Transformations, Probabilités & Courbes planes
Isométries et similitudes du plan complexe, probabilités conditionnelles et loi binomiale, puis courbes paramétrées et coniques (parabole, ellipse, hyperbole) — trois piliers de la géométrie et des probabilités en Terminale C.
Probabilités
X.1 — Rappels : probabilité et équiprobabilité
Ce premier temps de révision pose le vocabulaire commun qui sera mobilisé tout au long du chapitre. Même si les notions semblent familières, les confusions restent fréquentes au Bac, notamment entre les opérateurs \(\cup\) et \(\cap\), ou l'oubli du terme \(P(A \cap B)\) dans la formule de l'union.
On appelle univers \(\Omega\) l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Une probabilité \(P\) sur \(\Omega\) est une fonction qui associe à chaque événement \(A \subseteq \Omega\) un réel \(P(A) \in [0\,;1]\), vérifiant \(P(\Omega) = 1\) et, pour \(A, B\) incompatibles (\(A \cap B = \emptyset\)) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]Lorsque toutes les issues de \(\Omega\) sont équiprobables, la probabilité d'un événement \(A\) est simplement le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles :
\[ P(A) = \frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)} \]Le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\) (sans tenir compte de l'ordre) est donné par le coefficient binomial :
\[ C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \]
On lance un dé cubique équilibré. \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\),
chaque issue a la probabilité \(\tfrac{1}{6}\).
Soit \(A\) = « obtenir un nombre pair » et \(B\) = « obtenir un nombre
strictement supérieur à 4 ».
\(A = \{2,4,6\}\), \(B = \{5,6\}\), \(A \cap B = \{6\}\).
\(P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6}
= \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire simultanément 2 boules. L'univers \(\Omega\) contient \(C_{8}^{2} = 28\) issues équiprobables. Soit \(A\) = « tirer 2 boules rouges » : \(\operatorname{card}(A) = C_{5}^{2} = 10\), donc \(P(A) = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}\).
La formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) n'est valable que si \(A\) et \(B\) sont incompatibles. Dans tous les autres cas, il faut soustraire \(P(A \cap B)\), sous peine de compter l'intersection deux fois.
X.2 — Probabilités conditionnelles et indépendance
La probabilité conditionnelle répond à une question naturelle : comment la connaissance d'un événement \(B\) modifie-t-elle nos chances que \(A\) se réalise ? Cette notion est au cœur des arbres de probabilité et des problèmes de tirage sans remise.
Soient \(A\) et \(B\) deux événements avec \(P(B) \neq 0\). La probabilité de \(A\) sachant \(B\) est :
\[ P_{B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad\text{soit}\qquad P(A \cap B) = P(B)\cdot P_{B}(A) \]Si \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) forme une partition de \(\Omega\) (événements deux à deux incompatibles, de réunion \(\Omega\), tous de probabilité non nulle), alors pour tout événement \(A\) :
\[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)\cdot P_{B_i}(A) \]En pratique, cette formule correspond à la lecture d'un arbre de probabilité : on multiplie les probabilités le long d'un chemin, puis on additionne les chemins favorables.
1. Identifier la partition. Les premières branches de
l'arbre correspondent à une partition de \(\Omega\) (ex. : qualité d'une
pièce, couleur d'une boule, résultat d'un test).
2. Placer les probabilités sur les branches. Sur le
premier niveau, ce sont les probabilités simples \(P(B_i)\). Sur le
second niveau, ce sont les probabilités conditionnelles \(P_{B_i}(A)\).
3. Règle du produit. La probabilité d'un chemin
\(B_i \to A\) est \(P(B_i) \times P_{B_i}(A) = P(B_i \cap A)\).
4. Règle de la somme. \(P(A)\) est la somme des
probabilités de tous les chemins aboutissant à \(A\).
Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 vertes (V). On tire successivement 2 boules sans remise. On note \(R_i\) : « la \(i\)-ième boule est rouge ».
| 1er tirage | 2e tirage | Probabilité du chemin |
|---|---|---|
| \(P(R_1) = \tfrac{3}{5}\) | \(P_{R_1}(R_2) = \tfrac{2}{4}\) | \(\tfrac{3}{5}\times\tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{10}\) |
| \(P(R_1) = \tfrac{3}{5}\) | \(P_{R_1}(V_2) = \tfrac{2}{4}\) | \(\tfrac{3}{5}\times\tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{10}\) |
| \(P(\bar{R}_1) = \tfrac{2}{5}\) | \(P_{\bar{R}_1}(R_2) = \tfrac{3}{4}\) | \(\tfrac{2}{5}\times\tfrac{3}{4} = \tfrac{3}{10}\) |
| \(P(\bar{R}_1) = \tfrac{2}{5}\) | \(P_{\bar{R}_1}(V_2) = \tfrac{1}{4}\) | \(\tfrac{2}{5}\times\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{10}\) |
Par la formule des probabilités totales : \(P(R_2) = \tfrac{3}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{3}{5}\). Ce résultat est cohérent : par symétrie, les boules de chaque couleur ont la même probabilité d'apparaître en \(2^{\text{e}}\) position qu'en \(1^{\text{re}}\).
Une usine produit des pièces sur deux lignes : la ligne A fournit 60 %
de la production, la ligne B fournit 40 %. Le taux de défaut est
2 % sur A et 5 % sur B. On choisit une pièce au hasard.
Soit \(D\) = « la pièce est défectueuse ».
\(P(D) = P(A)\cdot P_A(D) + P(B)\cdot P_B(D)
= 0{,}60 \times 0{,}02 + 0{,}40 \times 0{,}05
= 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032\).
La probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse est
donc 3,2 %.
Deux événements \(A\) et \(B\) sont dits indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre. Formellement :
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \qquad \text{(équivalent à } P_B(A) = P(A) \text{ si } P(B) \neq 0\text{)} \]Attention : indépendance et incompatibilité sont des notions opposées. Si \(P(A) > 0\) et \(P(B) > 0\), deux événements incompatibles ne peuvent pas être indépendants.
Les probabilités conditionnelles sont exigibles au Bac via des exemples sur arbre ou tableau. La formule de Bayes (\(P_A(B) = P_B(A)\cdot P(A) / P(B)\)) est au programme de série D et peut apparaître en série C dans un cadre guidé.
