bar{y}=\frac{26}{5}=5{,}2 \qquad \Rightarrow\quad G(3\,;\,5{,}2)\]
III. Covariance et coefficient de corrélation
La covariance mesure la façon dont \(X\) et \(Y\) varient ensemble.
\[\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\]
Formule de calcul pratique :
\[\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y} \qquad \text{où}\quad\overline{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\]
Interprétation : Cov > 0 → même sens · Cov < 0 → sens inverse · Cov ≈ 0 → pas de liaison linéaire.
Version normalisée de la covariance, indépendante des unités.
\[r=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\times\sigma_Y} \qquad -1\leq r\leq 1\]
où \(\sigma_X=\sqrt{\overline{x^2}-\bar{x}^2}\) et \(\sigma_Y=\sqrt{\overline{y^2}-\bar{y}^2}\).
| Valeur de \(|r|\) | Interprétation | Ajustement affine |
|---|---|---|
| \(0{,}9 < |r|\leq 1\) | Très forte corrélation | Excellent |
| \(0{,}7 < |r|\leq 0{,}9\) | Forte corrélation | Bon |
| \(0{,}5 < |r|\leq 0{,}7\) | Corrélation moyenne | Acceptable avec prudence |
| \(|r|\leq 0{,}5\) | Faible corrélation | Inadapté |
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | \(\overline{xy}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | |
| \(x_iy_i\) | 2 | 8 | 15 | 28 | 40 | \(\frac{93}{5}=18{,}6\) |
\[\text{Cov}(X,Y)=18{,}6-3\times5{,}2=3 \qquad \text{Cov}>0 \Rightarrow \text{liaison positive}\]
Une forte corrélation indique une association statistique, pas une relation de cause à effet. Une variable cachée peut expliquer les deux variables simultanément.
- Ventes de glaces et noyades — corrélées par la chaleur, pas de causalité.
- Nombre de pompiers et gravité des dégâts — corrélés par la taille de l'incendie.
IV. Ajustement affine — Méthode des moindres carrés
La droite de régression de \(y\) en \(x\), notée \(y=ax+b\), minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.
\[a=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^2} \qquad b=\bar{y}-a\bar{x}\]
où \(V(X)=\sigma_X^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2\). Formule alternative : \(a=r\cdot\dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\).
- Calculer \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
- Calculer \(\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}\).
- Calculer \(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2\).
- Calculer \(a=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}\).
- Calculer \(b=\bar{y}-a\bar{x}\).
- Écrire \(y=ax+b\) et vérifier que \(G(\bar{x};\bar{y})\) appartient à la droite.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 26 |
| \(x_i^2\) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 55 |
| \(x_iy_i\) | 2 | 8 | 15 | 28 | 40 | 93 |
\[\bar{x}=3 \quad \bar{y}=5{,}2 \quad \overline{xy}=18{,}6 \quad \text{Cov}=3 \quad \overline{x^2}=11 \quad V(X)=2\]
\[a=\frac{3}{2}=1{,}5 \qquad b=5{,}2-1{,}5\times3=0{,}7\]
\[\boxed{y=1{,}5x+0{,}7}\]
Vérification : \(y(\bar{x})=1{,}5\times3+0{,}7=5{,}2=\bar{y}\) — le point \(G(3;\,5{,}2)\) appartient bien à la droite.
Figure 2 — Droite de régression et résidus (moindres carrés)
Déplacer les points bleus
La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus (SCR). Activer les carrés des résidus pour voir cette propriété visuellement. Déplacer les points pour observer la mise à jour en temps réel.
V. Applications et prévisions
Interpolation : estimer \(y\) pour \(x\) à l'intérieur de \([x_{\min};\,x_{\max}]\) — plus fiable.
Extrapolation : estimer \(y\) pour \(x\) en dehors de l'intervalle — moins fiable, à mentionner explicitement au Bac.
Interpolation — \(x=2{,}5\) dans \([1;\,5]\) :
\[y=1{,}5\times2{,}5+0{,}7=4{,}45\]
Extrapolation — \(x=10\) hors de \([1;\,5]\) :
\[y=1{,}5\times10+0{,}7=15{,}7 \quad \text{(à prendre avec prudence)}\]
- La relation linéaire peut ne pas se prolonger au-delà des données observées.
