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Exercices — Première Série D — Dénombrement

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Exercices — Dénombrement

Cardinal d'un ensemble fini · Arrangements & permutations · Combinaisons & binôme de Newton

Première Série D · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre XXVII — Cardinal d'un ensemble fini

1

QCM — Cardinal d'un ensemble fini

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $A$ et $B$ sont deux ensembles finis avec $\text{card}(A)=20$, $\text{card}(B)=15$, $\text{card}(A\cap B)=5$. Alors $\text{card}(A\cup B)$ vaut :
a) $35$   b) $30$   c) $40$   d) $10$

2) Dans un ensemble $E$ de cardinal $40$, une partie $A$ vérifie $\text{card}(A)=28$. Le cardinal du complémentaire $\overline A$ vaut :
a) $68$   b) $12$   c) $-12$   d) $40$

3) $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, $\text{card}(E)=6$, $\text{card}(F)=4$. Le cardinal de $E\times F$ vaut :
a) $10$   b) $2$   c) $24$   d) $6^4$

4) $E$ est un ensemble à $7$ éléments. Le nombre de parties de $E$ (l'ensemble $\mathcal P(E)$) vaut :
a) $128$   b) $14$   c) $49$   d) $64$

1
Réponse : b. $\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)=20+15-5=30$.
2
Réponse : b. $\text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A)=40-28=12$.
3
Réponse : c. $\text{card}(E\times F)=\text{card}(E)\times\text{card}(F)=6\times4=24$.
4
Réponse : a. $\text{card}(\mathcal P(E))=2^n$ avec $n=7$ : $2^7=128$.
2

Situation d'intégration — Kermesse d'un lycée de Ouahigouya

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un lycée de Ouahigouya organise une kermesse de fin d'année. Sur les $200$ élèves de l'établissement, $120$ participent à l'atelier théâtre, $85$ à l'atelier musique, et $40$ participent aux deux ateliers à la fois.

Le comité d'organisation doit commander un tee-shirt pour chaque élève participant à au moins un atelier (sans doublon pour ceux qui font les deux), plus une réserve correspondant à $10\%$ des élèves ne participant à aucun atelier, qui seront mobilisés comme bénévoles le jour J.

Consigne : Déterminer le nombre d'élèves participant à au moins un atelier, le nombre d'élèves ne participant à aucun des deux, puis le nombre total de tee-shirts à commander (réserve bénévoles arrondie à l'entier supérieur).

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1
Au moins un atelier. Notons $T$ (théâtre) et $M$ (musique) : $\text{card}(T\cup M)=\text{card}(T)+\text{card}(M)-\text{card}(T\cap M)=120+85-40=165$ élèves.
2
Aucun des deux. $200-165=35$ élèves ne participent à aucun atelier.
3
Réserve bénévoles. $10\%$ de $35=3{,}5$, arrondi à l'entier supérieur : $4$ tee-shirts de réserve.
4
Total à commander. $165+4=169$ tee-shirts.
3

Problème — Codes, digicode et parties

Difficile Problème
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Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

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A.1
Chacun des $4$ chiffres est choisi indépendamment parmi $10$ possibilités, répétitions autorisées : il s'agit de $4$-uplets. $\text{card}(E^4)=10^4=10\,000$ codes.
A.2
Les $4$ chiffres doivent être distincts : il s'agit d'un arrangement de $4$ éléments parmi $10$. $A_{10}^4=10\times9\times8\times7=5\,040$ codes.
B
$3$ caractères choisis indépendamment parmi $36$ symboles, répétitions autorisées : $36^3=46\,656$ codes.
C
Un lot correspond à une partie quelconque de $E$ (y compris $\varnothing$ et $E$ lui-même) : $\text{card}(\mathcal P(E))=2^n$ avec $n=8$, soit $2^8=256$ lots différents possibles.

Chapitre XXVIII — Arrangements et permutations

1

QCM — Arrangements et permutations

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $5!$ vaut :
a) $20$   b) $120$   c) $25$   d) $100$

2) $A_6^2$ vaut :
a) $30$   b) $15$   c) $12$   d) $36$

3) Le nombre de façons de ranger $4$ personnes en file indienne vaut :
a) $24$   b) $16$   c) $12$   d) $4$

4) Pour tout entier $n\geqslant1$, $A_n^n$ est égal à :
a) $n$   b) $n!$   c) $n^n$   d) $1$

1
Réponse : b. $5!=5\times4\times3\times2\times1=120$.
2
Réponse : a. $A_6^2=6\times5=30$.
3
Réponse : a. Ranger $4$ personnes en file = permutation de $4$ éléments : $4!=24$.
4
Réponse : b. Un arrangement des $n$ éléments parmi $n$ eux-mêmes est une permutation : $A_n^n=n!$.
2

Situation d'intégration — Coopérative cotonnière de Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole de Bobo-Dioulasso compte $10$ membres candidats à un bureau de $3$ postes bien distincts : président, trésorier et secrétaire.