Un classique des copies de Bac : confondre « \(A\) et \(B\) sont incompatibles » (ils ne peuvent pas se réaliser simultanément) avec « \(A\) et \(B\) sont indépendants » (la réalisation de l'un n'influence pas l'autre). Ces deux propriétés sont distinctes et la plupart du temps incompatibles entre elles dès que les deux événements ont une probabilité non nulle.
Figure interactive — Arbre de probabilité à deux niveaux
X.3 — Variable aléatoire : loi, espérance, variance
Une variable aléatoire est un outil qui permet de quantifier l'issue d'une expérience aléatoire. Plutôt que de raisonner sur des événements qualitatifs, on traduit chaque issue en un nombre, puis on analyse la distribution de ces nombres.
Une variable aléatoire discrète \(X\) est une fonction qui associe un réel à chaque issue de \(\Omega\). Sa loi de probabilité est la donnée, pour chaque valeur \(x_i\) prise par \(X\), de la probabilité \(p_i = P(X = x_i)\), avec \(\displaystyle\sum_i p_i = 1\).
La fonction de répartition de \(X\) est \(F(x) = P(X \le x)\). C'est une fonction en escalier, croissante, allant de \(0\) (à gauche de toutes les valeurs) à \(1\) (à droite de toutes les valeurs).
L'espérance \(E(X)\) est la moyenne pondérée des valeurs de \(X\) par leurs probabilités : c'est la valeur « attendue en moyenne » sur un grand nombre d'épreuves. La variance \(V(X)\) mesure la dispersion des valeurs autour de cette moyenne. L'écart-type \(\sigma(X)\) est exprimé dans la même unité que \(X\).
Propriétés de linéarité : pour \(a, b \in \mathbb{R}\),
\[ E(aX + b) = a\,E(X) + b \qquad V(aX + b) = a^{2}\,V(X) \]\(X\) prend les valeurs \(0, 1, 2, 3\) avec les probabilités \(\tfrac{1}{8}, \tfrac{3}{8}, \tfrac{3}{8}, \tfrac{1}{8}\).
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | \(\tfrac{1}{8}\) | \(\tfrac{3}{8}\) | \(\tfrac{3}{8}\) | \(\tfrac{1}{8}\) |
| \(x_i \cdot p_i\) | \(0\) | \(\tfrac{3}{8}\) | \(\tfrac{6}{8}\) | \(\tfrac{3}{8}\) |
\(E(X) = 0 + \tfrac{3}{8} + \tfrac{6}{8} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{12}{8} = \tfrac{3}{2}\).
\(E(X^2) = 0 \cdot \tfrac{1}{8} + 1 \cdot \tfrac{3}{8} + 4 \cdot \tfrac{3}{8}
+ 9 \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = 3\).
\(V(X) = 3 - \left(\tfrac{3}{2}\right)^2 = 3 - \tfrac{9}{4} = \tfrac{3}{4}\).
\(\sigma(X) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\).
Un jeu coûte 2 € à jouer. On lance un dé équilibré. On gagne 6 € si
on obtient un 6, 0 € sinon. Soit \(G\) le gain net du joueur.
Si le joueur obtient 6 : \(G = 6 - 2 = 4\) € (probabilité \(\tfrac{1}{6}\)).
Sinon : \(G = 0 - 2 = -2\) € (probabilité \(\tfrac{5}{6}\)).
\(E(G) = 4 \times \tfrac{1}{6} + (-2) \times \tfrac{5}{6}
= \tfrac{4 - 10}{6} = -1\) €.
Ce jeu est défavorable : en moyenne, le joueur perd 1 € par partie.
Pour calculer \(V(X)\), il est plus rapide d'utiliser \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). On calcule \(E(X^2)\) en remplaçant chaque \(x_i\) par \(x_i^2\) dans la somme pondérée. Attention à ne pas confondre \([E(X)]^2\) (carré de l'espérance) et \(E(X^2)\) (espérance du carré).
Figure interactive — Loi de probabilité et fonction de répartition
Répartition \(F(k)\)
X.4 — Schéma de Bernoulli et loi binomiale
La loi binomiale est l'aboutissement naturel du chapitre. Elle modélise efficacement toute situation où l'on répète plusieurs fois la même expérience à deux issues — à condition que les répétitions soient indépendantes. C'est un point sur lequel le Bac insiste systématiquement.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) est une expérience aléatoire à deux issues : succès (probabilité \(p \in [0\,;1]\)) et échec (probabilité \(q = 1 - p\)).
Un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Les résultats peuvent être représentés par un arbre binaire à \(n\) niveaux.
Si \(X\) est le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\), alors \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\) et, pour tout entier \(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) :
\[ P(X = k) = C_{n}^{k}\;p^{k}\,q^{\,n-k} \] \[ E(X) = np \qquad V(X) = npq \qquad \sigma(X) = \sqrt{npq} \]Le coefficient \(C_n^k\) compte le nombre de façons d'obtenir exactement \(k\) succès parmi \(n\) épreuves (l'ordre n'importe pas). Le terme \(p^k\,q^{n-k}\) est la probabilité d'une séquence particulière avec \(k\) succès et \(n-k\) échecs.
Un basketteur réussit chaque lancer franc avec la probabilité
\(p = 0{,}7\). Il tire \(n = 5\) fois indépendamment.
\(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}7)\).
a) \(P(X = 3) = C_5^3 \times (0{,}7)^3 \times (0{,}3)^2
= 10 \times 0{,}343 \times 0{,}09 = 0{,}3087\).
b) \(P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)\).
\(P(X=4) = C_5^4 \times (0{,}7)^4 \times (0{,}3) = 5 \times 0{,}2401 \times 0{,}3 = 0{,}36015\).
\(P(X=5) = (0{,}7)^5 = 0{,}16807\).
\(P(X \ge 4) = 0{,}36015 + 0{,}16807 = 0{,}52822\).
c) \(E(X) = 5 \times 0{,}7 = 3{,}5\) réussites en moyenne.
\(\sigma(X) = \sqrt{5 \times 0{,}7 \times 0{,}3} = \sqrt{1{,}05} \approx 1{,}02\).