- Plus on s'éloigne des données, plus l'erreur potentielle est grande.
- Au Bac : toujours mentionner qu'il s'agit d'une extrapolation et signaler la prudence requise.
VI. Changement de variable
Lorsque le nuage a une forme courbe, on effectue un changement de variable pour le linéariser, puis on applique la méthode des moindres carrés sur le nuage transformé.
| Modèle | Changement | Relation linéarisée | Retour |
|---|---|---|---|
| \(y=ae^{bx}\) | \(Y=\ln y\) | \(Y=bx+\ln a\) | \(b=b'\), \(a=e^{a'}\) |
| \(y=a\ln x+b\) | \(X=\ln x\) | \(y=aX+b\) | \(a,b\) directs |
| \(y=ax^b\) | \(X=\ln x\), \(Y=\ln y\) | \(Y=bX+\ln a\) | \(b=b'\), \(a=e^{a'}\) |
- Tracer le nuage original — observer la forme.
- Appliquer le changement de variable et tracer le nouveau nuage.
- Calculer \(r\) pour le nuage transformé — garder le modèle avec \(|r|\) le plus proche de 1.
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 6 | 18 | 54 |
| \(Y_i=\ln y_i\) | 0,69 | 1,79 | 2,89 | 3,99 |
Le nuage \((x_i,Y_i)\) est parfaitement linéaire. Ajustement : \(Y\approx1{,}1x+0{,}69\).
\[b'=1{,}1 \quad a'=0{,}69=\ln 2 \quad \Rightarrow\quad \boxed{y\approx 2\,e^{1{,}1x}}\]
Figure 3 — Changement de variable : nuage original vs nuage transformé
Gauche : nuage original \((x_i,y_i)\) avec courbe ajustée et son \(r\). Droite : nuage transformé avec droite de régression et \(r\) transformé. Un \(r\) transformé proche de ±1 valide le choix du modèle.
VII. Calculatrice et guide de rédaction
- Accéder au mode STAT ou REG selon le modèle de calculatrice.
- Saisir les \(x_i\) en liste L1 (ou X) et les \(y_i\) en L2 (ou Y).
- Sélectionner « Régression linéaire » (ax+b ou Lin Reg).
- Lire \(a\), \(b\), \(r\) (parfois \(r^2\) — alors \(r=\pm\sqrt{r^2}\), le signe étant celui de \(a\)).
Au Bac : même avec la calculatrice, écrire toutes les formules et justifier les calculs.
Justifier l'ajustement : « Le coefficient de corrélation vaut \(r=\ldots\), donc \(|r|=\ldots\) est proche de 1. Un ajustement affine est justifié. »
Présenter la droite : « On cherche \(y=ax+b\) par les moindres carrés. \(\bar{x}=\ldots\), \(\bar{y}=\ldots\), \(\text{Cov}=\ldots\), \(V(X)=\ldots\), \(a=\ldots\), \(b=\ldots\). »
Faire une prévision : « Pour \(x=\ldots\) : \(y=\ldots\times\ldots+\ldots=\ldots\). » Si extrapolation, l'indiquer.
Vérifier G : « Pour \(x=\bar{x}=\ldots\) : \(y=a\bar{x}+b=\ldots=\bar{y}\). Donc \(G\in D_{y/x}\). »
\(G(\bar{x},\bar{y})\) — appartient toujours à la droite de régression.
\(\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}\), \(\bar{y}=\dfrac{\sum y_i}{n}\)
\(\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}\)
Signe → direction de la liaison.
\(r=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y}\), \(-1\leq r\leq 1\)
\(|r|\approx 1\) → ajustement affine justifié.
\(a=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}\), \(b=\bar{y}-a\bar{x}\)
Passe toujours par \(G(\bar{x},\bar{y})\).
\(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2=\sigma_X^2\)
Toujours positive ou nulle.
