Équations différentielles, Suites & Calcul intégral
Résolution des équations différentielles du premier et du second ordre, étude des suites numériques et maîtrise du calcul intégral — trois piliers de l'analyse au programme de Terminale C.
Équations différentielles
VII.1 — Vocabulaire et définitions
Une équation différentielle est une relation entre une fonction inconnue \(y\), définie sur un intervalle \(I\), et une ou plusieurs de ses dérivées successives. L'ordre de l'équation est l'ordre de la dérivée la plus élevée qui y apparaît.
Résoudre l'équation sur \(I\) signifie déterminer l'ensemble de toutes les fonctions dérivables sur \(I\) qui satisfont cette relation : on les appelle les solutions de l'équation. L'ensemble des solutions constitue en général une famille à un ou deux paramètres réels, selon l'ordre de l'équation.
Une condition initiale (ou condition de Cauchy) fixe la valeur de \(y\) — et éventuellement de ses dérivées — en un point particulier \(x_{0}\). Elle sélectionne, parmi toute la famille, une solution unique : la solution particulière associée à ces données.
Les trois équations suivantes illustrent les trois grandes familles du programme.
| Équation | Ordre | Type |
|---|---|---|
| \(y' + 2y = 0\) | 1 | Homogène, 1er ordre |
| \(y'' - 3y' + 2y = 0\) | 2 | Homogène, 2e ordre, \(\Delta > 0\) |
| \(y'' + 4y = 0\) | 2 | Oscillatoire, \(\Delta < 0\) |
| \(y' - 2y = e^{x}\) | 1 | 1er ordre avec second membre |
Pour toutes les équations du programme (linéaires à coefficients constants), on admet que pour toute condition initiale \(y(x_{0}) = y_{0}\) (et \(y'(x_{0}) = y'_{0}\) pour le second ordre), il existe une unique solution vérifiant ces données. Ce résultat justifie qu'il suffit d'exhiber la forme générale et d'identifier ses paramètres.
VII.2 — Équation du premier ordre \(y' + ay = 0\)
Soit \(a \in \mathbb{R}\). Les solutions de \(y' + ay = 0\) sur \(\mathbb{R}\) sont exactement les fonctions de la forme : \[ y(x) = C\,e^{-ax}, \qquad C \in \mathbb{R}. \] Pour toute condition initiale \(y(x_{0}) = y_{0}\), la constante est \(C = y_{0}\,e^{ax_{0}}\), ce qui fournit l'unique solution particulière \(y(x) = y_{0}\,e^{-a(x - x_{0})}\).
- Identifier \(a\) dans \(y' + ay = 0\). (Si l'équation est \(y' = ky\), poser \(a = -k\).)
- Écrire immédiatement : \(y = Ce^{-ax}\), \(C \in \mathbb{R}\).
- Si une condition initiale \(y(x_{0}) = y_{0}\) est donnée, substituer : \(y_{0} = Ce^{-ax_{0}}\), d'où \(C = y_{0}\,e^{ax_{0}}\).
- Conclure en écrivant explicitement la solution particulière.
Résoudre \(y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 3\).
Ici \(a = 2\), donc la solution générale est \(y = Ce^{-2x}\). La condition initiale donne \(3 = C\,e^{0} = C\), d'où \(C = 3\). \[ y(x) = 3\,e^{-2x}. \] La courbe part du point \((0, 3)\) et décroît vers zéro quand \(x \to +\infty\).
On représente ci-dessous plusieurs solutions \(y = Ce^{-2x}\) pour différentes valeurs de \(C\). Faites varier le curseur pour observer comment la condition initiale sélectionne une courbe unique parmi la famille.
Famille de solutions de \(y' + 2y = 0\) — curseur \(C\)
Autres membres
Déplacez le curseur pour changer \(C\)
Chaque valeur de \(C\) correspond à une solution distincte. La condition initiale \(y(x_0) = y_0\) fixe \(C\) et sélectionne une unique courbe.
Le nombre \(N(t)\) de noyaux radioactifs satisfait \(N'(t) = -\lambda\,N(t)\), équation de la forme \(N' + \lambda N = 0\), d'où : \[ N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda t}, \] où \(N_{0} = N(0)\) est la quantité initiale. La demi-vie \(T_{1/2}\) est le temps au bout duquel la moitié des noyaux s'est désintégrée : \[ N_{0}\,e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{N_{0}}{2} \;\Longrightarrow\; T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}. \] Le carbone-14 a \(\lambda \approx 1{,}21 \times 10^{-4}\) an\(^{-1}\), soit \(T_{1/2} \approx 5730\) ans — donnée utilisée en datation archéologique.
Si l'équation est écrite \(y' = ky\) (signe positif), il ne faut pas conclure hâtivement à \(y = Ce^{kx}\) « avec \(a = k\) ». La forme standard est \(y' + ay = 0\), donc ici \(a = -k\) et la solution est bien \(y = Ce^{kx}\). Vérifier systématiquement en substituant dans l'équation d'origine.
VII.3 — Second ordre homogène — \(\Delta \ge 0\)
À l'équation \(y'' + ay' + by = 0\) (\(a, b \in \mathbb{R}\)) on associe le polynôme caractéristique \(r^{2} + ar + b\) et l'équation : \[ r^{2} + ar + b = 0, \quad \Delta = a^{2} - 4b. \] La nature des racines détermine entièrement la forme de la solution générale.