Une usine produit des articles dont 5 % sont défectueux. On prélève
un lot de 20 articles. \(X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)\).
Quelle est la probabilité qu'au moins un article soit défectueux ?
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}95)^{20}
\approx 1 - 0{,}3585 = 0{,}6415\).
Il y a donc environ 64 % de chance qu'un lot de 20 contienne au moins
un article défectueux — la technique du complémentaire évite ici des
calculs fastidieux.
La loi binomiale exige impérativement que les épreuves soient indépendantes et en nombre fixé \(n\) à l'avance, et que la probabilité de succès \(p\) soit la même à chaque épreuve. Pour des tirages sans remise dans un petit effectif, ces conditions ne sont pas satisfaites : il faut revenir à l'arbre et aux probabilités conditionnelles. (Pour un très grand effectif, \(n < 5\,\%\) de la population, on peut approcher par une loi binomiale.)
Pour calculer \(P(X \ge k)\) avec \(k\) petit devant \(n\), il est souvent plus rapide d'utiliser \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)\). En particulier, \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^n\) se calcule en une seule opération.
Figure interactive — Distribution binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\)
\(E(X) = np\)
X.5 — Exercice type Bac
Un laboratoire pharmaceutique fabrique des comprimés. Le contrôle qualité révèle qu'en moyenne 4 % des comprimés sont non conformes. On prélève des lots de 25 comprimés. On note \(X\) le nombre de comprimés non conformes dans un lot. On admettra que les prélèvements peuvent être modélisés par un schéma de Bernoulli.
Question 1 — Justifier le modèle et identifier la loi.
Justification. Chaque comprimé peut être conforme
(échec) ou non conforme (succès) avec la probabilité \(p = 0{,}04\),
indépendamment des autres comprimés. Le nombre d'épreuves est fixé
à \(n = 25\). Toutes les conditions du schéma de Bernoulli sont
réunies.
Conclusion. \(X \sim \mathcal{B}(25\,;\,0{,}04)\).
Question 2 — Probabilité d'exactement 2 comprimés non conformes.
\(P(X = 2) = C_{25}^{2} \times (0{,}04)^{2} \times (0{,}96)^{23}\).
\(C_{25}^{2} = \dfrac{25 \times 24}{2} = 300\).
\((0{,}04)^2 = 0{,}0016\).
\((0{,}96)^{23} \approx 0{,}3936\).
\(P(X = 2) \approx 300 \times 0{,}0016 \times 0{,}3936
\approx 0{,}1889\).
Il y a environ 18,9 % de chance d'avoir exactement
2 comprimés non conformes dans le lot.
Question 3 — Probabilité d'au moins un comprimé non conforme.
On utilise le complémentaire :
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C_{25}^{0}(0{,}04)^0(0{,}96)^{25}
= 1 - (0{,}96)^{25}\).
\((0{,}96)^{25} \approx 0{,}3604\).
\(P(X \ge 1) \approx 1 - 0{,}3604 = 0{,}6396\).
Un lot de 25 comprimés a donc environ 64 % de chance
de contenir au moins un comprimé non conforme.
Question 4 — Espérance et interprétation.
\(E(X) = np = 25 \times 0{,}04 = 1\).
\(V(X) = npq = 25 \times 0{,}04 \times 0{,}96 = 0{,}96\).
\(\sigma(X) = \sqrt{0{,}96} \approx 0{,}98\).
Interprétation : en moyenne, on attend exactement
1 comprimé non conforme par lot de 25. L'écart-type proche de 1
signifie que la valeur de \(X\) fluctue typiquement d'environ
\(\pm 1\) autour de cette moyenne, donc le phénomène est assez
stable.
Question 5 — Trouver le plus petit \(n\) tel que \(P(X \ge 1) > 0{,}95\).
On cherche le plus petit entier \(n\) tel que
\(P(X \ge 1) = 1 - (0{,}96)^n > 0{,}95\),
soit \((0{,}96)^n < 0{,}05\).
On applique le logarithme (en base 10 ou naturel) :
\(n \ln(0{,}96) < \ln(0{,}05)\)
\(\ln(0{,}96) = \ln\!\left(1 - 0{,}04\right) \approx -0{,}04082\)
\(\ln(0{,}05) \approx -2{,}996\)
Comme \(\ln(0{,}96) < 0\), l'inégalité change de sens en divisant :
\(n > \dfrac{-2{,}996}{-0{,}04082} \approx 73{,}4\).
Le plus petit entier solution est \(\boxed{n = 74}\).
Pour qu'un lot de comprimés ait plus de 95 % de chance de
contenir au moins un non conforme, il faut en prélever au moins 74.
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
Équiprobabilité : cas favorables / cas possibles.
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\).
Arbre : produit sur un chemin, somme des chemins favorables.
Indépendance : \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).
\(E(X) = \sum x_i p_i\).
\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\).
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
\(E(aX+b) = aE(X)+b\).
\(X \sim \mathcal{B}(n\,;p)\) :
\(P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}\).
\(E(X) = np\), \(V(X) = npq\).
Vérifier l'indépendance des épreuves.
Transformations et configurations
XI.1 — Isométries du plan
Une isométrie du plan est une transformation \(f : \mathcal{P} \to \mathcal{P}\) qui conserve les distances : pour tous points \(M\) et \(N\) du plan, \(f(M)f(N) = MN\). Toute isométrie est bijective, conserve l'alignement, les milieux, les angles géométriques, les aires, et transforme droites en droites et cercles en cercles de même rayon.
On distingue deux familles selon qu'elles conservent ou renversent l'orientation du plan. Les déplacements conservent les angles orientés : ce sont les translations et les rotations. Les antidéplacements changent les angles orientés en leurs opposés : ce sont les réflexions (symétries axiales) et les symétries glissées (réflexion composée d'une translation selon l'axe).
La composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation : le vecteur est perpendiculaire aux axes, de norme égale au double de leur distance. La composée de deux réflexions d'axes sécants en \(O\) est une rotation de centre \(O\), d'angle égal au double de l'angle orienté formé par les deux axes (pris dans l'ordre de composition).
