Probabilité

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Exercice 1 — Équiprobabilité simple

Une urne contient $7$ boules numérotées de $1$ à $7$. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $3$.

Exercice 2 — Somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. Calculer la probabilité que la somme des résultats soit égale à $7$.

Les 80 élèves de terminale d'un lycée ont rempli une fiche sur leurs activités du mercredi après-midi. Le dépouillement donne : 45 élèves pratiquent un sport, 30 élèves font de la musique et 15 élèves pratiquent à la fois un sport et la musique.

On choisit au hasard l'une des 80 fiches : toutes les fiches ont la même probabilité d'être choisies. On note \(S\) l'événement « l'élève pratique un sport » et \(M\) l'événement « l'élève fait de la musique ».

1) Calcule \(p(S)\), \(p(M)\) et \(p(S\cap M)\). Les événements \(S\) et \(M\) sont-ils incompatibles ? Justifie ta réponse.

2) Décris par une phrase l'événement \(S\cup M\), puis calcule sa probabilité à l'aide de la formule qui relie \(p(S\cup M)\), \(p(S)\), \(p(M)\) et \(p(S\cap M)\).

3) Décris par une phrase l'événement contraire de \(S\cup M\) et calcule sa probabilité. Combien d'élèves sont concernés ?

4) On note \(E\) l'événement « l'élève pratique une seule des deux activités ». Écris \(E\) comme la réunion de deux événements incompatibles que tu décriras, puis calcule \(p(E)\).

5) Pour contrôler ces calculs, un élève répète 200 fois l'expérience : il tire une fiche, note les activités, puis remet la fiche avant le tirage suivant. Il obtient 46 fois une fiche d'élève qui ne pratique aucune des deux activités. Calcule la fréquence observée, compare-la à la probabilité trouvée à la question 3 et interprète cette comparaison.

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : trois boules rouges, qui portent les numéros 1, 2 et 3, et deux boules vertes, qui portent les numéros 1 et 2. On tire une boule au hasard, on note sa couleur et son numéro, on la remet dans l'urne, puis on tire une seconde boule. Une éventualité est un couple formé de la première boule tirée et de la seconde.

On note \(A\) l'événement « les deux boules tirées sont de la même couleur » et \(B\) l'événement « les deux boules tirées portent le même numéro ».

1) Combien l'univers compte-t-il d'éventualités ? Justifie, et explique pourquoi on peut utiliser l'équiprobabilité.

2) Calcule \(p(A)\). Décris par une phrase l'événement contraire de \(A\) et donne sa probabilité.

3) Calcule \(p(B)\) en comptant les éventualités numéro par numéro.

4) Décris par une phrase l'événement \(A\cap B\) et justifie qu'il compte 5 éventualités. Déduis-en \(p(A\cup B)\).

5) Décris par une phrase l'événement contraire de \(A\cup B\), calcule sa probabilité, puis retrouve ce résultat en comptant directement les éventualités.

Au marché, une vendeuse reçoit un cageot de 12 mangues. Sans qu'elle le sache, 4 de ces mangues sont abîmées. Un client prend au hasard, simultanément, 3 mangues dans le cageot : tous les lots de 3 mangues ont la même probabilité d'être pris.

On note \(A\) l'événement « aucune des trois mangues n'est abîmée » et \(B\) l'événement « exactement une des trois mangues est abîmée ».

1) Combien de lots de 3 mangues le client peut-il prendre ? Justifie le choix de l'outil de dénombrement.

2) Calcule \(p(A)\). Décris par une phrase l'événement contraire de \(A\) et calcule sa probabilité.

3) Calcule \(p(B)\).

4) Justifie que les événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles. Décris par une phrase l'événement \(A\cup B\), puis calcule sa probabilité.

5) On note \(D\) l'événement « au moins deux des trois mangues sont abîmées ». Déduis \(p(D)\) de la question 4, puis retrouve ce résultat par un dénombrement direct. La vendeuse affirme : « Il y a moins d'une chance sur quatre que le client tombe sur au moins deux mangues abîmées. » A-t-elle raison ?

Un sac contient 30 jetons indiscernables au toucher. Chaque jeton est rond ou carré, et chaque jeton est bleu ou jaune. On tire un jeton au hasard. On note \(R\) l'événement « le jeton est rond » et \(B\) l'événement « le jeton est bleu ». On sait que \(p(R)=\dfrac{3}{5}\), \(p(B)=\dfrac{1}{2}\) et \(p(R\cup B)=\dfrac{4}{5}\).

1) Calcule \(p(R\cap B)\). Les événements \(R\) et \(B\) sont-ils incompatibles ? Justifie.

2) Déduis-en le nombre de jetons de chacune des quatre sortes : ronds bleus, ronds jaunes, carrés bleus, carrés jaunes. Présente les résultats dans un tableau.

3) Décris par une phrase l'événement contraire de \(R\cup B\) et calcule sa probabilité de deux façons.

4) On ajoute dans le sac \(x\) jetons ronds bleus et \(y\) jetons carrés jaunes. On veut qu'après cet ajout la probabilité de tirer un jeton rond bleu soit \(\dfrac{1}{2}\) et que la probabilité de tirer un jeton carré jaune soit \(\dfrac{1}{4}\). Montre que \(x\) et \(y\) vérifient le système formé des équations \(x-y=12\) et \(x-3y=-6\), puis résous ce système.

5) Dans le nouveau sac, calcule \(p(R)\), \(p(B)\) et \(p(R\cup B)\), puis vérifie la formule qui relie ces probabilités à \(p(R\cap B)\).