Les solutions de \(y'' + ay' + by = 0\) sur \(\mathbb{R}\) sont :
\[ \Delta > 0 : \quad y = A\,e^{r_{1}x} + B\,e^{r_{2}x}, \quad r_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2}. \] \[ \Delta = 0 : \quad y = (Ax + B)\,e^{r_{0}x}, \quad r_{0} = -\frac{a}{2}. \]Dans les deux cas, \(A, B \in \mathbb{R}\) sont déterminés par les deux conditions initiales.
- Lire \(a\) et \(b\), calculer \(\Delta = a^{2} - 4b\).
- Si \(\Delta > 0\) : calculer \(r_{1}\) et \(r_{2}\) ; écrire \(y = Ae^{r_{1}x} + Be^{r_{2}x}\).
Si \(\Delta = 0\) : calculer \(r_{0} = -a/2\) ; écrire \(y = (Ax + B)e^{r_{0}x}\). - Dériver \(y\) pour obtenir \(y'\), puis poser le système \(\{y(x_{0}) = y_{0},\; y'(x_{0}) = y'_{0}\}\).
- Résoudre le système \(2 \times 2\) pour trouver \(A\) et \(B\).
- Écrire la solution particulière et vérifier par substitution.
Résoudre \(y'' - 3y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 1\).
Équation caractéristique : \(r^{2} - 3r + 2 = 0\). \(\Delta = 9 - 8 = 1\), \(r_{1} = 1\), \(r_{2} = 2\). Solution générale : \(y = Ae^{x} + Be^{2x}\).
Condition \(y(0) = 0\) : \(A + B = 0\), soit \(A = -B\).
On calcule \(y' = Ae^{x} + 2Be^{2x}\).
Condition \(y'(0) = 1\) : \(A + 2B = 1\). En substituant \(A = -B\) :
\(-B + 2B = 1\), donc \(B = 1\) et \(A = -1\).
\[ y(x) = e^{2x} - e^{x}. \]
Résoudre \(y'' + 4y' + 4y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\).
Équation caractéristique : \(r^{2} + 4r + 4 = (r+2)^{2} = 0\), racine double \(r_{0} = -2\). Solution générale : \(y = (Ax + B)e^{-2x}\).
Condition \(y(0) = 1\) : \(B = 1\).
\(y' = Ae^{-2x} + (Ax + B)(-2)e^{-2x} = (A - 2B - 2Ax)e^{-2x}\).
Condition \(y'(0) = 0\) : \(A - 2B = 0\), soit \(A = 2\).
\[ y(x) = (2x + 1)\,e^{-2x}. \]
Solutions — équations du second ordre, \(\Delta \ge 0\)
Famille (\(A\) varié)
Sélectionnez un exemple dans les contrôles ci-dessous
Chaque exemple illustre une configuration de discriminant différente. La solution particulière (trait plein) est sélectionnée par les conditions initiales parmi toute la famille (traits fins).
Quand \(\Delta = 0\), la solution générale n'est pas \(Ce^{r_{0}x}\) mais \((Ax + B)e^{r_{0}x}\). Omettre le facteur \(Ax\) revient à ne disposer que d'un seul paramètre là où il en faut deux pour satisfaire les deux conditions initiales.
VII.4 — Racines complexes : \(y'' + \omega^{2}y = 0\)
Pour la Série C, le cas de racines complexes conjuguées est restreint à l'équation \(y'' + \omega^{2}y = 0\) avec \(\omega > 0\) (absence de terme en \(y'\), donc coefficient d'amortissement nul). Le cas général avec amortissement est hors programme.
Les solutions de \(y'' + \omega^{2}y = 0\) (\(\omega > 0\)) sur \(\mathbb{R}\) sont :
\[ y(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x), \qquad A, B \in \mathbb{R}. \]Cette expression se réécrit sous forme amplitude-phase :
\[ y(x) = R\cos(\omega x - \varphi), \quad R = \sqrt{A^{2}+B^{2}},\quad \tan\varphi = \frac{B}{A}. \]\(R\) est l'amplitude, \(\varphi\) la phase initiale, et \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) la période propre.
- Lire les coefficients \(A = y(0)\) et \(B = y'(0)/\omega\) depuis les conditions initiales.
- Calculer \(R = \sqrt{A^{2}+B^{2}}\).
- Déterminer \(\varphi \in [0, 2\pi[\) tel que \(\cos\varphi = A/R\) et \(\sin\varphi = B/R\) (ne pas se contenter de \(\tan\varphi = B/A\), qui ne détermine pas le quadrant).
- Conclure : \(y = R\cos(\omega x - \varphi)\).
Résoudre \(y'' + 9y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 3\).
On a \(\omega = 3\). Solution générale : \(y = A\cos 3x + B\sin 3x\).
Condition \(y(0) = 1\) : \(A = 1\).
\(y' = -3A\sin 3x + 3B\cos 3x\) ; condition \(y'(0) = 3\) : \(3B = 3\), donc \(B = 1\).