Soient \(d_1 : x = 0\) (axe des ordonnées) et \(d_2 : x = 2\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la translation de vecteur \(\vec{u} = (4,\,0)\). En effet les axes sont parallèles, écartés de \(2\), et le vecteur est perpendiculaire d'amplitude \(2 \times 2 = 4\).
Soient \(d_1 : y = 0\) et \(d_2\) l'axe faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) avec \(d_1\), tous deux passant par \(O\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\).
L'ordre de composition compte pour les réflexions d'axes sécants : \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation d'angle \(+2\alpha\) où \(\alpha = (d_1, d_2)\), mais \(s_{d_1} \circ s_{d_2}\) donne l'angle \(-2\alpha\). On n'intervertit pas les facteurs sans signe.
Figure interactive — Composition de deux réflexions axiales
axe \(d_2\)
point \(P\) initial
image \(P'\) finale
image intermédiaire \(P_1\)
XI.2 — Écritures complexes des transformations usuelles
Dans le plan complexe, on note \(M(z)\) le point d'affixe \(z\) et \(M'(z')\) son image. Les transformations fondamentales s'écrivent :
\[\text{Translation de vecteur d'affixe } b : \quad z' = z + b\] \[\text{Rotation de centre } \Omega(\omega), \text{ angle } \theta : \quad z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)\] \[\text{Homothétie de centre } \Omega(\omega), \text{ rapport } k \in \mathbb{R}^* : \quad z' - \omega = k(z - \omega)\] \[\text{Réflexion d'axe } (Ox) : \quad z' = \bar{z}\]Partant de \(z' = az + b\) avec \(|a| = 1\) et \(a \neq 1\), on identifie \(\theta = \arg a\) et le centre \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\). Il suffit ensuite de vérifier que \(\omega\) est bien fixe : \(a\omega + b = \omega \Leftrightarrow \omega(a-1) = -b \Leftrightarrow \omega = \dfrac{b}{1-a}\).
Déterminons l'écriture de la rotation \(r\) de centre \(\Omega(1+i)\)
et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
On écrit \(z' - (1+i) = e^{i\pi/2}(z - (1+i)) = i(z-1-i)\),
donc \(z' = iz - i(1+i) + 1 + i = iz + 1 - i^2 + i - i = iz + 1 + 1 = iz + 2\).
Vérification : \(r(\Omega)\) vaut \(i(1+i)+2 = i - 1 + 2 = 1 + i = \omega\). Correct.
On donne \(f : z' = -z + 2 + 4i\). Ici \(a = -1 = e^{i\pi}\), donc \(|a| = 1\) et \(\theta = \pi\) : il s'agit d'une rotation d'angle \(\pi\), c'est-à-dire d'une symétrie centrale. Son centre vaut \(\omega = \dfrac{2+4i}{1-(-1)} = \dfrac{2+4i}{2} = 1+2i\). C'est la symétrie centrale de centre \((1;\,2)\).
Soit \(h : z' = 3z - 6 + 6i\). On a \(a = 3 \in \mathbb{R}^*\), \(\theta = 0\) : c'est une homothétie de rapport \(3\). Centre : \(\omega = \dfrac{-6+6i}{1-3} = \dfrac{-6+6i}{-2} = 3 - 3i\). L'homothétie a pour centre \(\Omega(3;\,-3)\) et pour rapport \(3\).
Quand \(a\) est réel positif, c'est une homothétie (angle nul). Quand \(a\) est réel négatif, c'est une homothétie de rapport \(|a|\) suivie d'une rotation d'angle \(\pi\), ce qui revient à une similitude directe dont on calcule quand même le centre par la formule.
Figure interactive — Rotation dans le plan complexe
image \(M'(z')\)
centre \(\Omega\)
XI.3 — Similitudes directes
Une similitude directe est une transformation qui multiplie toutes les distances par un réel \(k > 0\) (son rapport) et conserve les angles orientés. Ce sont exactement les transformations d'écriture complexe de la forme :
\[z' = az + b, \qquad a \in \mathbb{C}^*,\ b \in \mathbb{C}.\]Cas particuliers : si \(|a|=1\), c'est une rotation (ou une translation si \(a=1\)) ; si \(\arg a = 0\), c'est une homothétie (ou une translation si \(a=1\)).
Pour \(s : z' = az + b\) avec \(a \neq 1\) :
\[k = |a| \quad \text{(rapport)}, \qquad \theta = \arg a \quad \text{(angle)}\] \[\omega = \frac{b}{1-a} \quad \text{(affixe du centre } \Omega\text{)}\]La similitude est alors la composée commutative de la rotation de centre \(\Omega\) d'angle \(\theta\) et de l'homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(k\). Si \(a = 1\), \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
Une similitude directe de rapport \(k\) : transforme droites en droites et cercles en cercles ; multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) ; conserve les angles orientés, le parallélisme, l'orthogonalité et les rapports de barycentres.
Caractérisons \(s : z' = (1+i)z + 2\).
On a \(a = 1+i\), donc \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) et
\(\theta = \arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{2}{1-(1+i)} = \dfrac{2}{-i} = \dfrac{2}{-i} \cdot \dfrac{i}{i}
= \dfrac{2i}{-i^2} = \dfrac{2i}{1} = 2i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(0;\,2)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
On compose \(s_1 : z' = (1+i)z + 2\) et \(s_2 : z'' = 2z' - 4\).
La composée \(s_2 \circ s_1\) : \(z'' = 2((1+i)z+2)-4 = (2+2i)z\).
Rapport : \(|2+2i| = 2\sqrt{2}\) ; angle : \(\dfrac{\pi}{4}\) ; centre : \(\omega = 0\)
(l'origine est fixe puisque \(b=0\)).
Soit le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(A(1)\) et de rayon \(r = 1\),
et \(s : z' = (1+i)z + 2\) de rapport \(k = \sqrt{2}\).
L'image \(s(\mathcal{C})\) est un cercle de rayon \(k \times r = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\),
centré en \(s(A)\). Or \(s(1) = (1+i)\cdot 1 + 2 = 3+i\).
Donc \(s(\mathcal{C})\) est le cercle de centre \((3;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).
