Analyse
Continuité · Calcul différentiel · Fonctions usuelles (ln, exp, puissances)
Continuité
Continuité
Reconnaître, prolonger et recoller des fonctions continues, et exploiter la continuité pour résoudre des équations grâce au théorème des valeurs intermédiaires.
📋 Sommaire du Chapitre
I.1 — Continuité en un point et sur un intervalle
Définition — Continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque \(f\) admet une limite en \(a\) égale à \(f(a)\) :
\(f\) est continue à droite en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)\), et continue à gauche si \(\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a)\).
Propriété — Caractérisation par les limites latérales
\(f\) est continue en \(a\) si et seulement si elle est à la fois continue à gauche et continue à droite en \(a\), c'est-à-dire :
Définition — Continuité sur un intervalle
\(f\) est continue sur un intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en tout point de \(I\). Aux bornes fermées de \(I\), la continuité s'entend comme continuité à droite (borne gauche) ou à gauche (borne droite).
💡 Lecture intuitive
Une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe « sans lever le crayon » : pas de saut, pas de trou, pas de branche qui s'envoie à l'infini à l'intérieur de l'intervalle.
I.2 — Continuité des fonctions usuelles et opérations
Propriété — Fonctions usuelles continues
Sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition :
- les fonctions polynômes (continues sur \(\mathbb{R}\)) ;
- les fonctions rationnelles (continues sur tout intervalle où le dénominateur ne s'annule pas) ;
- la fonction racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) sur \([0\,;+\infty[\) ;
- les fonctions \(\sin\), \(\cos\) sur \(\mathbb{R}\), et \(\tan\) sur tout intervalle où elle est définie ;
- les fonctions \(\ln\) (sur \(]0\,;+\infty[\)) et \(\exp\) (sur \(\mathbb{R}\)).
Théorème — Opérations sur les fonctions continues
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\), alors \(f+g\), \(f \times g\) et \(\lambda f\) (\(\lambda \in \mathbb{R}\)) sont continues sur \(I\) ; \(\dfrac{f}{g}\) est continue en tout point où \(g\) ne s'annule pas.
Si \(g\) est continue sur \(I\), à valeurs dans \(J\), et \(f\) continue sur \(J\), alors la composée \(f \circ g\) est continue sur \(I\).
📝 Conséquence pratique
Toute fonction « écrite avec des fonctions usuelles » (sommes, produits, quotients, composées) est continue sur tout intervalle où l'expression est définie. On ne discute donc la continuité que sur les points « à problème » : valeurs interdites, points de raccord d'une définition par morceaux.
I.3 — Continuité et dérivabilité
Théorème — Dérivabilité entraîne continuité
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). Par conséquent, si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\), elle est continue sur \(I\).
⚠️ La réciproque est fausse
Une fonction continue en \(a\) n'est pas nécessairement dérivable en \(a\). Exemple classique : \(x \mapsto |x|\) est continue en \(0\) mais n'y est pas dérivable (la courbe présente un point anguleux, demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(+1\)).
📝 Hiérarchie à retenir
Aucune des implications réciproques n'est vraie en général.
I.4 — Prolongement par continuité
Définition
Soit \(f\) définie sur \(I \setminus \{a\}\) (donc non définie en \(a\)). Si \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(a\), on appelle prolongement par continuité de \(f\) en \(a\) la fonction \(\tilde{f}\) définie sur \(I\) par :
La fonction \(\tilde{f}\) est alors continue en \(a\).
🛠️ Méthode — Prolonger par continuité
- Vérifier que \(a\) est bien une valeur où \(f\) n'est pas définie (souvent un quotient \(\frac{0}{0}\)).
- Lever l'indétermination (factorisation, conjugué, taux d'accroissement, croissances comparées…) pour calculer \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\).
- Si cette limite est finie et vaut \(\ell\), poser \(\tilde{f}(a) = \ell\). Sinon, le prolongement par continuité est impossible.
✏️ Exemple
Soit \(f(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Pour \(x \neq 1\) : \(f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2\).