Forme amplitude-phase : \(R = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\), \(\cos\varphi = 1/\sqrt{2}\) et \(\sin\varphi = 1/\sqrt{2}\), soit \(\varphi = \pi/4\). \[ y(x) = \sqrt{2}\,\cos\!\left(3x - \tfrac{\pi}{4}\right). \]
Oscillateur \(A\cos\omega x + B\sin\omega x\) — paramètres ajustables
Enveloppe ±R
Ajustez \(\omega\), \(A\), \(B\) pour observer amplitude et période
L'amplitude \(R = \sqrt{A^2+B^2}\) est indépendante de \(\omega\). La période \(T = 2\pi/\omega\) diminue quand \(\omega\) augmente. Les enveloppes ±R délimitent la bande dans laquelle oscille la solution.
Un système masse-ressort sans frottement obéit à \(\ddot{x} + \omega^{2}x = 0\) où \(\omega = \sqrt{k/m}\) (\(k\) : raideur, \(m\) : masse). Le mouvement est sinusoïdal, de période propre \(T = 2\pi/\omega\). L'amplitude \(R\) et la phase \(\varphi\) sont entièrement déterminées par la position et la vitesse initiales. En l'absence de dissipation, le système oscille indéfiniment à une fréquence qui ne dépend que de ses paramètres intrinsèques.
Calculer \(\varphi\) à partir de la seule relation \(\tan\varphi = B/A\) ne détermine pas le bon quadrant quand \(A < 0\). Il faut toujours combiner \(\cos\varphi = A/R\) et \(\sin\varphi = B/R\) pour situer \(\varphi\) sans ambiguïté.
VII.5 — Équation avec second membre
Soit \((E)\) une équation différentielle linéaire avec second membre \(f \ne 0\), et \((H)\) l'équation homogène associée (second membre remplacé par zéro). Si \(y_{p}\) est une solution particulière quelconque de \((E)\), alors : \[ \text{Solutions de } (E) \;=\; y_{p} \;+\; \text{Solutions de } (H). \] En pratique, l'énoncé indique toujours la forme de \(y_{p}\) à chercher.
- Résoudre \((H)\) : écrire \(y_{H}\) avec ses constantes \(C\) (ou \(A, B\)).
- Chercher \(y_{p}\) sous la forme indiquée : substituer dans \((E)\) et identifier les coefficients inconnus.
- Écrire la solution générale : \(y = y_{H} + y_{p}\).
- Si des conditions initiales sont données, les appliquer à \(y\) (et \(y'\) pour le second ordre) pour fixer les constantes.
Résoudre \(y' - 2y = e^{x}\).
Homogène : \(y' - 2y = 0\), solution \(y_{H} = Ce^{2x}\).
Solution particulière : essayons \(y_{p} = ke^{x}\).
Alors \(y_{p}' = ke^{x}\), et \(ke^{x} - 2ke^{x} = -ke^{x} = e^{x}\),
d'où \(k = -1\), soit \(y_{p} = -e^{x}\).
\[ y(x) = Ce^{2x} - e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}. \]
Résoudre \(y' + y = 3\) avec \(y(0) = 1\).
Homogène : \(y_{H} = Ce^{-x}\).
Solution particulière : \(y_{p} = k\) (constante) →
\(0 + k = 3\), d'où \(k = 3\).
Solution générale : \(y = Ce^{-x} + 3\).
Condition \(y(0) = 1\) : \(C + 3 = 1\), d'où \(C = -2\).
\[ y(x) = 3 - 2e^{-x}. \]
On vérifie : \(y \to 3\) quand \(x \to +\infty\), cohérent avec l'état stationnaire.
Si la forme naturelle de \(y_{p}\) coïncide avec une solution de \((H)\), la substitution aboutit à \(0 = f(x)\), ce qui est impossible. Par exemple, pour \(y' - 2y = e^{2x}\), essayer \(y_{p} = ke^{2x}\) donne \(2ke^{2x} - 2ke^{2x} = 0 \ne e^{2x}\). L'énoncé signale ce cas et impose alors une forme modifiée : typiquement \(y_{p} = kx\,e^{2x}\) (multiplication par \(x\)).
- Toujours vérifier la solution trouvée en la substituant dans l'équation d'origine.
- Pour \(y' + ay = 0\), écrire immédiatement \(y = Ce^{-ax}\) sans passer par les étapes intermédiaires.
- En cas de racine double, ne jamais oublier le facteur \(x\) dans \((Ax+B)e^{r_0 x}\).
- Pour l'oscillateur, utiliser \(\cos\varphi = A/R\) et \(\sin\varphi = B/R\) conjointement pour trouver le bon quadrant.
- Vérifier la cohérence du comportement asymptotique (\(y \to 0\) ou \(y \to\) constante) avec le signe de \(a\).
Exercice type Bac — Étude complète
Partie A — Croissance et saturation (premier ordre)
On considère l'équation \((E_1)\) : \(y' + 0{,}5\,y = 2\) sur \(\mathbb{R}\).
Question 1. Montrer que \(y_{p} = 4\) est solution particulière de \((E_1)\).
Si \(y_p = 4\) (constante), alors \(y_p' = 0\). Substitution dans \((E_1)\) : \(0 + 0{,}5 \times 4 = 2\). C'est bien égal au second membre. Donc \(y_p = 4\) est une solution particulière.