Si \(a = 1\), il n'y a pas de centre fixe et la formule \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) est indéfinie : c'est une translation, pas une similitude au sens strict. Vérifiez toujours \(a \neq 1\) avant d'appliquer la formule du centre.
Figure interactive — Similitude directe \(z' = az + b\)
image \(A'B'C'\)
centre \(\Omega\)
XI.4 — Détermination pratique d'une similitude
Étant donnés deux couples de points distincts \((A, B)\) et \((A', B')\) avec \(A \neq B\) et \(A' \neq B'\), il existe une unique similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On cherche \(s : z' = az + b\). Le système \(\begin{cases} z_{A'} = az_A + b \\ z_{B'} = az_B + b \end{cases}\) donne par soustraction :
\[a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_{B} - z_{A}} \qquad \text{puis} \qquad b = z_{A'} - a\,z_A.\]Le rapport est \(k = |a| = \dfrac{A'B'}{AB}\) et l'angle \(\theta = \arg a = \left(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{A'B'}\right)\).
- Écrire \(z' = az + b\) et calculer \(a\) à partir des affixes des deux couples.
- Calculer \(k = |a|\) en mettant \(a\) sous forme trigonométrique.
- Lire \(\theta = \arg a\).
- Si \(a \neq 1\), calculer \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) et préciser le centre \(\Omega\).
- Conclure : « \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega\), de rapport \(k\), d'angle \(\theta\). »
Soient \(A(0)\), \(B(2)\), \(A'(1+i)\), \(B'(3+3i)\).
\(a = \dfrac{(3+3i)-(1+i)}{2-0} = \dfrac{2+2i}{2} = 1+i\).
\(b = z_{A'} - a \cdot 0 = 1+i\).
Rapport : \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) ; angle : \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{1+i}{1-(1+i)} = \dfrac{1+i}{-i}
= \dfrac{(1+i) \cdot i}{-i \cdot i} = \dfrac{i-1}{1} = -1+i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1;\,1)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
Après avoir trouvé \(a\) et \(b\), vérifiez que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\) en substituant. Un calcul de contrôle évite les erreurs de signe qui font perdre des points au Bac.
XI.5 — Vers l'espace
Dans l'espace, les isométries usuelles sont les translations, les rotations autour d'un axe, les réflexions par rapport à un plan et leurs composées. Comme dans le plan, elles conservent les distances, l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, ainsi que les aires et les volumes.
Les similitudes indirectes, d'écriture \(z' = a\bar{z} + b\), sont hors programme en série C. Seules les similitudes directes \(z' = az + b\) sont exigibles au Bac.
XI.Bac — Exercice type Bac
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \((O;\,\vec{u},\,\vec{v})\), on pose \(A(0)\), \(B(4)\), \(C(4+4i)\), \(D(4i)\) les sommets d'un carré, et \(A'(0)\), \(B'(2+2i\sqrt{3})\).
Question 1. Calculer \(AB\) et \(A'B'\), puis en déduire le rapport de la similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On a \(A(0)\), \(B(4)\), donc \(AB = |4-0| = 4\).
\(A'(0)\), \(B'(2+2i\sqrt{3})\), donc
\(A'B' = |2+2i\sqrt{3}| = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\).
Donc \(k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{4}{4} = 1\) :
la similitude est une isométrie (rotation ou translation).
Question 2. Calculer \(a = \dfrac{z_{B'}-z_{A'}}{z_B - z_A}\) et identifier la nature de \(s\).
\(a = \dfrac{(2+2i\sqrt{3}) - 0}{4 - 0} = \dfrac{2+2i\sqrt{3}}{4}
= \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}\).
Donc \(|a| = 1\) (rotation) et \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).
\(b = z_{A'} - a \cdot z_A = 0 - e^{i\pi/3} \cdot 0 = 0\).
Ainsi \(s : z' = e^{i\pi/3} z\) : c'est la rotation de centre
\(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
Question 3. Déterminer l'image du carré \(ABCD\) par \(s\).
On calcule les images des quatre sommets par \(z' = e^{i\pi/3}z\) :
\(s(A) = 0 = A'\).
\(s(B) = 4e^{i\pi/3} = 4\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
= 2+2i\sqrt{3} = B'\).
\(s(C) = (4+4i)e^{i\pi/3}\). En posant \(e^{i\pi/3} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}\) :
\(s(C) = (4+4i)\cdot\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
= 2(1+i)(1+i\sqrt{3}) = 2(1+i\sqrt{3}+i-\sqrt{3})
= 2(1-\sqrt{3}) + 2i(\sqrt{3}+1)\).
\(s(D) = 4i\cdot e^{i\pi/3} = 4i\cdot\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
= 2i(1+i\sqrt{3}) = 2i - 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}+2i\).
L'image du carré est le quadrilatère \(A'B'C''D''\) dont les quatre sommets
sont les affixes calculées ci-dessus.
Question 4. Montrer que le triangle image \(OAB\) est équilatéral.
Notons que \(A' = A = O\) (point fixe de la rotation), donc le triangle « \(OA'B'\) » est dégénéré au sens littéral. Reformulation correcte : le triangle \(OAB\) a pour image \(OA'B'\) avec \(OA = OB = A'B' = 4\) et \(\widehat{A'OB'} = \dfrac{\pi}{3}\). Puisque \(OA' = OA = 4\), \(OB' = OB = 4\) (isométrie) et l'angle au sommet vaut \(\dfrac{\pi}{3}\), le triangle \(OAB\) image est équilatéral (trois côtés égaux à 4).
Question 5. La similitude \(s\) est-elle une similitude directe au sens strict ou un cas particulier ? Justifier.
\(s : z' = e^{i\pi/3}z\) a \(a = e^{i\pi/3} \neq 1\) et \(|a| = 1\). C'est un cas particulier de similitude directe où \(k = 1\) : autrement dit une rotation. Toute rotation est une similitude directe de rapport 1, mais on ne parle généralement de « similitude stricte » que pour \(k \neq 1\). Ici la similitude est en réalité une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
Déplacements (translations, rotations) conservent les angles orientés. Antidéplacements (réflexions, symétries glissées) les renversent. Composée de 2 réflexions d'axes parallèles = translation ; d'axes sécants en O = rotation.
Translation : \(z' = z + b\).
