Statistique à deux variables

Exercice 1 — Nuage de points et centre de gravité

Un lycée relève les notes de 8 élèves en Maths ($x$) et en Physique ($y$) :

1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

2. Placer le nuage de points et le centre de gravité $G(\bar{x};\bar{y})$.

3. Que remarque-t-on visuellement ?

Exercice 7 — Série chronologique et saisonnalité

Ventes trimestrielles (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 3 ans :

1. Tracer la série.  2. Calculer les moyennes mobiles d'ordre 4.  3. Droite de tendance sur les moyennes mobiles.  4. Coefficients saisonniers.  5. Prévision du trimestre 13.

Exercice 6 — Méthode de Mayer

Un nuage de $6$ points, trié par abscisses croissantes, donne deux sous-nuages : $\{(1;2),(2;3),(3;5)\}$ et $\{(6;10),(7;12),(8;13)\}$. Déterminer la droite de Mayer, puis vérifier qu'elle passe par le point moyen global $G$.

Une petite entreprise de livraison de repas fait passer des annonces à la radio locale. Pendant six mois, la gérante a noté le montant \(x\) des dépenses de publicité du mois, en dizaines de milliers de francs, et le chiffre d'affaires \(y\) du même mois, en centaines de milliers de francs.

1) Explique comment représenter le nuage de points de cette série dans un repère orthogonal, puis dis comment varie \(y\) quand \(x\) augmente. Un ajustement linéaire te paraît-il envisageable ? Justifie.

2) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage.

3) On applique la méthode de Mayer : on partage le nuage en deux sous-nuages, celui des trois premiers points et celui des trois derniers. Calcule les coordonnées de leurs points moyens \(G_1\) et \(G_2\).

4) Démontre que la droite \((G_1G_2)\) a pour équation \(y=2x+2\), puis vérifie que le point \(G\) appartient à cette droite.

5) Interprète le coefficient directeur de cette droite pour la gérante. Estime ensuite le chiffre d'affaires d'un mois où elle dépenserait 150 000 francs en publicité.

6) Exprime \(x\) en fonction de \(y\) à partir de l'équation de la droite. La gérante vise un chiffre d'affaires mensuel de 4 000 000 francs : quelle dépense de publicité le modèle indique-t-il ? Ces deux estimations sont-elles aussi sûres que les valeurs du tableau ? Justifie.

On considère la série statistique double ci-dessous, où \(m\) désigne un nombre inconnu. Le nuage de points de cette série compte sept points.

1) Calcule l'abscisse du point moyen \(G\) du nuage. On sait que l'ordonnée de \(G\) est égale à 9 : détermine le nombre \(m\).

2) Le nombre de points étant impair, on partage le nuage en un sous-nuage formé des trois premiers points et un sous-nuage formé des quatre derniers. Calcule les coordonnées de leurs points moyens \(G_1\) et \(G_2\).

3) Détermine une équation de la droite \((G_1G_2)\).

4) Le point \(G\) est-il le milieu du segment \([G_1G_2]\) ? Vérifie qu'il appartient quand même à la droite \((G_1G_2)\), puis explique ce résultat en comparant \(3\bar{x}_1+4\bar{x}_2\) et \(7\bar{x}\), où \(\bar{x}_1\), \(\bar{x}_2\) et \(\bar{x}\) sont les abscisses de \(G_1\), \(G_2\) et \(G\).

5) Avec la droite, estime la valeur de \(y\) pour \(x=10\), puis la valeur de \(x\) pour laquelle \(y=31\).

6) Pour chacun des sept points, calcule l'écart entre la valeur de \(y\) du tableau et la valeur lue sur la droite pour la même abscisse. Calcule la somme de ces écarts et justifie le résultat obtenu.

Une savonnière vend un savon artisanal sur plusieurs marchés. Pendant huit semaines, elle a essayé huit prix différents. Elle note \(x\) le prix d'un savon, en centaines de francs, et \(y\) le nombre de savons vendus pendant la semaine.

1) Comment varie \(y\) quand \(x\) augmente ? Décris l'allure du nuage de points, puis calcule les coordonnées de son point moyen \(G\).

2) On partage le nuage en deux sous-nuages de quatre points : les quatre prix les plus bas, puis les quatre prix les plus élevés. Calcule les coordonnées de leurs points moyens \(G_1\) et \(G_2\).

3) La droite de Mayer \((G_1G_2)\) a une équation de la forme \(y=ax+b\). Écris le système de deux équations vérifié par \(a\) et \(b\), puis résous-le.

4) Vérifie que le point \(G\) appartient à la droite obtenue, puis interprète son coefficient directeur pour la savonnière.

5) Estime le nombre de savons vendus en une semaine au prix de 1 000 francs. D'après ce modèle, à partir de quel prix ne vendrait-elle plus aucun savon ? Ces résultats sont-ils fiables ? Justifie.

6) La recette de la semaine, en centaines de francs, est le produit du prix par le nombre de savons vendus. On admet que \(y=-10x+130\) et on pose \(R(x)=x(-10x+130)\) pour \(x\) dans l'intervalle \([2\,;9]\). Calcule \(R'(x)\), étudie son signe, puis donne le prix qui rend la recette maximale et le montant de cette recette en francs.

Une coopérative d'apiculteurs a relevé sa production annuelle de miel pendant huit années consécutives. On note \(x\) le rang de l'année et \(y\) la production de l'année, en centaines de kilogrammes.

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage de points de cette série.

2) On partage le nuage en deux sous-nuages : les quatre premières années, puis les quatre dernières. Calcule les coordonnées de leurs points moyens \(G_1\) et \(G_2\), puis démontre que la droite \((G_1G_2)\) a pour équation \(y=5x+5\).

3) Démontre que \(G\) est le milieu du segment \([G_1G_2]\). Que peux-tu en déduire pour le point \(G\) et la droite de Mayer ? Pourquoi \(G\) est-il ici le milieu ?

4) On suppose que la tendance se poursuit. Pour tout entier \(n\geq 9\), on note \(p_n\) la production estimée par la droite pour l'année de rang \(n\). Exprime \(p_n\) en fonction de \(n\), démontre que la suite \((p_n)\) est arithmétique et interprète sa raison. Calcule \(p_9\).

5) La coopérative veut produire 8 000 kilogrammes de miel en une année. D'après ce modèle, à partir de quel rang cet objectif serait-il atteint ?

6) Calcule la production totale estimée pour les six années de rangs 9 à 14, en kilogrammes.