Question 2. Résoudre l'équation homogène associée, puis écrire la solution générale de \((E_1)\).
Homogène : \(y' + 0{,}5\,y = 0\) → \(y_H = Ce^{-x/2}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Solution générale de \((E_1)\) : \(y = Ce^{-x/2} + 4\), \(C \in \mathbb{R}\).
Question 3. Déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 1\). Étudier le comportement en \(+\infty\) et interpréter.
Condition \(y(0) = 1\) : \(C + 4 = 1\), d'où \(C = -3\). \[ y(x) = 4 - 3e^{-x/2}. \] Quand \(x \to +\infty\), \(e^{-x/2} \to 0\) donc \(y \to 4\). La grandeur part de 1 et converge vers la valeur d'équilibre 4 — comportement typique d'une croissance à saturation (capacité portante).
Partie B — Oscillations libres (second ordre)
On étudie \((E_2)\) : \(y'' + 5y' + 6y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y'(0) = -4\).
Question 4. Écrire et résoudre l'équation caractéristique. En déduire la solution générale de \((E_2)\).
Équation caractéristique : \(r^{2} + 5r + 6 = 0\). \(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\). \(r_1 = -3\) et \(r_2 = -2\). \[ y = Ae^{-3x} + Be^{-2x}. \]
Question 5. Déterminer \(A\) et \(B\). Montrer que \(y(x) > 0\) pour tout \(x \ge 0\) et que \(y \to 0^{+}\).
Condition \(y(0) = 2\) : \(A + B = 2\).
\(y' = -3Ae^{-3x} - 2Be^{-2x}\) ; condition \(y'(0) = -4\) : \(-3A - 2B = -4\).
Système : \(\{A + B = 2 \;;\; 3A + 2B = 4\}\).
De la seconde : \(3A + 2(2-A) = 4\), soit \(A + 4 = 4\), d'où \(A = 0\) et \(B = 2\).
\[ y(x) = 2e^{-2x}. \]
Pour \(x \ge 0\), \(e^{-2x} > 0\) donc \(y(x) = 2e^{-2x} > 0\).
De plus, \(e^{-2x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\) → \(y \to 0^{+}\) :
retour exponentiel à l'équilibre sans oscillation (régime sur-amorti).
\(y' + ay = 0 \Rightarrow y = Ce^{-ax}\)
Condition \(y(x_0)=y_0\) : \(C = y_0\,e^{ax_0}\)
Racines \(r_1, r_2\) réelles distinctes
\(y = Ae^{r_1 x}+Be^{r_2 x}\)
Racine double \(r_0 = -a/2\)
\(y = (Ax+B)e^{r_0 x}\)
\(y = A\cos\omega x + B\sin\omega x\)
\(= R\cos(\omega x-\varphi)\), \(T=2\pi/\omega\)
\(y = y_H + y_p\)
Chercher \(y_p\) sous la forme indiquée ; attention résonance.
\(N' = -\lambda N \Rightarrow N = N_0 e^{-\lambda t}\)
Demi-vie : \(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\)
Suites numériques
VIII.1 — Généralités et raisonnement par récurrence
Une suite est dite explicite lorsque l'on dispose d'une formule directe \(u_n = f(n)\) exprimant chaque terme à partir de son rang. Elle est définie par récurrence lorsque l'on se donne un ou plusieurs termes initiaux et une relation \(u_{n+1} = f(u_n)\) permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.
Soit \(P(n)\) une propriété dépendant de l'entier \(n\). Si :
- Initialisation : la propriété \(P(n_0)\) est vraie pour un entier de départ \(n_0\) ;
- Hérédité : pour tout entier \(n \ge n_0\), si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie ;
alors \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \ge n_0\).
La rédaction suit toujours le même schéma en quatre temps : nommer la propriété à démontrer, traiter l'initialisation en vérifiant explicitement que \(P(n_0)\) est vraie, mener l'hérédité en supposant \(P(n)\) vraie et en montrant que cela implique \(P(n+1)\), puis conclure par une phrase explicite. Ne jamais sauter l'étape d'initialisation, même quand elle paraît évidente.
Montrons que \(2^n \ge n+1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Initialisation (\(n=0\)) : \(2^0 = 1\) et \(0+1 = 1\), donc \(2^0 \ge 0+1\). Vrai.
Hérédité : supposons \(2^n \ge n+1\). Alors : \[ 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \ge 2(n+1) = (n+2) + n \ge n+2. \] La propriété est vraie au rang \(n+1\).
Conclusion : par le principe de récurrence, \(2^n \ge n+1\) pour tout \(n \ge 0\).
On pose \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 2\). Montrons que \(u_n \in [0\,;\,4]\) pour tout \(n\).
Initialisation : \(u_0 = 1 \in [0\,;\,4]\). Vrai.
Hérédité : si \(0 \le u_n \le 4\), alors \(0 \le \dfrac{u_n}{2} \le 2\), d'où \(2 \le u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 2 \le 4\).
Conclusion : tous les termes de la suite appartiennent à \([0\,;\,4]\).
Beaucoup d'élèves écrivent l'hérédité en sens inverse : ils supposent \(P(n+1)\) et en déduisent \(P(n)\). C'est une erreur logique grave. On suppose toujours le rang actuel \(n\) et on en tire le rang suivant \(n+1\).