La limite est finie : \(f\) se prolonge par continuité en \(1\) en posant \(\tilde{f}(1) = 2\). Graphiquement, on « rebouche le trou » du point \((1\,;2)\).
trou de \(f\) en \(x=1\)
valeur \(\tilde f(1)=2\)
I.5 — Recollement par continuité
Définition — Fonction définie par morceaux
Une fonction définie par deux expressions de part et d'autre d'un point \(a\) est continue en \(a\) si et seulement si les deux morceaux y prennent la même valeur limite, égale à \(f(a)\) :
🛠️ Méthode — Déterminer un paramètre de recollement
- Calculer la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x)\) et la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} f(x)\) (en utilisant la bonne expression pour chaque côté).
- Identifier \(f(a)\) (valeur imposée par la définition).
- Écrire l'égalité des trois quantités et résoudre l'équation d'inconnue le paramètre.
✏️ Exemple
Soit \(f(x) = \begin{cases} x + m & \text{si } x \le 2, \\ 3x - 4 & \text{si } x > 2, \end{cases}\) avec \(m \in \mathbb{R}\).
À gauche : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = 2 + m = f(2)\). À droite : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = 3\times 2 - 4 = 2\).
Continuité en \(2\) : \(2 + m = 2\), d'où \(m = 0\). Pour cette valeur, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
I.6 — Image d'un intervalle : TVI et théorème de la bijection
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si \(f\) est continue sur un intervalle \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que \(f(c) = k\).
En particulier, si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([a\,;b]\).
Propriété — Image d'un intervalle
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), elle réalise une bijection de \(I\) sur l'intervalle image \(f(I)\).
Théorème de la bijection (corollaire du TVI)
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\).
🛠️ Méthode — Justifier l'existence et l'unicité d'une solution
- Montrer que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) (fonctions usuelles).
- Montrer que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) (étude du signe de \(f'\)).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) (souvent \(k=0\)) est entre les deux.
- Conclure : il existe une unique solution \(\alpha \in [a\,;b]\), puis l'encadrer par balayage / dichotomie.
✏️ Exemple
Soit \(f(x) = x^{3} + x - 1\) sur \([0\,;1]\). \(f\) est continue (polynôme) et \(f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0\), donc \(f\) est strictement croissante. Or \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\).
D'après le théorème de la bijection, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;1]\). Un balayage donne \(\alpha \approx 0{,}68\).
I.7 — Énoncés admis sur les limites
Résultats admis (à savoir utiliser)
- Compatibilité avec l'ordre : si \(f(x) \le g(x)\) au voisinage de \(a\) et si les limites existent, alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) \le \lim_{x\to a} g(x)\).
- Théorème de comparaison (gendarmes) : si \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = \ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \ell\).
- Limite d'une composée : si \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b\) et \(\displaystyle\lim_{y\to b} f(y) = \ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f\big(g(x)\big) = \ell\).
- Fonction croissante majorée : une fonction croissante et majorée sur \([a\,;+\infty[\) admet une limite finie en \(+\infty\).
💡 Au Bac
Ces énoncés sont admis : on ne les démontre pas, on les cite et on les applique. Le théorème des gendarmes et la limite d'une composée sont les plus fréquemment mobilisés (limites de suites, croissances comparées).
🎯 L'essentiel pour le Bac
- Continuité en \(a\) : \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\) ; sur un intervalle = continuité en chaque point.
- Dérivable \(\Rightarrow\) continue, mais la réciproque est fausse (\(|x|\) en \(0\)).
- Prolongement par continuité : possible ssi la limite en \(a\) est finie ; on pose alors \(\tilde f(a) = \ell\).
- Recollement : égaler limite à gauche, limite à droite et \(f(a)\) pour trouver le paramètre.
- TVI + stricte monotonie \(\Rightarrow\) existence et unicité de la solution de \(f(x)=k\) : l'outil-clé de très nombreux exercices.
Calcul différentiel
Calcul différentiel
Dériver toutes les fonctions composées du programme, encadrer des accroissements grâce à l'inégalité des accroissements finis et remonter des dérivées vers les primitives.
📋 Sommaire du Chapitre
II.1 — Dérivabilité : dérivée à droite, dérivée à gauche
Définition — Nombre dérivé
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie en \(a\) :
La courbe de \(f\) admet alors en son point d'abscisse \(a\) une tangente d'équation \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
Définition — Dérivées à droite et à gauche
\(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie ; cette limite se note \(f'_{d}(a)\). On définit de même la dérivée à gauche \(f'_{g}(a)\).
Propriété
\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f\) est dérivable à droite et à gauche en \(a\) avec \(f'_{d}(a) = f'_{g}(a)\).