Exponentiel \(y=ae^{bx}\) → \(Y=\ln y\)
Logarithmique \(y=a\ln x+b\) → \(X=\ln x\)
Puissance \(y=ax^b\) → \(X=\ln x\), \(Y=\ln y\)
- Calculer la droite sans vérifier d'abord que \(|r|\) justifie un ajustement affine.
- Confondre \(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2\) et \(\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}\) — même structure, variables différentes.
- Oublier de vérifier que \(G(\bar{x};\bar{y})\) appartient à la droite trouvée.
- Ne pas mentionner qu'une prévision hors intervalle est une extrapolation.
- Conclure qu'une forte corrélation implique une causalité.
- Utiliser l'ajustement affine sans changement de variable sur un nuage manifestement courbe.
- Commencer par calculer \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) — tout le reste en découle.
- Utiliser un tableau de calcul avec colonnes \(x_i\), \(y_i\), \(x_i^2\), \(y_i^2\), \(x_iy_i\).
- Vérifier systématiquement que \(G\) appartient à la droite trouvée.
- Interpréter \(r\) dans le contexte du problème, pas juste donner un nombre.
- Si le nuage est courbé : envisager immédiatement un changement de variable.
On étudie l'évolution du chiffre d'affaires \(y\) (en millions de FCFA) d'une entreprise en fonction de l'année \(x\) (avec \(x=1\) pour 2018).
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 12 | 15 | 17 | 21 | 24 | 28 |
1. Calculer \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), \(\text{Cov}(X,Y)\), \(V(X)\) et le coefficient de corrélation \(r\).
2. Déterminer l'équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\). Vérifier que \(G\) appartient à la droite.
3. Estimer le chiffre d'affaires prévu pour 2025. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
Éléments de réponse : \(\bar{x}=3{,}5\), \(\bar{y}=19{,}5\), \(\overline{xy}=74{,}5\), \(\text{Cov}=74{,}5-3{,}5\times19{,}5=6{,}25\), \(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2=15{,}17-12{,}25=2{,}92\), \(a\approx2{,}14\), \(b\approx12{,}01\). Droite : \(y\approx2{,}14x+12{,}01\). Pour 2025, \(x=8\) : \(y\approx29{,}1\) — extrapolation (hors de \([1;\,6]\)).
Géométrie dans l'Espace
I. Repérage dans l'espace
Un repère de l'espace est formé d'un point origine \(O\) et de trois vecteurs non coplanaires \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\). Si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 1, le repère est orthonormé, noté \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
- \(O\) = coin au sol (origine)
- \(\vec{i}\) longe le mur de gauche (premier axe horizontal)
- \(\vec{j}\) longe le mur du fond (deuxième axe horizontal)
- \(\vec{k}\) monte vers le plafond (axe vertical)
| Notion | Formule |
|---|---|
| Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) | \(\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}\) |
| Distance \(AB\) | \(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) |
| Milieu \(I\) de \([AB]\) | \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\) |
| Norme \(\|\vec{u}\|\) | \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) |
| Somme \(\vec{u}+\vec{v}\) | \((x+x'\,;\,y+y'\,;\,z+z')\) |
| Produit \(k\vec{u}\) | \((kx\,;\,ky\,;\,kz)\) |
\(\overrightarrow{AB}=(3\,;\,4\,;\,-2)\) · \(AB=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}\) · \(I=\left(\dfrac{5}{2}\,;\,4\,;\,2\right)\)
II. Produit scalaire dans l'espace
Le produit scalaire de \(\vec{u}(x;y;z)\) et \(\vec{v}(x';y';z')\) est :
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\]
- Commutativité : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\)
- Distributivité : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
- Homogénéité : \((k\vec{u})\cdot\vec{v}=k(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
- Carré : \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\)
\[\vec{u}\perp\vec{v}\;\Longleftrightarrow\;\vec{u}\cdot\vec{v}=0\]
\[\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arccos\!\left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|}\right) \quad \theta\in[0;\pi]\]
\(\vec{u}(2;3;1)\) et \(\vec{v}(1;-2;4)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-6+4=0\) → orthogonaux.
