Applications, Polynômes & Suites
Applications injectives/surjectives/bijectives, polynômes et fractions rationnelles — équations avec radicaux et systèmes (pivot de Gauss) — suites numériques, génération et comportement. Programme officiel de Première Série D.
Applications, polynômes et fractions rationnelles
XIII.1 — Applications : injectivité, surjectivité, bijectivité
Ces notions ne font pas l'objet d'un exposé détaillé en Première : elles sont étudiées de façon succincte, puis réinvesties toute l'année (fonctions numériques, transformations du plan).
Une application \(f:E\to F\) est injective si deux éléments distincts de \(E\) ont toujours des images distinctes (autrement dit, \(f(a)=f(b) \Rightarrow a=b\)). Elle est surjective si tout élément de \(F\) a au moins un antécédent. Elle est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de \(F\) a alors exactement un antécédent.
Le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=k\) (d'inconnue \(x\)) dépend directement de la nature de \(f\) : au plus une solution si \(f\) est injective, au moins une si \(f\) est surjective, exactement une si \(f\) est bijective. Graphiquement, cela se lit sur le nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale \(y=k\).
Si \(f\) est bijective de \(E\) vers \(F\), sa réciproque \(f^{-1}\) est l'application de \(F\) vers \(E\) qui à chaque \(y\) associe l'unique \(x\) tel que \(f(x)=y\). Graphiquement, dans un repère orthonormé, la courbe de \(f^{-1}\) est le symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y=x\).
La composée \(g\circ f\) de deux applications se calcule en appliquant d'abord \(f\), puis \(g\) au résultat : \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
Réciproque simple. \(f(x)=2x+3\) sur \(\mathbb R\) est bijective (droite non horizontale). Pour trouver \(f^{-1}\) : on pose \(y=2x+3\), on résout en \(x\) : \(x=\dfrac{y-3}{2}\). Donc \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}\).
Composée. \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x^2\). Alors \((g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2\), tandis que \((f\circ g)(x)=g(x)+1=x^2+1\) : les deux composées sont différentes en général.
Figure interactive — Une fonction et sa réciproque
La courbe de \(f^{-1}\) (orange) est le symétrique de celle de \(f\) (navy) par rapport à la droite \(y=x\) (pointillés).
XIII.2 — Polynômes : degré, racines, factorisation
Un polynôme s'écrit sous forme réduite \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) avec \(a_n\ne0\) : \(n\) est le degré de \(P\). Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; on admet que si un polynôme est nul, tous ses coefficients le sont.
Si \(P(a)=0\), alors \(P(x)=(x-a)Q(x)\) pour un polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).
Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) de racines \(x_1,x_2\) (éventuellement égales) :
\[ x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. \]Utile pour retrouver rapidement des racines évidentes, ou pour construire un trinôme à partir de deux racines données.
Diviser \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-1\) par \(D(x)=x-1\).
On dispose la division comme pour les entiers : \(2x^3\div x = 2x^2\), on multiplie et soustrait, on répète.
\[ \begin{aligned} 2x^3-3x^2+4x-1 &= (x-1)(2x^2) + (-x^2+4x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x) + (3x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x+3) + 2 \end{aligned} \]Quotient \(2x^2-x+3\), reste \(2\) (constant, degré \(<1\)).
Racine évidente. \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) : \(P(1)=1-6+11-6=0\). On divise par \((x-1)\) : \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).
Fraction rationnelle. Simplifier \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\). On factorise : numérateur \((x-2)(x+2)\), dénominateur \((x-2)(x+1)\) (car somme des racines \(1\), produit \(-2\) : racines \(2\) et \(-1\)). Pour \(x\ne2\) : \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}\).
Toute théorie générale des polynômes (au-delà des exemples travaillés) est hors programme.
XIII.Bac — Exercice type Bac
On considère \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
Question 1. Vérifier que \(1\) est une racine de \(P\), puis effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \((x-1)\).
\(P(1)=1-2-5+6=0\). Division : \(P(x)=(x-1)(x^2-x-6)\).
Question 2. Calculer la somme et le produit des racines de \(x^2-x-6\), puis factoriser complètement \(P(x)\).
Somme \(=1\), produit \(=-6\) : les racines sont \(3\) et \(-2\) (\(3+(-2)=1\), \(3\times(-2)=-6\)). Donc \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\).
Question 3. Soit \(f(x)=2x+5\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).
\(f\) est affine de coefficient directeur \(2\ne0\) : sa courbe est une droite non horizontale, donc \(f\) est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x+5\) : \(x=\dfrac{y-5}{2}\), donc \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-5}{2}\).
Injective : au plus 1 antécédent. Surjective : au moins 1. Bijective : exactement 1 → réciproque \(f^{-1}\) existe.
\(x_1+x_2=-b/a\), \(x_1x_2=c/a\) pour \(ax^2+bx+c=0\).
\(P=DQ+R\) avec \(\deg R < \deg D\). Base de toute factorisation avec une racine connue.
Toujours factoriser numérateur et dénominateur avant de simplifier — jamais de simplification terme à terme.