Terminale A2 · Leçon 1
Systèmes linéaires dans ℝ × ℝ
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Résoudre des systèmes de deux équations comportant la fonction logarithme népérien se ramenant à des systèmes linéaires dans ℝ × ℝ
- Résoudre des systèmes de deux équations comportant la fonction exponentielle népérienne se ramenant à des systèmes linéaires dans ℝ × ℝ
- Représenter graphiquement l’ensemble des solutions d’un système de deux ou trois inéquations du premier degré dans ℝ × ℝ
- Traiter une situation faisant appel aux systèmes linéaires dans ℝ × ℝ
Source : Programme éducatif Terminale A2, DPFC, version CND 0923
Systèmes d'équations avec ln et exp
Un système mêlant logarithmes et opérations arithmétiques se résout souvent en deux temps. On exploite d'abord les propriétés de \(\ln\) pour transformer la somme ou la différence de logarithmes en une relation sur le produit ou le quotient des inconnues. On dispose alors d'un système {somme ; produit} classique, que l'on résout via un trinôme du second degré dont les inconnues sont les deux racines.
Résoudre \(\displaystyle\begin{cases} x + y = 7 \\ \ln x + \ln y = \ln 12 \end{cases}\) avec \(x > 0\) et \(y > 0\).
La seconde équation s'écrit \(\ln(xy) = \ln 12\), soit \(xy = 12\) (par injectivité de \(\ln\)).
On sait donc que \(x + y = 7\) et \(xy = 12\) : \(x\) et \(y\) sont les racines du trinôme \[t^2 - 7t + 12 = 0.\] Discriminant : \(\Delta = 49 - 48 = 1\), \(\sqrt{\Delta} = 1\). \[t = \frac{7 \pm 1}{2} \Rightarrow t = 4 \text{ ou } t = 3.\] Ces deux valeurs sont positives, donc valides. \(\mathbb{S} = \{(4\,;\,3)\,;\,(3\,;\,4)\}\).
Résoudre \(\displaystyle\begin{cases} e^a \cdot e^b = e^5 \\ e^a + e^b = e^2 + e^3 \end{cases}\).
La première équation donne \(e^{a+b} = e^5\), soit \(a + b = 5\). La seconde montre que \(e^a\) et \(e^b\) ont pour somme \(e^2 + e^3\) et pour produit \(e^5\) (d'après la première équation).
\(e^a\) et \(e^b\) sont racines de \(t^2 - (e^2 + e^3)t + e^5 = 0\). On vérifie : \((t - e^2)(t - e^3) = t^2 - (e^2+e^3)t + e^5\). Oui. Donc \((e^a, e^b) = (e^2, e^3)\) ou \((e^3, e^2)\), ce qui donne \((a, b) = (2, 3)\) ou \((3, 2)\).
Un système à deux inconnues positives avec \(x + y = S\) et \(xy = P\) est toujours équivalent à : « \(x\) et \(y\) sont les racines de \(t^2 - St + P = 0\) ». Cette observation est l'outil central pour ce type de systèmes.
Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
Rappel de SecondeL'objectif est double : connaître les différentes méthodes de résolution, et surtout savoir choisir la mieux adaptée à une situation — en particulier mettre en équations un problème concret. Tout se fait sur des exemples numériques.
Résoudre le système, c'est trouver le(s) couple(s) \((x,y)\) qui vérifient les deux équations à la fois.
Résoudre \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases}\).
La première équation donne directement \(y\) en fonction de \(x\) : on substitue dans la seconde. \(3x+(2x-1)=9\), soit \(5x=10\), donc \(x=2\), puis \(y=3\).
Solution : \((x,y)=(2,3)\).
Résoudre \(\begin{cases}2x+3y=12\\5x-3y=9\end{cases}\).
Les coefficients de \(y\) sont opposés : on additionne directement les deux équations, ce qui élimine \(y\). \(2x+3y+5x-3y=12+9\), soit \(7x=21\), donc \(x=3\). En reportant dans la première équation : \(2(3)+3y=12\), donc \(3y=6\), soit \(y=2\).
Solution : \((x,y)=(3,2)\).
Inéquations et systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues
Rappel de SecondeUne inéquation \(ax+by \le e\) (avec \(b>0\)) partage le plan en deux demi-plans, séparés par la droite \(ax+by=e\) : les points qui vérifient l'inéquation forment l'un des deux demi-plans (frontière incluse).
Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver l'intersection de tous les demi-plans correspondants — une région du plan.
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Rappel de SecondeChaque équation représente une droite. La solution du système est le point d'intersection des deux droites — lisible directement sur un graphique bien construit, méthode particulièrement utile pour vérifier un résultat trouvé par le calcul.
Deux articles A et B. Trois articles A et deux articles B coûtent \(2\,900\) F ; un article A et quatre articles B coûtent \(2\,700\) F. Prix de chaque article ?
Notons \(x\) le prix de A, \(y\) le prix de B :
\[ \begin{cases} 3x+2y=2\,900 \\ x+4y=2\,700 \end{cases} \]De la seconde équation : \(x=2\,700-4y\). En substituant dans la première : \(3(2\,700-4y)+2y=2\,900\), soit \(8\,100-12y+2y=2\,900\), donc \(-10y=-5\,200\), \(y=520\). Puis \(x=2\,700-2\,080=620\).
L'article A coûte \(620\) F, l'article B coûte \(520\) F.
Figure — Intersection de deux droites
Le point d'intersection donne la solution du système \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases}\).
Résumé
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Voir les offresIsoler une inconnue dans une équation, remplacer dans l'autre. Efficace si une équation est déjà "\(y=\ldots\)".
Multiplier les équations pour faire disparaître une inconnue par addition ou soustraction.
Chaque équation = une droite. Solution = point d'intersection. Utile pour vérifier visuellement un résultat.
Toujours vérifier la cohérence du résultat avec l'énoncé concret (valeurs entières, positives, réalistes…).
Sujet type Bac
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Voir les offresUn groupe de \(30\) personnes (adultes et enfants) visite un musée. Le billet adulte coûte \(1\,000\) F, le billet enfant \(400\) F. La recette totale est de \(21\,000\) F.
Question 1. En notant \(x\) le nombre d'adultes et \(y\) le nombre d'enfants, écrire le système traduisant la situation.
Question 2. Résoudre ce système par substitution.
De la première équation : \(y=30-x\). En substituant :
\[ 1\,000x+400(30-x)=21\,000 \]\(1\,000x+12\,000-400x=21\,000\), soit \(600x=9\,000\), donc \(x=15\). Alors \(y=30-15=15\).
Question 3. Vérifier le résultat, puis interpréter concrètement.
Vérification : \(1\,000\times15+400\times15=15\,000+6\,000=21\,000\). Correct. Le groupe compte \(15\) adultes et \(15\) enfants.