\(\vec{u}(1;2;2)\) et \(\vec{v}(2;1;2)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2+2+4=8\), \(\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=3\)
\[\cos\theta=\frac{8}{9} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arccos\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\approx 27{,}3°\]
Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) orthogonal à \(\vec{u}(1;2;-1)\) et \(\vec{v}(3;0;2)\) :
\[\begin{cases}a+2b-c=0\\3a+2c=0\end{cases}\]
On prend \(a=2\) → \(c=-3\) → \(b=-\frac{5}{2}\). Solution entière : \(\vec{n}(4;-5;-6)\).
III. Droites de l'espace
La droite passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\) :
\[\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}\]
\(t=0\) → point \(A\) · \(t=1\) → point \(A+\vec{u}\) · \(t\in\mathbb{R}\) → toute la droite.
- Substituer les coordonnées de \(M\) dans les 3 équations.
- Chercher une valeur de \(t\) vérifiant les 3 équations simultanément.
- Si une telle valeur existe : \(M\in(d)\). Sinon : non.
- Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\).
- Utiliser \(A\) comme point de référence.
- Écrire les équations paramétriques avec \(\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AB}=(2;-1;4)\). Représentation : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)
\(M(5;0;11)\) : \(t=2\) vérifie les 3 équations → \(M\in(AB)\).
IV. Plans de l'espace
Un vecteur \(\vec{n}\) est normal à un plan \(\mathcal{P}\) s'il est orthogonal à tout vecteur du plan.
Tout plan admet une équation : \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Le vecteur \(\vec{n}(a;b;c)\) est le vecteur normal.
- L'équation est \(ax+by+cz+d=0\) — les coefficients sont ceux de \(\vec{n}\).
- Substituer les coordonnées du point connu pour trouver \(d\).
\(2x-y+4z+d=0\). Point \(A\) : \(2-2+12+d=0\) → \(d=-12\).
\[\boxed{2x-y+4z-12=0}\]
- Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\).
- Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) avec \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\).
- Fixer une coordonnée (ex. \(a=1\)) et résoudre le système.
- Appliquer la méthode A pour trouver \(d\).
\(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;0;1)\). Système : \(-a+b=0\) et \(-a+c=0\) → \(a=b=c=1\).
Point \(A\) : \(1+d=0\) → \(d=-1\).
\[\boxed{x+y+z-1=0}\]
Figure 1 — Repère 3D, droite paramétrique et plan \((ABC)\)
Repère orthonormé 3D. Points A(2;1;3), B(4;2;1), C(1;−1;2). Droite paramétrique \((AB)\) en or — le curseur \(t\) déplace \(P(t)\) le long de la droite. Plan \((ABC)\) avec son vecteur normal \(\vec{n}(5;-4;3)\) en rouge. La construction illustre : \(\overrightarrow{AB}=(2;1;-2)\), équation du plan \(5x-4y+3z-15=0\).
V. Positions relatives — Parallélisme et orthogonalité
| Relation | Condition vectorielle |
|---|---|
| Droites \((d_1)\parallel(d_2)\) | Vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) colinéaires |
| Droites \((d_1)\perp(d_2)\) | \(\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0\) |
| Droite \((d)\parallel\mathcal{P}\) | \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) |
| Droite \((d)\perp\mathcal{P}\) | \(\vec{u}\) et \(\vec{n}\) colinéaires |
| Plans \(\mathcal{P}_1\parallel\mathcal{P}_2\) | \(\vec{n_1}\) et \(\vec{n_2}\) colinéaires |
| Plans \(\mathcal{P}_1\perp\mathcal{P}_2\) | \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\) |
Règle d'or : Parallélisme → vecteurs colinéaires · Orthogonalité → produit scalaire nul.
La droite \((d)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;4)\) est-elle perpendiculaire à \(\mathcal{P}: 2x-y+4z=5\) ?
Vecteur normal : \(\vec{n}(2;-1;4)=\vec{u}\) → colinéaires → oui, perpendiculaire.
Pour droite parallèle au plan : \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) — la droite est "dans" la direction du plan, donc orthogonale au normal.
Pour droite perpendiculaire au plan : \(\vec{u}\) colinéaire à \(\vec{n}\) — la droite a la même direction que le vecteur normal.