Rotation de centre \(\omega\) : \(z' - \omega = e^{i\theta}(z-\omega)\).
Homothétie de centre \(\omega\) : \(z' - \omega = k(z-\omega)\).
Réflexion \((Ox)\) : \(z' = \bar{z}\).
Rapport : \(k = |a|\). Angle : \(\theta = \arg a\).
Centre (\(a \neq 1\)) : \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\).
Si \(a = 1\) : translation de vecteur \(b\).
Longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\).
\(a = \dfrac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A}\), puis \(b = z_{A'} - az_A\).
Toujours vérifier \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
Courbes planes : paramétrées et coniques
XII.1 — Courbes paramétrées
On appelle courbe paramétrée l'ensemble des points \(M(t)\) de coordonnées \(\bigl(x(t)\,;\,y(t)\bigr)\) lorsque \(t\) décrit un intervalle \(I\), où \(x\) et \(y\) sont des fonctions dérivables sur \(I\). Le paramètre \(t\) peut représenter le temps, un angle, ou toute autre variable continue.
Le vecteur dérivé en \(t\) est défini par \(\vec{V}(t)\bigl(x'(t)\,;\,y'(t)\bigr)\). Lorsque \(\vec{V}(t)\neq\vec{0}\), ce vecteur dirige la tangente à la courbe au point \(M(t)\). Si \(\vec{V}(t)=\vec{0}\), on parle de point stationnaire et l'on ne peut pas conclure directement sur la direction de la tangente.
Au point \(M(t_0)\) :
- Si \(y'(t_0) = 0\) et \(x'(t_0)\neq 0\) : la tangente est horizontale.
- Si \(x'(t_0) = 0\) et \(y'(t_0)\neq 0\) : la tangente est verticale.
- Si \(x'(t_0) = y'(t_0) = 0\) : on ne peut pas conclure sans étude plus fine.
La pente de la tangente vaut \(\dfrac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\) lorsque \(x'(t_0)\neq 0\), et l'équation de la tangente en \(M(t_0)\) s'écrit :
\[y - y(t_0) = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,\bigl(x - x(t_0)\bigr).\]La démarche se déroule en quatre étapes successives, qu'on applique dans cet ordre.
Étape 1 — Domaine d'étude. On cherche la plus petite période commune à \(x\) et \(y\) (si elles sont périodiques), ou on note les symétries (\(x(-t)=x(t)\), \(y(-t)=-y(t)\) indique une symétrie par rapport à l'axe \((Ox)\)) pour réduire l'intervalle d'étude.
Étape 2 — Tableau de variations conjoint. On calcule \(x'(t)\) et \(y'(t)\), puis on dresse un tableau faisant apparaître les signes de ces deux dérivées sur chaque sous-intervalle. Cela permet d'anticiper le sens de déplacement de \(M(t)\) dans le plan.
Étape 3 — Points remarquables. On résout \(x'(t)=0\) (tangente verticale) et \(y'(t)=0\) (tangente horizontale), et on calcule les coordonnées des points correspondants. On cherche aussi les valeurs de bord de l'intervalle.
Étape 4 — Tracé. On place les points obtenus et on relie en respectant le sens de parcours indiqué par les variations de \(x\) et \(y\), et les directions tangentes aux points remarquables.
Soit \(x(t)=t^2\), \(y(t)=2t\), \(t\in\mathbb{R}\). En posant \(t=\dfrac{y}{2}\), on substitue dans \(x\) : \(x = \left(\dfrac{y}{2}\right)^2 = \dfrac{y^2}{4}\), soit \(y^2 = 4x\). La courbe est donc une parabole d'axe focal \((Ox)\) et de paramètre \(p=2\) (voir §2).
Le vecteur dérivé est \(\vec{V}(t)(2t\,;\,2)\). Il ne s'annule jamais car sa deuxième composante vaut \(2\neq 0\). En \(t=0\), on obtient \(\vec{V}(0)(0\,;\,2)\), vecteur vertical : la tangente en \(M(0)=(0,0)\) est donc l'axe \((Oy)\), ce qui correspond bien au sommet de la parabole.
La cycloïde est la trajectoire d'un point sur un cercle de rayon \(r\) qui roule sur une droite : \(x(t)=r(t-\sin t)\), \(y(t)=r(1-\cos t)\). On a \(x'(t)=r(1-\cos t)\) et \(y'(t)=r\sin t\). Lorsque \(t=2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)), les deux composantes s'annulent simultanément : ce sont les points de rebroussement de la cycloïde, là où le point de contact avec le sol est immobile instantanément.
Éliminer le paramètre donne l'équation cartésienne du support de la courbe, mais on perd alors l'information sur le sens de parcours et les éventuels retours en arrière. Ne jamais oublier de préciser dans quel sens \(M(t)\) décrit la courbe lorsque \(t\) croît.
Figure 1 — Courbe paramétrée et vecteur dérivé (déplacez le curseur)
Vecteur dérivé \(\vec{V}(t)\)
Tangente en \(M(t)\)
XII.2 — Coniques : foyer, directrice et excentricité
Soient \(F\) un point fixe appelé foyer, \(\mathcal{D}\) une droite fixe ne passant pas par \(F\) appelée directrice, et \(e>0\) un réel appelé excentricité. La conique de foyer \(F\), de directrice \(\mathcal{D}\) et d'excentricité \(e\) est l'ensemble des points \(M\) du plan vérifiant :
\[\frac{MF}{d(M,\mathcal{D})} = e,\]où \(d(M,\mathcal{D})\) désigne la distance de \(M\) à la droite \(\mathcal{D}\) (soit \(MH\) avec \(H\) le pied de la perpendiculaire abaissée de \(M\) sur \(\mathcal{D}\)).
| Excentricité | Nature de la conique | Nombre de branches |
|---|---|---|
| \(e = 1\) | Parabole | 1 |
| \(0 < e < 1\) | Ellipse (cercle si \(e=0\)) | 1 (courbe fermée) |
| \(e > 1\) | Hyperbole | 2 |
Plus \(e\) est proche de \(0\), plus l'ellipse ressemble à un cercle. Plus \(e\) est grand, plus les deux branches de l'hyperbole s'écartent.