Si \(f'_{d}(a)\) et \(f'_{g}(a)\) existent, sont finies mais différentes, la courbe présente un point anguleux en \(a\) : elle admet deux demi-tangentes de pentes \(f'_{g}(a)\) et \(f'_{d}(a)\).
Exemple — Point anguleux
Soit \(f(x) = |x^{2}-1|\). Au voisinage de \(1\) : à gauche (sur \(]-1\,;1[\)), \(f(x) = 1-x^{2}\) donc \(f'_{g}(1) = -2\) ; à droite (sur \(]1\,;+\infty[\)), \(f(x) = x^{2}-1\) donc \(f'_{d}(1) = 2\).
\(f'_{g}(1) \neq f'_{d}(1)\) : \(f\) n'est pas dérivable en \(1\), la courbe y présente un point anguleux avec deux demi-tangentes de pentes \(-2\) et \(2\). Noter que \(f\) est bien continue en \(1\) (chapitre I : la réciproque de « dérivable \(\Rightarrow\) continue » est fausse).
demi-tangente à gauche (pente \(-2\))
demi-tangente à droite (pente \(+2\))
II.2 — Dérivées successives
Définition
Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si sa dérivée \(f'\) est elle-même dérivable sur \(I\), la dérivée de \(f'\) est la dérivée seconde \(f''\). On définit de proche en proche la dérivée nième \(f^{(n)}\) : \(f^{(0)} = f\), \(f^{(1)} = f'\), et \(f^{(n+1)} = \left(f^{(n)}\right)'\).
Exemple
Pour \(f(x) = \sin x\) : \(f'(x) = \cos x\), \(f''(x) = -\sin x\), \(f^{(3)}(x) = -\cos x\), \(f^{(4)}(x) = \sin x\). Les dérivées de \(\sin\) se répètent avec une période de \(4\).
II.3 — Dérivation des fonctions composées
Théorème — Dérivée d'une composée
Si \(u\) est dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(J\), et si \(f\) est dérivable sur \(J\), alors \(f \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :
Formules à connaître
Pour \(u\) dérivable sur \(I\) :
Exemple
\(f(x) = (2x+1)^{5}\) : \(f'(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^{4} = 10(2x+1)^{4}\).
\(g(x) = \ln(x^{2}+1)\) : \(g'(x) = \dfrac{2x}{x^{2}+1}\) (ici \(u = x^{2}+1 > 0\) sur \(\mathbb{R}\)).
\(h(x) = e^{-x^{2}}\) : \(h'(x) = -2x\,e^{-x^{2}}\).
Réflexe de rédaction
Identifier d'abord la fonction intérieure \(u\), écrire \(u'\), puis appliquer la formule : la quasi-totalité des erreurs de dérivation vient d'un \(u'\) oublié.
II.4 — Inégalité des accroissements finis
Théorème — Inégalité des accroissements finis (forme majoration)
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\). S'il existe un réel \(M\) tel que \(|f'(t)| \le M\) pour tout \(t \in I\), alors :
Théorème — Forme encadrement
Soit \(f\) dérivable sur \([a\,;b]\) (\(a < b\)). Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in [a\,;b]\), alors :
Interprétation : la pente de la corde entre \(A(a\,;f(a))\) et \(B(b\,;f(b))\) est comprise entre les pentes extrêmes des tangentes.
Exemple 1 — Valeur approchée de \(\sqrt{101}\)
Soit \(f(t) = \sqrt{t}\) sur \([100\,;101]\), \(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\). Pour \(t \in [100\,;101] \subset [100\,;121]\), on a \(10 \le \sqrt{t} \le 11\), donc \(\dfrac{1}{22} \le f'(t) \le \dfrac{1}{20}\).
L'inégalité des accroissements finis donne \(\dfrac{1}{22} \le \sqrt{101} - 10 \le \dfrac{1}{20}\), soit :
Exemple 2 — Une inégalité classique
Pour \(f(t) = \sin t\) : \(|f'(t)| = |\cos t| \le 1\) sur \(\mathbb{R}\), donc pour tous réels \(a, b\) : \(|\sin b - \sin a| \le |b - a|\). En particulier (avec \(a = 0\)) : \(|\sin x| \le |x|\) pour tout réel \(x\).
Cadre du programme
Seule l'inégalité des accroissements finis est au programme. Le théorème de Rolle et l'égalité \(f(b)-f(a) = (b-a)f'(c)\) sont hors programme en série C.