VI. Intersections
- Écrire les équations paramétriques de la droite.
- Substituer dans l'équation cartésienne du plan.
- Résoudre en \(t\).
| Résultat en \(t\) | Interprétation |
|---|---|
| Solution unique \(t_0\) | Un point d'intersection — substituer \(t_0\) |
| Équation toujours vraie | Droite incluse dans le plan |
| Équation impossible | Droite parallèle au plan (sans intersection) |
Droite : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)
\[(1+2t)+(2-t)+(3+4t)-1=0\;\Rightarrow\;5+5t=0\;\Rightarrow\;t=-1\]
Point : \((-1\,;\,3\,;\,-1)\)
- Poser \(z=t\) (paramètre libre).
- Résoudre le système de 2 équations en \(x\) et \(y\).
- Exprimer \(x\), \(y\) en fonction de \(t\) → représentation paramétrique de la droite d'intersection.
Posons \(z=t\). Somme : \(2x=1-3t\) → \(x=\frac{1-3t}{2}\). Différence : \(2y=1+t\) → \(y=\frac{1+t}{2}\).
\[\begin{cases}x=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t\\[4pt]y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\[4pt]z=t\end{cases}\]
VII. Distances et projeté orthogonal
Distance du point \(M(x_M;y_M;z_M)\) au plan \(\mathcal{P}: ax+by+cz+d=0\) :
\[d(M,\mathcal{P})=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
- Mettre le plan sous forme \(ax+by+cz+d=0\) (tout à gauche).
- Numérateur : substituer \(x_M,y_M,z_M\) et prendre la valeur absolue.
- Dénominateur : \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) — norme du vecteur normal.
- Diviser.
Ne pas oublier la valeur absolue au numérateur ni la racine carrée au dénominateur — ce sont les deux erreurs les plus fréquentes sur ce type de question.
Num. : \(|2-2+6-5|=1\) · Dén. : \(\sqrt{4+1+4}=3\)
\[d(M,\mathcal{P})=\frac{1}{3}\]
Le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{P}\) est le point \(H\in\mathcal{P}\) tel que \((MH)\perp\mathcal{P}\).
- Le vecteur directeur de \((MH)\) est le vecteur normal \(\vec{n}\) du plan.
- Écrire la droite passant par \(M\) de direction \(\vec{n}\).
- Calculer l'intersection de cette droite avec \(\mathcal{P}\) → c'est \(H\).
Droite \((MH)\) : direction \(\vec{n}(1;1;1)\) → \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\end{cases}\)
Intersection : \((1+t)+(2+t)+(3+t)-1=0\) → \(t=-5/3\)
\[H\!\left(-\tfrac{2}{3}\,;\,\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{4}{3}\right)\]
- Paramétrer la droite : point générique \(P(t)\).
- Écrire \(\overrightarrow{MP}(t)\) et résoudre \(\overrightarrow{MP}\cdot\vec{u}=0\) → trouver \(t_0\).
- \(H=P(t_0)\) est le projeté de \(M\) sur la droite.
- \(d(M,(d))=MH\).
\(\overrightarrow{MP}=(2t-1\,;\,t\,;\,2t-2)\), \(\vec{u}(2;1;2)\).
\(2(2t-1)+t+2(2t-2)=0\;\Rightarrow\;9t=6\;\Rightarrow\;t=2/3\)
\(H(4/3\,;\,2/3\,;\,4/3)\), \(MH=\|(1/3\,;\,2/3\,;\,-2/3)\|=\sqrt{1/9+4/9+4/9}=1\)
Figure 2 — Distance point-plan et projeté orthogonal \(H\)
Plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) en bleu. Point \(M\) (or) déplacé par les curseurs. Projeté orthogonal \(H\) (vert) = pied de la perpendiculaire de \(M\) sur le plan. Segment \(MH\) (rouge) est perpendiculaire au plan. La distance \(d(M,\mathcal{P})=\frac{|2x_M-y_M+z_M-4|}{\sqrt{6}}\) est calculée en temps réel.
