Fonction logarithme népérien

Exercice 1 — Limite d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.

Exercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.

Exercice 1 — Équation avec logarithme

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x)=3$.

Exercice 2 — Équation logarithmique directe

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(5x-3)=\ln(x+9)$.

Exercice 3 — Propriétés algébriques

Calculer, sans calculatrice, $\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right)$.

Exercice 6 — Limite d'une suite rationnelle

Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.

Exercice 4 — Étude de variations

Étudier les variations de $f(x)=\ln(x)-x^{2}$ sur $]0\,;+\infty[$ (dérivée, signe, valeur du maximum).

Exercice 6 — Une inégalité classique

Étudier $g(x)=x-\ln(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, montrer que $g(x)\ge1$ pour tout $x>0$, et en déduire que $\ln(x) < x$ pour tout $x>0$.

Exercice 5 — Inéquation logarithmique

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(3x+1) > 2$.

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1}{2}x-1-\ln x\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère. On donne \(\ln 2\approx 0{,}693\), \(\ln 3\approx 1{,}099\) et \(\ln 5\approx 1{,}609\).

1) Détermine la limite de \(f\) en 0. Quelle asymptote à \((C)\) en déduis-tu ?

2) Vérifie que, pour tout \(x\gt 0\), \(f(x)=x\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln x}{x}\right)\), puis détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\). Explique pourquoi l'écriture de départ ne permettait pas de conclure.

3) Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x)=\dfrac{x-2}{2x}\). Étudie son signe, puis dresse le tableau de variations de \(f\).

4) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d'abscisse 1, puis vérifie que \((T)\) passe par l'origine du repère.

5) Exprime \(f(4)\) et \(f(8)\) à l'aide de \(\ln 2\), puis donne leur signe. Justifie que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution, notée \(\alpha\), dans l'intervalle \([4;8]\).

6) Calcule des valeurs approchées de \(f(5)\) et de \(f(6)\), puis encadre \(\alpha\) par deux entiers consécutifs.

Un groupement de femmes rend potable l'eau d'un puits en la faisant passer plusieurs fois dans un filtre à sable. À chaque passage, le filtre retient 40 % des impuretés encore présentes dans l'eau. On donne \(\ln 2\approx 0{,}693\), \(\ln 3\approx 1{,}099\) et \(\ln 5\approx 1{,}609\).

1) Justifie qu'après \(n\) passages, où \(n\) est un entier naturel non nul, il reste dans l'eau la proportion \(0{,}6^n\) des impuretés de départ. Calcule cette proportion pour \(n=1\), \(n=2\) et \(n=3\).

2) L'eau est jugée propre lorsqu'il reste au plus 2 % des impuretés de départ. Démontre que la condition \(0{,}6^n\leq 0{,}02\) équivaut à \(n\geq\dfrac{\ln 0{,}02}{\ln 0{,}6}\). Explique avec soin pourquoi le sens de l'inégalité change.

3) En écrivant \(0{,}6=\dfrac{3}{5}\) et \(0{,}02=\dfrac{1}{50}\), exprime \(\ln 0{,}6\) et \(\ln 0{,}02\) à l'aide de \(\ln 2\), \(\ln 3\) et \(\ln 5\). Déduis-en le nombre minimal de passages dans le filtre à sable.

4) Un filtre à charbon retient, à chaque passage, 50 % des impuretés encore présentes. Combien de passages dans ce seul filtre faut-il au minimum pour que l'eau soit jugée propre ?

5) On appelle cycle un passage dans le filtre à sable suivi d'un passage dans le filtre à charbon. Démontre que \(\ln 0{,}3=\ln 0{,}6+\ln 0{,}5\), détermine le nombre minimal de cycles, puis compare les trois méthodes.

On considère l'équation \((E)\) : \(\ln(x+2)+\ln(x-4)=2\ln(x-2)\) et l'inéquation \((I)\) : \(\ln(x+2)+\ln(x-4)\leq\ln 7\).

1) Détermine l'ensemble \(D\) des réels \(x\) pour lesquels \(\ln(x+2)\) et \(\ln(x-4)\) existent tous les deux. Vérifie que \(\ln(x-2)\) existe aussi pour tout \(x\) de \(D\).

2) Résous l'équation \((E)\), puis contrôle ta solution en la remplaçant dans les deux membres.

3) Démontre que, pour \(x\) dans \(D\), l'inéquation \((I)\) équivaut à \(x^2-2x-15\leq 0\), puis résous \((I)\).

4) Le nombre \(-3\) vérifie \(x^2-2x-15=0\). Est-il solution de l'équation \(\ln(x+2)+\ln(x-4)=\ln 7\) ? Est-il solution de l'équation \(\ln\left[(x+2)(x-4)\right]=\ln 7\) ? Justifie, puis explique ce que montre cet exemple.

5) En posant \(X=\ln x\) et \(Y=\ln y\), résous le système \(\begin{cases}2\ln x+\ln y=4\\ \ln x-\ln y=5\end{cases}\) où \(x\) et \(y\) sont deux réels strictement positifs. Déduis-en, sans calculatrice, la valeur exacte du produit \(xy\).

Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=\ln\left(x^2-6x+10\right)\). On pose \(u(x)=x^2-6x+10\) et on note \((C)\) la courbe de \(g\) dans un repère. On admet les deux règles suivantes : la dérivée de \(g\) est donnée par \(g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) ; si \(u(x)\) tend vers \(+\infty\), alors \(\ln\left(u(x)\right)\) tend vers \(+\infty\).

1) Démontre que \(u(x)\gt 0\) pour tout réel \(x\). Que peux-tu en déduire pour l'ensemble de définition de \(g\) ? Calcule \(g(3)\), puis exprime \(g(0)\) à l'aide de \(\ln 2\) et de \(\ln 5\).

2) Calcule \(g'(x)\), étudie son signe et donne le sens de variation de \(g\).

3) Détermine les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), puis dresse le tableau de variations de \(g\). Justifie que \(g(x)\geq 0\) pour tout réel \(x\).

4) Résous l'équation \(g(x)=\ln 5\).

5) Résous l'inéquation \(g(x)\leq\ln 2\).

6) Démontre que, pour tout réel \(h\), \(g(3+h)=g(3-h)\). Interprète ce résultat pour la courbe \((C)\), puis explique en quoi il est cohérent avec les réponses aux deux questions précédentes.