La coopérative doit ensuite afficher, dans l'ordre du meilleur au moins bon, le classement des $5$ producteurs les plus performants (en tonnage de coton) parmi les $12$ producteurs de la coopérative, sans aucun ex-æquo possible.

Consigne : Déterminer le nombre de bureaux différents possibles, puis le nombre de classements différents possibles pour les $5$ meilleurs producteurs parmi les $12$.

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1
Bureau à 3 postes distincts. Les postes étant distincts, l'ordre de désignation compte : c'est un arrangement de $3$ éléments parmi $10$. $A_{10}^3=10\times9\times8=720$ bureaux possibles.
2
Classement des 5 meilleurs parmi 12. Le classement impose un ordre (1er, 2e, ..., 5e) : c'est un arrangement de $5$ éléments parmi $12$. $A_{12}^5=12\times11\times10\times9\times8=95\,040$ classements possibles.
3

Problème — Ordre de passage à un examen oral

Difficile Problème
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Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

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A
Ordonner les $8$ candidats est une permutation de $8$ éléments : $8!=40\,320$ ordres de passage possibles.
B
Les $3$ sièges sont numérotés (distincts) : il s'agit d'un arrangement de $3$ candidats parmi $8$. $A_8^3=8\times7\times6=336$ façons.
C
Ordonner les $5$ candidats restants est une permutation de $5$ éléments : $5!=120$ ordres de passage possibles.

Chapitre XXIX — Combinaisons, relations & binôme de Newton

1

QCM — Combinaisons et binôme de Newton

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\binom72$ vaut :
a) $21$   b) $14$   c) $42$   d) $5$

2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, on a $\binom{10}3=\binom{10}{k}$ avec $k=$ :
a) $3$   b) $7$   c) $10$   d) $13$

3) Dans le développement de $(x+1)^4$, le coefficient de $x^2$ vaut :
a) $4$   b) $6$   c) $8$   d) $12$

4) D'après la relation de Pascal, $\binom52+\binom53=\binom6{k}$ avec $k=$ :
a) $2$   b) $3$   c) $5$   d) $6$

1
Réponse : a. $\binom72=\dfrac{7\times6}{2\times1}=21$.
2
Réponse : b. $\binom{10}3=\binom{10}{10-3}=\binom{10}7$, donc $k=7$.
3
Réponse : b. Le terme en $x^2$ est $\binom42x^2\times1^2=6x^2$ : coefficient $6$.
4
Réponse : b. Relation de Pascal $\binom np+\binom n{p+1}=\binom{n+1}{p+1}$ avec $n=5$, $p=2$ : $\binom52+\binom53=\binom63$, donc $k=3$.
2

Situation d'intégration — Équipe d'animateurs d'une ONG au Sahel

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG intervenant dans la région du Sahel a formé $9$ volontaires. Elle doit sélectionner, parmi eux, une équipe de $4$ animateurs pour organiser une campagne de sensibilisation à l'hygiène dans les villages. Les $4$ postes de l'équipe sont identiques : aucune hiérarchie n'est établie entre les animateurs sélectionnés.

Pour son rapport de subvention, l'ONG doit vérifier que le nombre total d'équipes possibles reste strictement inférieur à un plafond de $150$ fixé par le bailleur de fonds (ce plafond garantissant que la procédure de sélection reste suffisamment restreinte et traçable).

Consigne : Calculer le nombre d'équipes de $4$ animateurs possibles parmi les $9$ volontaires, puis vérifier si ce nombre respecte le plafond fixé par le bailleur.

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1
Nature du dénombrement. Les $4$ postes étant identiques, l'ordre de sélection n'a pas d'importance : il s'agit d'une combinaison de $4$ éléments parmi $9$.
2
Calcul. $\binom94=\dfrac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}=\dfrac{3\,024}{24}=126$ équipes possibles.
3
Conclusion. $126<150$ : le nombre d'équipes possibles respecte le plafond fixé par le bailleur de fonds.
3

Problème — Binôme, relation de Pascal et coopérative

Difficile Problème
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Problème.

Partie A. Développer $(x-1)^5$ à l'aide de la ligne $n=5$ du triangle de Pascal.

Partie B. Vérifier la relation $\binom62+\binom63=\binom73$.

Partie C. Une coopérative compte $12$ membres. Elle doit former un comité de $5$ membres, sans distinction de rôle entre eux. Combien de comités différents peut-elle former ?

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A
Ligne $n=5$ du triangle de Pascal : $1,5,10,10,5,1$. $(x-1)^5=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1$.
B
$\binom62=\dfrac{6\times5}{2}=15$, $\binom63=\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20$, somme $=15+20=35$. $\binom73=\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35$ : la relation est vérifiée.
C
Sans distinction de rôle : c'est une combinaison de $5$ éléments parmi $12$. $\binom{12}5=\dfrac{12\times11\times10\times9\times8}{5\times4\times3\times2\times1}=\dfrac{95\,040}{120}=792$ comités possibles.
Mode hors-ligne — données en cache