Fonction exponentielle népérienne

Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.

Exercice 2 — Équation avec exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x}=7$.

Exercice 4 — Étude de $f(x) = xe^x$

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$. Étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations complet.

4. Équation de la tangente en $x = 0$.

Exercice 12 — Comparaisons de croissance

Partie A — Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Calculer $f'(x)$. Variations de $f$.

2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$.

3. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$.

Partie B — Soit $g(x) = x^2 e^{-x}$.

4. Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.

5. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} = 0$.

Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.

Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$

Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.

Exercice 5 — Équation quadratique en $e^x$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-e^{x}-6=0$.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=(2-x)e^x\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère. On rappelle que la limite de \(xe^x\) en \(-\infty\) est 0.

1) Détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\).

2) Vérifie que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=2e^x-xe^x\), puis détermine la limite de \(f\) en \(-\infty\). Quelle asymptote à \((C)\) en déduis-tu ? Explique pourquoi l'écriture de départ ne permettait pas de conclure.

3) Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x)=(1-x)e^x\).

4) Étudie le signe de \(f'(x)\), puis dresse le tableau de variations de \(f\).

5) Démontre que, pour tout réel \(x\), \((2-x)e^x\leq e\). Résous ensuite l'équation \(f(x)=0\) et donne la position de \((C)\) par rapport à l'axe des abscisses.

6) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d'abscisse 0, puis vérifie que \((T)\) coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse \(-2\).

Une coopérative de teinturières fabrique des pagnes teints à l'indigo. Lorsqu'elle fabrique et vend \(x\) centaines de pagnes dans le mois, avec \(0\leq x\leq 3\), son bénéfice mensuel, exprimé en centaines de milliers de francs, est modélisé par \(B(x)=4x-1-e^x\). On donne \(e\approx 2{,}718\), \(e^2\approx 7{,}389\), \(e^3\approx 20{,}086\) et \(\ln 2\approx 0{,}6931\).

1) Calcule \(B(0)\), puis donne la valeur exacte de \(B(1)\) et sa valeur approchée au millième. Interprète ces deux nombres.

2) Calcule \(B'(x)\). Démontre que \(B'(x)\gt 0\) équivaut à \(x\lt\ln 4\), puis justifie que \(\ln 4=2\ln 2\).

3) Dresse le tableau de variations de \(B\) sur \([0;3]\), avec les valeurs exactes de \(B\left(\ln 4\right)\) et de \(B(3)\).

4) Combien de pagnes la coopérative doit-elle fabriquer et vendre pour que son bénéfice soit maximal ? Donne ce bénéfice maximal en francs, à la centaine de francs près.

5) Calcule \(B(2)\) et donne son signe. Justifie que l'équation \(B(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle \([0;1]\) et une unique solution \(\beta\) dans l'intervalle \(\left[\ln 4;2\right]\).

6) On admet que \(\alpha\approx 0{,}81\) et \(\beta\approx 1{,}87\). Donne le signe de \(B(x)\) sur \([0;3]\), puis interprète : pour quelles productions l'activité est-elle rentable ?

Dans cet exercice, toutes les équations et inéquations sont à résoudre dans \(\mathbb{R}\). On rappelle que, pour tous réels \(a\) et \(b\), \(e^a=e^b\) équivaut à \(a=b\) et \(e^a\lt e^b\) équivaut à \(a\lt b\).

1) Résous l'équation \(e^{x^2}=e^{2x+3}\), puis l'inéquation \(e^{x^2}\lt e^{2x+3}\).

2) Justifie que l'équation \(e^x=5\) a pour unique solution \(\ln 5\). En posant \(X=e^x\), résous ensuite l'équation \(e^{2x}-3e^x-10=0\) et explique pourquoi l'une des deux valeurs trouvées pour \(X\) doit être écartée.

3) Vérifie que, pour tout réel \(x\), \(e^{2x}-3e^x-10=\left(e^x-5\right)\left(e^x+2\right)\), puis résous l'inéquation \(e^{2x}-3e^x-10\leq 0\).

4) Écris chaque équation du système \(\begin{cases}\left(e^x\right)^2\times e^y=e^{10}\\ \dfrac{e^x}{e^y}=\dfrac{1}{e}\end{cases}\) sous la forme \(e^a=e^b\), puis résous ce système.

5) En posant \(X=e^x\) et \(Y=e^y\), résous le système \(\begin{cases}3e^x-e^y=1\\ e^x+2e^y=12\end{cases}\). Déduis-en, sans calculatrice, la valeur exacte de \(e^{x+y}\), puis celle de \(x+y\).

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]1;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère. On rappelle que la limite de \(\dfrac{e^x}{x}\) en \(+\infty\) est \(+\infty\). On donne \(e^2\approx 7{,}39\).

1) Détermine la limite de \(f\) en 1. Quelle asymptote à \((C)\) en déduis-tu ?

2) Vérifie que, pour tout \(x\) de \(]1;+\infty[\), \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\times\dfrac{x}{x-1}\), puis détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\). Explique pourquoi l'écriture de départ ne permettait pas de conclure.

3) Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x)=\dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}\).

4) Étudie le signe de \(f'(x)\), puis dresse le tableau de variations de \(f\). Quel est le minimum de \(f\) ?

5) Déduis-en que, pour tout \(x\) de \(]1;+\infty[\), \(e^x\geq e^2(x-1)\). Détermine une équation de la tangente \((T)\) à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse 2, puis interprète graphiquement cette inégalité.

6) En utilisant le logarithme népérien, démontre que, pour tout \(x\) de \(]1;+\infty[\), \(\ln(x-1)\leq x-2\). Déduis-en que, pour tout réel \(t\) strictement positif, \(\ln t\leq t-1\).