VIII. Sphères dans l'espace
La sphère de centre \(\Omega(a;b;c)\) et rayon \(R>0\) :
\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\]
Forme développée : \(x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\)
\[\Omega=\left(-\frac{\alpha}{2}\,;\,-\frac{\beta}{2}\,;\,-\frac{\gamma}{2}\right) \qquad R=\sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{4}-\delta}\]
\[(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9\]
Développé : \(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0\)
Compléter le carré : \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4+1+9-9=5\)
Centre : \(\Omega(2;-1;3)\), Rayon : \(R=\sqrt{5}\)
| Condition | Position de \(M\) |
|---|---|
| \(\Omega M < R\) | Intérieur de la sphère |
| \(\Omega M = R\) | Sur la sphère |
| \(\Omega M > R\) | Extérieur de la sphère |
Intersection sphère/plan : soit \(d=d(\Omega,\mathcal{P})\). Si \(d < R\) → cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\). Si \(d=R\) → tangence. Si \(d > R\) → aucune intersection.
Centre \(\Omega(1;2;0)\), \(R=3\). Distance \(\Omega\) au plan \(z=2\) : \(d=2\). Comme \(d=2
IX. Problème de synthèse — Type Bac
Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), soient \(A(2;1;3)\), \(B(4;2;1)\), \(C(1;-1;2)\) et le plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\).
Partie A — Calculs préliminaires
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(AB\).
\[\overrightarrow{AB}=(2;1;-2) \quad;\quad \overrightarrow{AC}=(-1;-2;-1) \quad;\quad AB=\sqrt{4+1+4}=3\]
2. \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
Si colinéaires : \(\overrightarrow{AC}=k\cdot\overrightarrow{AB}\) → composante \(x\) : \(k=-1/2\), composante \(y\) : \(k=-2\). Contradiction → non alignés.
Partie B — Équation du plan \((ABC)\)
3. Trouver un vecteur normal à \((ABC)\).
Système \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) : \(\begin{cases}2a+b-2c=0\\-a-2b-c=0\end{cases}\) → \(\vec{n}(5;-4;3)\).
Équation : \(5(x-2)-4(y-1)+3(z-3)=0\) → \(\boxed{5x-4y+3z-15=0}\)
Partie C — Position relative
4. La droite \((AB)\) est-elle parallèle à \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) ?
\(\vec{n_P}(2;-1;1)\). Test : \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n_P}=4-1-2=1\neq0\) → non parallèle.
Partie D — Distance et projeté
5. Distance du point \(A\) au plan \(\mathcal{P}\) :
\[d(A,\mathcal{P})=\frac{|2(2)-1(1)+1(3)-4|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{|4-1+3-4|}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\]
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
\(d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\)
\(\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)
Orthogonalité : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
\(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\)
Vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\)
\(ax+by+cz+d=0\)
Vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\)
Trouver \(d\) : substituer un point connu.
Parallèle → vecteurs colinéaires
Orthogonal → produit scalaire nul
Droite \(\perp\) plan → \(\vec{u}\parallel\vec{n}\)
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)
Sphère \(\cap\) plan : cercle si \(d < R\)
Rayon : \(r=\sqrt{R^2-d^2}\)
- Ne pas vérifier les 3 équations simultanément pour l'appartenance à une droite.
- Confondre vecteur directeur (droite) et vecteur normal (plan).
- Oublier la valeur absolue dans la formule de distance point-plan.
- Oublier la racine carrée au dénominateur.
- Confondre critère de parallélisme (\(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\)) et de perpendicularité (\(\vec{u}\parallel\vec{n}\)) droite/plan.
- Ne pas mettre l'équation du plan sous forme \(ax+by+cz+d=0\) avant d'appliquer les formules.
- Omettre la conclusion après un calcul ("donc…").
- Identifier systématiquement le vecteur normal d'un plan dès sa lecture.
- Visualiser : le vecteur normal est perpendiculaire à la "feuille" du plan.
- Pour droite/plan : toujours substituer les équations paramétriques dans l'équation cartésienne.
- Pour vecteur normal à un plan (3 points) : résoudre \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\).
- Vérifier systématiquement en substituant les coordonnées trouvées dans les équations de départ.