La définition bifocale (\(MF+MF'=2a\) pour l'ellipse, \(|MF-MF'|=2a\) pour l'hyperbole) peut être rencontrée dans des problèmes, mais n'est pas exigible comme point de départ au baccalauréat. On raisonne toujours à partir de la définition foyer-directrice.
Figure 2 — Conique : faites varier l'excentricité
Foyer \(F\)
Directrice \(\mathcal{D}\)
XII.3 — La parabole
Dans un repère orthonormé dont l'origine est le sommet de la parabole et dont l'axe \((Ox)\) est l'axe focal, avec \(p>0\) :
\[y^2 = 2px,\qquad F\!\left(\frac{p}{2}\,;\,0\right),\qquad \mathcal{D}:\;x = -\frac{p}{2}.\]La parabole est symétrique par rapport à \((Ox)\). Le réel \(p\) est le paramètre de la parabole : il mesure la distance du foyer à la directrice (on a bien \(OF = p/2\) et \(d(O,\mathcal{D})=p/2\), soit \(OF = d(O,\mathcal{D})\)). L'excentricité vaut \(e=1\) par définition.
À partir de l'équation \(y^2 = 2px\), on lit directement \(2p\) comme coefficient de \(x\), ce qui donne \(p\). Le foyer est en \(\bigl(\tfrac{p}{2},0\bigr)\) et la directrice est la droite verticale \(x=-\tfrac{p}{2}\). Si l'équation est de la forme \(x^2=2py\), les rôles de \(x\) et \(y\) s'échangent (axe focal vertical).
\(y^2 = 4x\) : on lit \(2p=4\), donc \(p=2\). Foyer \(F(1\,;0)\), directrice \(x=-1\), sommet \(O(0,0)\). C'est exactement la courbe paramétrée de l'exemple 1 du §1.
\(x^2 = 6y\) : ici l'axe focal est \((Oy)\) (rôles de \(x\) et \(y\) échangés). On lit \(2p=6\), donc \(p=3\). Foyer \(F(0\,;\tfrac{3}{2})\), directrice \(y=-\tfrac{3}{2}\), sommet \(O(0,0)\).
On cherche l'équation de la parabole de sommet \(O\), d'axe focal \((Ox)\), dont le foyer est \(F(3\,;0)\). On a \(\tfrac{p}{2}=3\), donc \(p=6\). L'équation est \(y^2 = 12x\).
La formule \(y^2=2px\) avec \(p>0\) place la parabole à droite de l'axe \((Oy)\). Si l'on écrit \(y^2=-2px\) (\(p>0\)), la parabole est ouverte vers la gauche. Ne pas confondre les deux cas lors d'une lecture d'équation.
Figure 3 — Parabole \(y^2=2px\) — variez le paramètre \(p\)
Foyer \(F\)
Directrice
XII.4 — L'ellipse
L'ellipse admet deux foyers \(F(c\,;0)\) et \(F'(-c\,;0)\), deux directrices \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), deux axes de symétrie \((Ox)\) et \((Oy)\). Les sommets sont \((\pm a\,;0)\) et \((0\,;\pm b)\).
Plus \(e\) est petit, plus l'ellipse est proche d'un cercle (pour \(e=0\), \(c=0\) et \(a=b\) : c'est un cercle).
Vérification : \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\cos^2 t+\sin^2 t=1\). Le point \(M(t)\) parcourt l'ellipse dans le sens trigonométrique lorsque \(t\) croît de \(0\) à \(2\pi\). Ce paramétrage est le seul exigible au programme.
On met l'équation sous la forme \(\dfrac{x^2}{A}+\dfrac{y^2}{B}=1\) avec \(A,B>0\). Alors \(a=\sqrt{A}\) et \(b=\sqrt{B}\) (avec \(a=\max(\sqrt{A},\sqrt{B})\) pour l'axe focal), \(c=\sqrt{a^2-b^2}\), \(e=\tfrac{c}{a}\).
\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) : \(a=3\), \(b=2\), \(c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\approx 2{,}24\), \(e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\approx 0{,}75\). Foyers \((\pm\sqrt{5}\,;0)\), directrices \(x=\pm\dfrac{9}{\sqrt{5}}=\pm\dfrac{9\sqrt{5}}{5}\).
On cherche l'ellipse de foyers \(F(\pm 2\,;0)\) et passant par le sommet \((0\,;3)\). On a \(c=2\) et \(b=3\), donc \(a^2=b^2+c^2=9+4=13\). L'équation est \(\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{9}=1\).
L'axe focal est toujours celui qui correspond au plus grand dénominateur. Si \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\), alors \(a^2=16\) et l'axe focal est \((Oy)\), non \((Ox)\). Les foyers sont \((0\,;\pm\sqrt{12})\) et \(c=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}\).
Figure 4 — Ellipse : variez \(a\) et \(b\)
Foyers \(F,F'\)
Directrices
Point \(M(t)\)
XII.5 — L'hyperbole
L'hyperbole a deux foyers \((\pm c\,;0)\), deux sommets \((\pm a\,;0)\) et deux branches symétriques par rapport à \((Oy)\). Elle possède deux asymptotes :
\[y=\frac{b}{a}x\qquad\text{et}\qquad y=-\frac{b}{a}x.\]Les asymptotes ne font pas partie de la courbe, mais chaque branche s'en rapproche indéfiniment sans jamais les atteindre.
Pour reconnaître et caractériser une conique dont l'équation est donnée, on procède en trois étapes.
Étape 1 — Mise sous forme réduite. On met l'équation sous la forme \(\dfrac{x^2}{A}\pm\dfrac{y^2}{B}=1\) ou sous la forme \(y^2=kx\) par des regroupements, factorisations et mises au même dénominateur.
Étape 2 — Identification. Si les signes sont \(+/+\) : ellipse (cercle si \(A=B\)). Si les signes sont \(+/-\) ou \(-/+\) : hyperbole. Si un seul carré apparaît : parabole.
Étape 3 — Calcul des éléments. On en déduit \(a\), \(b\), puis \(c\), \(e\), les foyers, les sommets, les directrices. Pour l'hyperbole, on note en plus les asymptotes.