II.5 — Primitives d'une fonction continue
Définition
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\).
Théorème d'existence (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Propriétés
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions \(F + C\), \(C \in \mathbb{R}\) : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Pour tout \(x_{0} \in I\) et tout réel \(y_{0}\), il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant \(F(x_{0}) = y_{0}\).
Primitives usuelles
Méthode — Lecture inverse des dérivées composées
Reconnaître dans \(f\) l'une des formes suivantes (quitte à ajuster une constante multiplicative) :
Exemple
\(f(x) = 2x\,e^{x^{2}}\) est de la forme \(u'e^{u}\) avec \(u = x^{2}\) : les primitives sont \(F(x) = e^{x^{2}} + C\).
\(g(x) = \dfrac{x}{x^{2}+1} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+1}\) est de la forme \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u'}{u}\) : \(G(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C\). La primitive vérifiant \(G(0) = 1\) est \(G(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + 1\).
L'essentiel pour le Bac
- Dérivable en \(a\) \(\iff\) dérivées à droite et à gauche égales ; sinon, si elles sont finies et distinctes : point anguleux, deux demi-tangentes.
- Formules composées : \((u^{n})' = n u' u^{n-1}\), \((e^{u})' = u'e^{u}\), \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\), \((u^{\alpha})' = \alpha u' u^{\alpha-1}\) — ne jamais oublier le facteur \(u'\).
- Inégalité des accroissements finis : \(|f'| \le M \Rightarrow |f(b)-f(a)| \le M|b-a|\) ; forme encadrement pour les valeurs approchées.
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; deux primitives diffèrent d'une constante ; unicité avec une condition \(F(x_{0}) = y_{0}\).
- Primitives : reconnaître \(u'u^{n}\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'e^{u}\), \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) et ajuster la constante multiplicative.
Fonctions usuelles : ln, exponentielle, puissances
Fonctions usuelles
Logarithme népérien, exponentielle, puissances réelles et racines nièmes : leurs propriétés, leurs courbes et les croissances comparées qui gouvernent presque toutes les limites du Bac.
📋 Sommaire du Chapitre
III.1 — La fonction logarithme népérien
Définition
La fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) est continue sur \(]0\,;+\infty[\) : elle y admet donc des primitives (chapitre II). La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) qui s'annule en \(1\).
Conséquences immédiates : \(\ln 1 = 0\), \(\ln\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\), donc \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
Théorème — Propriété fondamentale et conséquences
Pour tous réels \(a > 0\), \(b > 0\) et tout \(n \in \mathbb{Z}\) :
Limites et nombre e
Le nombre e est l'unique réel vérifiant \(\ln e = 1\) ; \(e \approx 2{,}718\). Signe : \(\ln x < 0\) sur \(]0\,;1[\) et \(\ln x > 0\) sur \(]1\,;+\infty[\).
Méthode — Équations et inéquations avec ln
Sur le domaine de validité (arguments strictement positifs), la stricte croissance de \(\ln\) donne :
Toujours commencer par déterminer l'ensemble de validité, puis conclure par équivalences.
III.2 — La fonction exponentielle
Définition
\(\ln\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), avec pour limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes : d'après le théorème de la bijection (chapitre I), \(\ln\) réalise une bijection de \(]0\,;+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Sa bijection réciproque est la fonction exponentielle, notée \(\exp\), et on pose \(\exp(x) = e^{x}\).
Propriétés
Pour tous réels \(a, b\) et tout \(n \in \mathbb{Z}\) :
De plus \(e^{0} = 1\), \(e^{1} = e\), et \(e^{x} > 0\) pour tout réel \(x\).
Théorème — Dérivée, variations, limites
\(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\left(e^{x}\right)' = e^{x}\) : elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Les courbes de \(\ln\) et \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y = x\) (fonctions réciproques).
Illustration
\(y = \ln x\)
\(y = x\) (axe de symétrie)
III.3 — Puissances réelles et racines nièmes
Définition — Puissance d'exposant réel
Pour \(a > 0\) et \(b \in \mathbb{R}\), on pose :
Cette définition prolonge les puissances entières et donne \(\ln(a^{b}) = b\ln a\) pour tout réel \(b\).