Pour choisir l'initialisation, repérez dès l'énoncé à partir de quel rang la propriété est formulée (\(n \ge 0\), \(n \ge 1\), etc.) et initialisez exactement à ce rang.
VIII.2 — Monotonie, suites majorées et minorées
La suite \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\), strictement croissante si \(u_{n+1} > u_n\). De même pour décroissante. Elle est majorée par \(M\) si \(u_n \le M\) pour tout \(n\), minorée par \(m\) si \(u_n \ge m\), et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Quatre stratégies couvrent la quasi-totalité des cas au Bac :
- Différence : calculer \(u_{n+1} - u_n\) et étudier son signe. Méthode universelle.
- Quotient : si \(u_n > 0\), comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\). Efficace pour les puissances et factorielles.
- Fonction auxiliaire : si \(u_n = f(n)\), étudier les variations de \(f\) via \(f'\).
- Récurrence : pour \(u_{n+1} = f(u_n)\), montrer la monotonie par récurrence en utilisant la borne.
Soit \(u_n = 3n - n^2\). On calcule :
\[ u_{n+1} - u_n = 3(n+1)-(n+1)^2 - (3n-n^2) = 3 - 2n - 1 = 2 - 2n. \]Ce terme est positif si \(n \le 1\), négatif si \(n \ge 2\). La suite est croissante jusqu'au rang 1, puis décroissante à partir du rang 2.
Soit \(v_n = \dfrac{2^n}{n!}\) pour \(n \ge 1\). Les termes sont positifs :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}. \]Ce rapport est inférieur à 1 dès que \(n \ge 2\). Ainsi \((v_n)\) est décroissante à partir du rang 2.
Visualisation : suite \(u_n = an^2 + bn + c\) — monotonie et bornes
courbe de \(f\)
Ajustez \(a\), \(b\), \(c\) pour modifier la suite
Les points représentent les termes \(u_0, u_1, \ldots, u_9\). La courbe en pointillés montre la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) dont la suite est la restriction aux entiers.
Vérifier le signe d'une différence sur quelques valeurs numériques ne constitue pas une démonstration. Il faut étudier le signe de l'expression générale \(u_{n+1} - u_n\) en fonction de \(n\), idéalement en factorisant.
VIII.3 — Convergence : théorèmes admis
On dit que la suite \((u_n)\) converge vers le réel \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang. On note \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\). Une suite qui ne converge vers aucun réel est dite divergente. La limite d'une suite convergente est unique.
Si \(v_n \le u_n \le w_n\) à partir d'un certain rang et si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. Une suite croissante non majorée diverge vers \(+\infty\). Ces théorèmes ne donnent pas directement la valeur de la limite ; il faut l'identifier par d'autres moyens (équation du point fixe).
Soit \(u_n = \dfrac{\sin n}{n}\). Comme \(-1 \le \sin n \le 1\), on a \(-\dfrac{1}{n} \le u_n \le \dfrac{1}{n}\). Les deux suites encadrantes tendent vers 0, donc \(u_n \to 0\).
Le théorème de la limite monotone garantit l'existence de la limite, pas sa valeur. Écrire « la limite existe, donc \(\ell = 4\) » sans résoudre \(f(x) = x\) est une erreur de logique. Les deux étapes (existence puis identification) sont indépendantes.
VIII.4 — Suites du type \(u_n = f(n)\)
Si \(u_n = f(n)\) et si \(f\) admet une limite \(\ell\) (finie ou infinie) quand \(x \to +\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\). Toutes les règles de calcul des limites de fonctions — levée des formes indéterminées, croissances comparées, limites usuelles — s'appliquent directement.
\(u_n = \dfrac{2n+1}{n+1}\). On factorise par \(n\) :
\[ u_n = \frac{n(2 + 1/n)}{n(1 + 1/n)} = \frac{2 + 1/n}{1 + 1/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{2}{1} = 2. \]
\(v_n = \dfrac{\ln n}{n} \to 0\) car \(\ln n \ll n\) quand \(n \to +\infty\).
\(w_n = n^2 e^{-n} = \dfrac{n^2}{e^n} \to 0\) car les exponentielles l'emportent
sur les puissances.
L'inégalité \(u_n \le v_n\) pour tout \(n\) n'implique pas \(\ell_1 < \ell_2\) (l'inégalité stricte peut devenir large à la limite) ; on obtient seulement \(\ell_1 \le \ell_2\).
VIII.5 — Suites récurrentes et point fixe
Si la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\) : \[ f(\ell) = \ell. \] La démarche est donc : montrer que la suite converge (théorème de la limite monotone), puis résoudre \(f(x) = x\) dans l'intervalle stable pour identifier la limite.
- Trouver un intervalle stable \(I\) : montrer que si \(u_n \in I\) alors \(f(u_n) \in I\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \in I\) : initialisation, hérédité via la stabilité.
- Étudier la monotonie : souvent via le signe de \(f(x) - x\) sur \(I\).
- Conclure : croissante bornée supérieurement → convergence.
- Identifier \(\ell\) : résoudre \(f(x) = x\) dans \(I\).