\(\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\) : \(a=2\), \(b=1\), \(c=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\), \(e=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}12\). Foyers \((\pm\sqrt{5}\,;0)\), sommets \((\pm 2\,;0)\), asymptotes \(y=\pm\dfrac{x}{2}\).
Lorsque \(a=b\), on parle d'hyperbole équilatère. Son équation réduite est \(x^2-y^2=a^2\) et ses asymptotes sont \(y=\pm x\) (perpendiculaires). L'hyperbole \(xy=k\) (\(k\neq 0\)) est aussi une hyperbole équilatère, dont les axes de symétrie sont les droites \(y=x\) et \(y=-x\) (c'est la représentation graphique d'une fonction inverse).
Les asymptotes sont des droites que la courbe approche sans les couper (à grande distance). Cependant, une hyperbole peut couper ses asymptotes si celles-ci ne sont pas calculées depuis la forme réduite — cela arrive dans le cas d'une hyperbole translatée. Il faut toujours vérifier la forme réduite avant de conclure.
Figure 5 — Hyperbole : variez \(a\) et \(b\)
Foyers
Asymptotes
XII.Bac — Exercice type Bac
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par \(x(t)=\cos^2 t\) et \(y(t)=\sin t\cos t\) pour \(t\in[0\,;\pi[\). On note \(\mathcal{E}\) l'ellipse d'équation \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1}=1\).
Question 1. Montrer que \(\mathcal{C}\) admet pour équation cartésienne \(\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+y^2=\tfrac{1}{4}\).
On remarque que \(x(t)=\cos^2 t=\dfrac{1+\cos(2t)}{2}\) et \(y(t)=\sin t\cos t=\dfrac{\sin(2t)}{2}\). Posons \(u=\cos(2t)\) et \(v=\sin(2t)\), de sorte que \(x=\dfrac{1+u}{2}\) et \(y=\dfrac{v}{2}\). Alors \(x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{u}{2}\) et \(y=\dfrac{v}{2}\), d'où \(\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{u^2+v^2}{4}=\dfrac{\cos^2(2t)+\sin^2(2t)}{4}=\dfrac{1}{4}\). Ceci est vérifié pour tout \(t\), donc \(\mathcal{C}\) est bien incluse dans ce cercle.
Question 2. Calculer le vecteur dérivé \(\vec{V}(t)\) et préciser les valeurs de \(t\) où la tangente est horizontale.
\(x'(t)=-2\sin t\cos t=-\sin(2t)\) et \(y'(t)=\cos^2 t-\sin^2 t=\cos(2t)\). Ainsi \(\vec{V}(t)\bigl(-\sin(2t)\,;\,\cos(2t)\bigr)\). Ce vecteur est nul seulement si \(\sin(2t)=0\) et \(\cos(2t)=0\), ce qui est impossible puisque \(\sin^2(2t)+\cos^2(2t)=1\). La tangente est horizontale lorsque \(y'(t)=\cos(2t)=0\), i.e. \(2t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), soit \(t=\dfrac{\pi}{4}\) sur \([0\,;\pi[\). En ce point : \(M\!\left(\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2}\right)\).
Question 3. Identifier la conique \(\mathcal{E}\) et donner ses foyers, excentricité et directrices.
L'équation \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1}=1\) est celle d'une ellipse avec \(a^2=4\), \(b^2=1\), donc \(a=2\), \(b=1\). L'axe focal est \((Ox)\) (grand dénominateur). \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\). Excentricité : \(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87\). Foyers : \(F(\sqrt{3}\,;0)\) et \(F'(-\sqrt{3}\,;0)\). Directrices : \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}=\pm\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\pm\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\).
Question 4. Donner le paramétrage de \(\mathcal{E}\) et calculer le vecteur dérivé correspondant en \(t=\dfrac{\pi}{3}\).
Le paramétrage canonique de \(\mathcal{E}\) est \(\begin{cases}x(t)=2\cos t\\y(t)=\sin t\end{cases}\), \(t\in[0\,;2\pi[\). Les dérivées sont \(x'(t)=-2\sin t\) et \(y'(t)=\cos t\). En \(t=\dfrac{\pi}{3}\) : \(x'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}\) et \(y'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\). Vecteur dérivé : \(\vec{V}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\!\left(-\sqrt{3}\,;\,\tfrac{1}{2}\right)\). Le point de contact est \(M\!\left(2\cdot\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=M\!\left(1\,;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
Question 5. Vérifier la propriété foyer-directrice pour le point \(M(2\,;0)\) sur \(\mathcal{E}\).
Le point \(M(2\,;0)\) est le sommet droit de \(\mathcal{E}\). Distance au foyer \(F(\sqrt{3}\,;0)\) : \(MF=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}\). Distance à la directrice \(x=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\) : \(d(M,\mathcal{D})=\left|\dfrac{4}{\sqrt{3}}-2\right|=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}\). Rapport : \(\dfrac{MF}{d(M,\mathcal{D})}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=e\). La propriété est bien vérifiée.
Le vecteur dérivé \(\vec{V}(t)\bigl(x'(t)\,;\,y'(t)\bigr)\) dirige la tangente lorsqu'il est non nul. Tangente horizontale : \(y'(t)=0,\,x'(t)\neq 0\). Tangente verticale : \(x'(t)=0,\,y'(t)\neq 0\).
Une conique est l'ensemble des points \(M\) vérifiant \(\dfrac{MF}{d(M,\mathcal{D})}=e\). Parabole : \(e=1\). Ellipse : \(e<1\). Hyperbole : \(e>1\).
\(y^2=2px\) ; foyer \(\left(\tfrac{p}{2}\,;0\right)\) ; directrice \(x=-\tfrac{p}{2}\) ; axe \((Ox)\) ; sommet \(O\).
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) (\(a>b>0\)) ; \(c^2=a^2-b^2\) ; \(e=\tfrac{c}{a}<1\) ; paramétrage : \((a\cos t\,;\,b\sin t)\).
\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) ; \(c^2=a^2+b^2\) ; \(e=\tfrac{c}{a}>1\) ; asymptotes \(y=\pm\tfrac{b}{a}x\).
Forme réduite : \(+/+\) ellipse, \(+/-\) hyperbole, un seul carré parabole. Axe focal = côté du plus grand dénominateur.