Terminale A2 · Leçon 5
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (23 points)
- la définition d’une suite arithmétique
- la propriété relative à la variation d’une suite arithmétique
- l’expression du terme général d’une suite arithmétique en fonction d’un terme quelconque et de la raison
- la formule relative à la somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique
- la définition d’une suite géométrique
- la propriété relative à la variation d’une suite géométrique
- l’expression du terme général d’une suite géométrique en fonction d’un terme quelconque et de la raison
- la formule relative à la somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique
- la raison d’une suite arithmétique connaissant deux termes quelconques
- un terme d’une suite arithmétique connaissant un autre terme et la raison
- la somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique
- la raison d’une suite géométrique connaissant deux termes quelconques
- un terme d’une suite géométrique connaissant un autre terme et la raison
- la somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique
- qu’une suite est arithmétique en utilisant la définition
- qu’une suite est géométrique en utilisant la définition
- qu’une suite arithmétique est croissante ou décroissante
- qu’une suite géométrique est croissante ou décroissante
- le sens de variation d’une suite arithmétique
- le sens de variation d’une suite géométrique
- le terme général 𝑢𝑛 d’une suite arithmétique en fonction de n
- le terme général 𝑢𝑛 d’une suite géométrique en fonction de n.
- traiter des situations faisant appel aux suites arithmétiques ou aux suites géométriques.
Source : Programme éducatif Terminale A2, DPFC, version CND 0923
Suites arithmétiques : terme général et somme
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r \in \mathbb{R}\) si chaque terme s'obtient en ajoutant \(r\) au précédent : \[u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n \ge 0.\] Si \(r > 0\), la suite est croissante ; si \(r < 0\), décroissante ; si \(r = 0\), tous les termes sont égaux (suite constante).
Cette formule permet d'accéder directement à n'importe quel terme sans calculer les intermédiaires. Elle montre que \(u_n\) est une fonction affine de \(n\).
\[ S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)\,(u_0 + u_n)}{2} \]La somme vaut « nombre de termes » multiplié par « demi-somme du premier et du dernier terme ». Remarquons qu'il y a \(n+1\) termes de \(u_0\) à \(u_n\).
- Calculer \(u_1 - u_0\), \(u_2 - u_1\), \(u_3 - u_2\).
- Si toutes ces différences sont égales, la suite est arithmétique de raison \(r = u_1 - u_0\).
- Écrire la formule du terme général \(u_n = u_0 + nr\).
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = 3\) et \(u_0 = 5\).
Terme général : \(u_n = 5 + 3n\).
Terme d'indice 10 : \(u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35\).
Somme \(S_{10}\) :
\(S_{10} = \dfrac{11 \times (5 + 35)}{2} = \dfrac{11 \times 40}{2} = 220\).
On sait que \(u_3 = 11\) et \(u_7 = 19\). Trouver \(r\), \(u_0\) et \(u_{20}\).
De \(u_7 = u_3 + 4r\) on tire \(19 = 11 + 4r\), donc \(r = 2\).
Ensuite \(u_0 = u_3 - 3r = 11 - 6 = 5\).
Enfin \(u_{20} = 5 + 2 \times 20 = 45\).
On veut calculer la somme des entiers de \(1\) à \(100\). La suite \(u_n = n\) est arithmétique, \(u_1 = 1\), \(u_{100} = 100\), donc \(S = \dfrac{100 \times (1 + 100)}{2} = 5050\).
De \(u_0\) à \(u_n\) il y a \(n+1\) termes, pas \(n\). De \(u_p\) à \(u_q\) il y en a \(q - p + 1\). Oublier le « \(+1\) » est l'erreur classique dans le calcul de somme.
Suite arithmétique — ajustez \(u_0\) et la raison \(r\)
Suites géométriques : terme général et somme
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q \ne 0\) si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par \(q\) : \[u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{pour tout } n \ge 0.\] La raison \(q\) est le rapport constant \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (valable tant que \(u_n \ne 0\)).
Cas particulier : si \(q = 1\), tous les termes valent \(u_0\) et \(S_n = (n+1)\,u_0\).
- Si tous les termes sont non nuls, calculer \(\dfrac{u_1}{u_0}\), \(\dfrac{u_2}{u_1}\), etc.
- Si ces rapports sont tous égaux, la suite est géométrique de raison \(q\).
- Écrire \(u_n = u_0 \cdot q^n\).
\((u_n)\) géométrique de raison \(q = 3\), \(u_0 = 2\).
\(u_5 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486\).
\(S_5 = 2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3}
= 2 \times \dfrac{1 - 729}{-2}
= 2 \times 364 = 728\).
Un capital de \(1000\) € est placé à intérêts composés de taux \(5\,\%\) par an. Le capital après \(n\) années vaut \(u_n = 1000 \times 1{,}05^n\). Il s'agit d'une suite géométrique de raison \(1{,}05\).
Après \(10\) ans : \(u_{10} = 1000 \times 1{,}05^{10} \approx 1629\) €.
Soit \(u_0 = 8\) et \(q = -\dfrac{1}{2}\). \(u_n = 8 \times \left(-\tfrac{1}{2}\right)^n\). Les termes alternent en signe et tendent vers \(0\).
La formule \(u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) n'est pas définie pour \(q = 1\) (division par zéro). Dans ce cas, utiliser directement \(S_n = (n+1)u_0\).
Suite géométrique — faites varier \(u_0\) et \(q\)