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle stable \(I\) et si \(|f'(x)| \le k < 1\) pour tout \(x \in I\), alors : \[ |u_{n+1} - \ell| = |f(u_n) - f(\ell)| \le k\,|u_n - \ell|, \qquad |u_n - \ell| \le k^n \,|u_0 - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] Cette méthode prouve simultanément la convergence et une vitesse de convergence.
On pose \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 2\).
Point fixe : \(f(\ell) = \ell \iff \dfrac{\ell}{2} + 2 = \ell \iff \ell = 4\).
Intervalle stable : si \(x \in [0\,;\,4]\), alors \(f(x) \in [2\,;\,4] \subset [0\,;\,4]\).
Monotonie : \(u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac{u_n}{2} \ge 0\) car \(u_n \le 4\) → suite croissante.
Convergence : croissante et majorée par 4 → converge. Par continuité de \(f\), la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où \(\ell = 4\).
Via l'IAF : \(f'(x) = \dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(|u_n - 4| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = \dfrac{4}{2^n} \to 0\).
Toile d'araignée — \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(f(x) = ax + b\)
\(y = x\)
toile \(u_0, u_1, \ldots\)
point fixe \(\ell\)
Ajustez les paramètres pour visualiser la convergence ou la divergence
La toile d'araignée permet de prévoir graphiquement le comportement de la suite. Depuis \((u_0, 0)\), on monte jusqu'à la courbe de \(f\), puis horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\), et ainsi de suite. Si \(|a| < 1\), la suite converge vers le point fixe \(\ell = b/(1-a)\).
Résoudre \(f(x) = x\) sans avoir préalablement prouvé la convergence est sans valeur. Si la suite diverge, un point fixe peut exister sans que la suite ne le rejoigne. On doit d'abord établir la convergence, puis identifier la limite.
Exercice type Bac — Suite récurrente (5 questions progressives)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} = \frac{u_n^{\,2} + 2}{2\,u_n}. \]
Question 1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). En déduire une conjecture sur le comportement de la suite.
Les termes semblent décroître et se rapprocher de \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Conjecture : la suite converge vers \(\sqrt{2}\).
Question 2. Déterminer les points fixes de \(f(x) = \dfrac{x^2+2}{2x}\).
On résout \(f(x) = x\) pour \(x > 0\) :
\[ \frac{x^2 + 2}{2x} = x \iff x^2 + 2 = 2x^2 \iff x^2 = 2 \iff x = \sqrt{2}. \]Question 3. Montrer par récurrence que \(u_n \ge \sqrt{2}\) pour tout \(n \ge 1\).
Initialisation (\(n=1\)) : \(u_1 = 3/2 > \sqrt{2}\). Vrai.
Hérédité : supposons \(u_n \ge \sqrt{2}\). On calcule :
\[ u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n} \ge 0. \]Le numérateur est positif ou nul, le dénominateur est positif : \(u_{n+1} \ge \sqrt{2}\).
Question 4. Montrer que la suite est décroissante à partir du rang 1.
Pour \(n \ge 1\), on a \(u_n \ge \sqrt{2} > 0\) :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2 + 2 - 2u_n^2}{2u_n} = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}. \]Comme \(u_n^2 \ge 2\), on a \(2 - u_n^2 \le 0\) et \(2u_n > 0\) : la suite est décroissante.
Question 5. Conclure sur la convergence et calculer la limite.
À partir du rang 1, la suite est décroissante et minorée par \(\sqrt{2}\). Par le théorème de la limite monotone, elle converge. Sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}. \]C'est l'algorithme de Héron, méthode de calcul numérique de \(\sqrt{2}\) connue depuis l'Antiquité. Le nombre de décimales exactes double à chaque itération.
Initialisation + hérédité dans cet ordre. On suppose \(P(n)\) et on déduit \(P(n+1)\), jamais l'inverse.
Signe de \(u_{n+1} - u_n\), quotient si \(u_n > 0\), variations de \(f\) si explicite, récurrence si récurrente.
Croissante majorée ou décroissante minorée → convergence (admis). Gendarmes : deux suites encadrantes de même limite.
Transférer les limites de fonctions. Croissances comparées : \(\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!\).
Si \((u_n)\) converge et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\). Méthode en 5 étapes.
Si \(|f'| \le k < 1\) sur l'intervalle stable : \(|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell| \to 0\).
Calcul intégral
IX.1 — Intégrale d'une fonction continue
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\), et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\). Pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), on appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) le réel : \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a).\] Ce résultat est indépendant de la primitive choisie : deux primitives ne différant que d'une constante, celle-ci s'annule dans la soustraction.
Lorsque \(f \ge 0\) sur \([a\,;b]\) avec \(a \le b\), l'intégrale \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) représente l'aire du domaine délimité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites verticales \(x = a\) et \(x = b\). Quand \(f\) prend des valeurs négatives, l'intégrale est une aire algébrique : les parties sous l'axe comptent négativement.
Trois étapes : trouver une primitive \(F\) de \(f\) ; écrire le crochet \([F(x)]_a^b\) ; calculer \(F(b) - F(a)\). Rappel utile : pour \(a \ne 0\), une primitive de \(x \mapsto f(ax+b)\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{a}F(ax+b)\). Les formes \(u'e^u\), \(u' u^\alpha\) et \(\dfrac{u'}{u}\) sont les outils de base.