Règles de calcul
Pour \(a > 0\), \(b > 0\) et \(x, y\) réels :
Fonctions puissances et racines nièmes
Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), la fonction \(x \mapsto x^{\alpha} = e^{\alpha\ln x}\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \((x^{\alpha})' = \alpha\,x^{\alpha - 1}\) : elle est strictement croissante si \(\alpha > 0\), strictement décroissante si \(\alpha < 0\).
Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(x > 0\), la racine nième de \(x\) est \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n} = e^{\frac{\ln x}{n}}\) : l'unique réel strictement positif dont la puissance nième vaut \(x\).
Limites : si \(\alpha > 0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^{\alpha} = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x^{\alpha} = 0\) (limites échangées si \(\alpha < 0\)).
Piège classique
\(a^{b} = e^{b\ln a}\) n'a de sens que pour \(a > 0\). Ne jamais écrire \((-2)^{\sqrt{2}}\) ; et ne pas confondre \(x^{\alpha}\) (exposant fixe, dérivée \(\alpha x^{\alpha-1}\)) avec \(a^{x} = e^{x\ln a}\) (base fixe, dérivée \(\ln a \cdot a^{x}\)).
III.4 — Croissances comparées
Théorème — Limites de référence
À retenir
À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme. Devant une forme indéterminée mêlant \(e^{x}\), \(x^{\alpha}\) ou \(\ln x\), factoriser par le terme dominant puis appliquer une limite de référence.
Exemple
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0\) (référence avec \(\alpha = \tfrac{1}{2}\)).
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^{2}e^{-x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}} = 0\) car \(\dfrac{e^{x}}{x^{2}} \to +\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x^{x} = \lim_{x\to 0^{+}} e^{x\ln x} = e^{0} = 1\), car \(x\ln x \to 0\) et \(\exp\) est continue (limite d'une composée, chapitre I).
III.5 — Travaux pratiques : étude d'une fonction
Méthode — Plan d'étude
- Ensemble de définition, éventuelles parité/périodicité.
- Limites aux bornes ; asymptotes (verticales, horizontales, obliques) ou directions asymptotiques.
- Dérivée, signe de \(f'\), tableau de variations.
- Valeurs et tangentes remarquables ; position relative si demandée.
- Tracé de la courbe ; résolution graphique ou approchée d'équations \(f(x) = k\) (théorème de la bijection, balayage).
Exemple — \(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\)
Dérivée. \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\) : \(f' < 0\) sur \(]0\,;1[\), \(f' > 0\) sur \(]1\,;+\infty[\). \(f\) décroît puis croît, avec un minimum \(f(1) = 1\).
Limites. En \(0^{+}\) : \(-\ln x \to +\infty\) donc \(f(x) \to +\infty\). En \(+\infty\) : \(f(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\) (croissance comparée).
Conséquence. Pour tout \(x > 0\), \(f(x) \ge 1 > 0\), donc \(\ln x < x\) : la courbe de \(\ln\) est toujours sous la droite \(y = x\).
Équation \(f(x) = 2\). Sur chacun des intervalles \(]0\,;1]\) et \([1\,;+\infty[\), \(f\) est continue, strictement monotone, et \(2\) est compris entre les valeurs aux bornes : l'équation admet exactement deux solutions \(\alpha_{1}\) et \(\alpha_{2}\) (théorème de la bijection). Un balayage donne \(\alpha_{1} \in ]0{,}15\,;0{,}20[\) et \(\alpha_{2} \in ]3\,;3{,}2[\).
L'essentiel pour le Bac
- \(\ln\) : primitive de \(\dfrac{1}{x}\) nulle en \(1\) ; \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a^{n}) = n\ln a\) ; strictement croissante, \(\ln e = 1\).
- \(\exp\) : réciproque de \(\ln\) ; \(e^{a+b} = e^{a}e^{b}\), \((e^{x})' = e^{x}\), \(e^{x} > 0\) ; courbes de \(\ln\) et \(\exp\) symétriques par rapport à \(y = x\).
- \(a^{b} = e^{b\ln a}\) (\(a > 0\)) ; \((x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha-1}\) ; \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\).
- Croissances comparées : exp \(\succ\) puissances \(\succ\) ln ; connaître par cœur le tableau des limites de référence, dont \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x = 0\).
- Étude de fonction : domaine, limites/asymptotes, signe de \(f'\), tableau de variations, puis bijection + balayage pour les équations \(f(x) = k\).
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