On reconnaît la forme \(u' u^\alpha\) avec \(u = x^2+1\) et \(u' = 2x\) :
\[\int_{0}^{1} 2x(x^{2}+1)^{3}\,dx = \left[\frac{(x^{2}+1)^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{2^4 - 1^4}{4} = \frac{15}{4}.\]Oublier la constante multiplicative \(\dfrac{1}{a}\) lors de l'intégration d'une composée linéaire. Ainsi \(\displaystyle\int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + C\), pas \(e^{2x}\). Vérifier systématiquement en dérivant le résultat.
Aire sous \(y = \sqrt{x}\) — bornes réglables
aire \(\displaystyle\int_a^b\!\sqrt{x}\,dx\)
Ajustez \(a\) et \(b\) pour modifier l'aire intégrée
L'aire colorée correspond à la valeur de \(\displaystyle\int_a^b \sqrt{x}\,dx = \dfrac{2}{3}(b^{3/2} - a^{3/2})\). Déplacer les bornes modifie instantanément l'aire calculée.
IX.2 — Propriétés de l'intégrale
Pour calculer \(\displaystyle\int_{-1}^{2} |x|\,dx\), on remarque que \(|x| = -x\) sur \([-1\,;0]\) et \(|x| = x\) sur \([0\,;2]\). La relation de Chasles donne :
\[\int_{-1}^{2} |x|\,dx = \int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{2} x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.\]Les propriétés d'ordre exigent \(a \le b\). Si les bornes sont inversées, les inégalités se renversent. Par ailleurs, \(\displaystyle\int_{a}^{b} f = 0\) n'implique pas \(f = 0\) : il suffit que les aires positives et négatives se compensent.
Relation de Chasles — déplacer le point intermédiaire \(c\)
\(\displaystyle\int_0^c\)
\(\displaystyle\int_c^3\)
Déplacez \(c\) : la somme des deux aires reste constante
Quelle que soit la position de \(c\) dans \(]0\,;\,3[\), la somme des deux intégrales vaut toujours \(\displaystyle\int_0^3(x^2+1)\,dx = 12\). C'est le sens de la relation de Chasles.
IX.3 — Valeur moyenne et inégalité de la moyenne
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) avec \(a < b\) est le réel :
\[\mu = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.\]Géométriquement, \(\mu\) est la hauteur du rectangle de largeur \((b-a)\) qui a la même aire que la surface sous la courbe de \(f\).
Si \(m \le f(x) \le M\) pour tout \(x \in [a\,;b]\), alors :
\[m(b-a) \;\le\; \int_{a}^{b}\!f(x)\,dx \;\le\; M(b-a), \qquad\text{soit}\qquad m \;\le\; \mu \;\le\; M.\]Pour \(f(x)=e^{-x^2}\) sur \([0\,;1]\), on a \(e^{-1} \le f(x) \le 1\), donc : \[e^{-1} \;\le\; \int_{0}^{1}\!e^{-x^2}\,dx \;\le\; 1.\] Cette technique permet d'encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer exactement.
Valeur moyenne — le rectangle de même aire
aire sous la courbe
rectangle de hauteur \(\mu\)
Sélectionnez une fonction dans les contrôles
Le rectangle en or a la même aire que la surface sous la courbe. Sa hauteur est la valeur moyenne \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
IX.4 — Intégration par parties
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \([a\,;b]\) de dérivées continues, alors :
\[\int_{a}^{b}\!u'(x)\,v(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}\!u(x)\,v'(x)\,dx.\]Choisir pour \(v\) la fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, \(\ln x\)) et pour \(u'\) celle qu'on sait intégrer (exponentielle, sinus, cosinus, puissance). La nouvelle intégrale \(\displaystyle\int uv'\) doit être plus simple que l'intégrale de départ. Quand \(f(x) = \ln x\), on pose \(u' = 1\), \(v = \ln x\).
| Intégrale | \(u'\) = | \(v\) = |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\int x\,e^x\,dx\) | \(e^x\) | \(x\) |
| \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\) | \(\cos x\) | \(x\) |
| \(\displaystyle\int x^2\sin x\,dx\) | \(\sin x\) | \(x^2\) |
| \(\displaystyle\int \ln x\,dx\) | \(1\) | \(\ln x\) |
| \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\) | \(x\) | \(\ln x\) |
On pose \(u'(x) = e^x\) et \(v(x) = x\), d'où \(u(x) = e^x\) et \(v'(x) = 1\).
\[\int_{0}^{1}\!x\,e^{x}\,dx = \Big[x\,e^{x}\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\!e^{x}\,dx = e - \Big[e^{x}\Big]_{0}^{1} = e - (e-1) = 1.\]On pose \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = \ln x\), d'où \(u(x) = x\) et \(v'(x) = 1/x\).
\[\int_{1}^{e}\!\ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\!1\,dx = e - (e-1) = 1.\]Première IPP : \(u' = \sin x\), \(v = x^2\) :
\[\int_{0}^{\pi}\!x^2\sin x\,dx = \Big[-x^2\cos x\Big]_{0}^{\pi} + 2\int_{0}^{\pi}\!x\cos x\,dx = \pi^2 + 2\int_{0}^{\pi}\!x\cos x\,dx.\]Deuxième IPP pour \(\displaystyle\int_0^\pi x\cos x\,dx\) : \(u' = \cos x\), \(v = x\) :
\[\int_{0}^{\pi}\!x\cos x\,dx = \Big[x\sin x\Big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\!\sin x\,dx = 0 + \Big[\cos x\Big]_{0}^{\pi} = -2.\]Conclusion :
\[\int_{0}^{\pi}\!x^2\sin x\,dx = \pi^2 + 2\times(-2) = \pi^2 - 4.\]Toujours vérifier que la nouvelle intégrale obtenue après l'IPP est bien plus simple que l'initiale. Si ce n'est pas le cas, on a fait le mauvais choix : il faut intervertir \(u'\) et \(v\).
IX.5 — Applications : aires et volumes de révolution
Si \(f \ge g\) sur \([a\,;b]\), l'aire du domaine délimité par les deux courbes vaut \(\displaystyle\int_{a}^{b}\!\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\) u.a. Quand les courbes se croisent, repérer les points d'intersection, puis découper l'intervalle avec la relation de Chasles.
Sur \([0\,;1]\), on a \(\sqrt{x} \ge x^2\) :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{1}\!\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ \text{u.a.}\]Sur \([0\,;\pi/2]\), les deux fonctions se croisent en \(x = \pi/4\). On applique Chasles :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{\pi/4}\!(\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\!(\sin x - \cos x)\,dx = 2(\sqrt{2}-1)\ \text{u.a.}\]Le solide engendré par la rotation autour de l'axe \((Ox)\) du domaine délimité par la courbe de \(f\) (continue, positive sur \([a\,;b]\)) et l'axe des abscisses a pour volume :
\[V = \pi\int_{a}^{b}\!\bigl[f(x)\bigr]^{2}\,dx.\]On fait tourner \(f(x)=\sqrt{R^2-x^2}\) sur \([-R\,;R]\) :
\[V = \pi\int_{-R}^{R}\!\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr)\,dx = \pi\left[R^{2}x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^{3}.\]Rotation de \(f(x) = \dfrac{R}{h}x\) sur \([0\,;h]\) :
\[V_{\text{cône}} = \pi\int_{0}^{h}\!\frac{R^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{\pi R^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 h.\]Aire entre deux courbes — choix interactif
\(g\)
aire \(\int(f-g)\)
Sélectionnez un exemple dans les contrôles
La surface colorée représente l'aire algébrique entre les deux courbes. On l'obtient en intégrant la différence \(f - g\) (en valeur absolue si les courbes se croisent).
Exercice type Bac — Étude complète
On considère \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = (x+1)\,e^{-x}\).
Question 1. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
Comme \(e^{-x} > 0\), on a \(f'(x) \le 0\) sur \([0\,;+\infty[\). \(f\) est décroissante sur cet intervalle. \(f(0) = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0\).
Question 2. Montrer que \(F(x) = -(x+2)\,e^{-x}\) est une primitive de \(f\).
Question 3. Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} (x+1)\,e^{-x}\,dx\) et interpréter.
Puisque \(f \ge 0\) sur \([0\,;1]\), cette valeur représente l'aire du domaine sous la courbe, soit \(\approx 0{,}896\) u.a.
Question 4. Calculer \(\displaystyle J = \int_{0}^{1} x(x+1)\,e^{-x}\,dx\) par IPP.
On pose \(u'(x) = f(x) = (x+1)e^{-x}\) (primitive \(F(x) = -(x+2)e^{-x}\)) et \(v(x) = x\) :
\[J = \Big[x\cdot(-(x+2)e^{-x})\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = -\frac{3}{e} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx.\]Or \(\displaystyle\int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = I + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = \left(2-\frac{3}{e}\right) + \left(1-\frac{1}{e}\right) = 3 - \frac{4}{e}\). Donc :
\[J = -\frac{3}{e} + 3 - \frac{4}{e} = 3 - \frac{7}{e} \approx 0{,}425.\]Question 5. Calculer le volume \(V\) du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de \(f\) autour de \((Ox)\) sur \([0\,;1]\).
On développe \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) et on calcule par IPP successive. Le résultat est :
\[V = \frac{\pi}{4}\!\left(1 - \frac{5}{e^2}\right) \approx 0{,}648\ \text{u.v.}\]\(\displaystyle\int_a^b\!f = F(b)-F(a)\). Aire sous la courbe si \(f\ge0\) et \(a\le b\).
Linéarité, Chasles (pour tout \(c\)), positivité et croissance si \(a \le b\). \(\displaystyle\big|\int f\big|\le\int|f|\).
\(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b\!f\). Encadrée par le minimum et le maximum de \(f\).
\(\displaystyle\int u'v = [uv] - \int uv'\). Dériver ce qui se simplifie, intégrer ce qu'on connaît.
\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_a^b\!(f-g)\) avec \(f\ge g\). Chasles si les courbes se croisent.
\(V = \pi\displaystyle\int_a^b\![f(x)]^2\,dx\). Retrouver \(\frac{4}{3}\pi R^3\) et \(\frac{1}{3}\pi R^2 h\).