Étude de fonctions polynômes et de fonctions rationnelles

Exercice 1 — Limite d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.

Exercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.

Exercice 1 — Variations d'un polynôme

Étudier le signe de $f'(x)$ pour $f(x)=x^2-4x+3$ et en déduire ses variations sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2 — Asymptotes

Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.

Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.

Exercice 3 — Quantité conjuguée

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$.

Exercice 3 — Signe de la dérivée

Étudier le signe de $g'(x)$ et les variations de $g(x)=(1-3x)^2$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3 — Étude complète

Étudier complètement $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ (dérivée, signe, variations, valeurs remarquables).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)

Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.

Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus

On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Exercice 4 — Limites à gauche et à droite

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{+}} f(x)$, puis conclure sur l'existence d'une limite globale en $\dfrac32$.

Exercice 5 — Domaine et limites

Soit $f(x)=\sqrt{3x-5}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(5/3)^{+}} f(x)$.

Exercice 6 — Limite en $-\infty$

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$.

Exercice 4 — Étude d'une fonction rationnelle

Étudier $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ : domaine, asymptotes, sens de variation (via la dérivée du quotient).

Exercice 5 — Étude d'un polynôme de degré 4

Étudier $f(x)=x^4-8x^2+7$ : dérivée factorisée, tableau de signes, variations et valeurs remarquables.

Exercice 6 — Synthèse

Étudier $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-6}$ : domaine, asymptotes, et sens de variation (dérivée via la forme $\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{2x-6}$).

Exercice 6 — Limite d'une suite rationnelle

Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+5\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère.

1) Détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

2) Calcule \(f'(x)\), puis démontre que \(f'(x)=6(x+1)(x-2)\). Étudie le signe de \(f'(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

3) Calcule les images de \(-1\) et de 2 par \(f\), puis dresse le tableau de variation de \(f\).

4) Démontre que l'équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l'intervalle \([0;1]\). Interprète graphiquement ce résultat.

5) Par dichotomie, en deux étapes, donne un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}25\).

6) Par balayage avec un pas de \(0{,}1\), en partant de \(0{,}2\), donne un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}1\). Cet encadrement est-il cohérent avec celui de la question 5 ?

Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) différent de 2 par \(f(x)=\dfrac{ax+b}{x-2}\). Dans un repère, sa courbe \((\mathcal{C})\) passe par les points \(A(1;-5)\) et \(B(4;7)\).

1) Traduis ces deux informations par un système d'inconnues \(a\) et \(b\), puis résous-le. Dans la suite, on prend \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x-2}\).

2) Détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), puis ses limites à gauche et à droite en 2. Interprète graphiquement ces quatre résultats.

3) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(f\).

4) Démontre que, pour tout réel \(x\) différent de 2, \(f(x)=3+\dfrac{8}{x-2}\). Déduis-en la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à la droite d'équation \(y=3\).

5) Résous algébriquement l'inéquation \(f(x)\geq x+3\), puis interprète graphiquement l'ensemble des solutions.

On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}\) et on note \((\Gamma)\) sa courbe représentative dans un repère. On note \((D)\) la droite d'équation \(y=x-2\).

1) Précise l'ensemble de définition de \(g\), puis détermine les limites de \(g\) à gauche et à droite en 1. Interprète graphiquement.

2) Démontre que, pour tout réel \(x\) différent de 1, \(g(x)=x-2+\dfrac{4}{x-1}\). Détermine les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

3) Démontre que la droite \((D)\) est asymptote à \((\Gamma)\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), puis étudie la position de \((\Gamma)\) par rapport à \((D)\).

4) Démontre que \(g'(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(g\).

5) Résous algébriquement l'inéquation \(g(x)\geq 4\).

6) À l'aide du tableau de variation, justifie que l'équation \(g(x)=0\) n'a aucune solution. Que peut-on en déduire pour la courbe \((\Gamma)\) ?

Une coopérative de femmes fabrique du beurre de karité qu'elle conditionne en cartons. Elle produit et vend chaque jour \(x\) cartons, avec \(10\leq x\leq 100\). Le coût de production d'un carton, exprimé en centaines de francs, dépend du nombre de cartons fabriqués : il est donné par \(C(x)=x-30+\dfrac{1600}{x}\). Chaque carton est vendu 7 000 francs, c'est-à-dire 70 centaines de francs.

1) Calcule le coût de production d'un carton lorsque la coopérative en fabrique 20, puis lorsqu'elle en fabrique 50. Démontre que \(C(x)=\dfrac{x^2-30x+1600}{x}\).

2) Calcule \(C'(x)\) et démontre que \(C'(x)=\dfrac{(x-40)(x+40)}{x^2}\). Dresse le tableau de variation de \(C\) sur l'intervalle \([10;100]\), puis donne le coût minimal d'un carton, en francs, et la production correspondante.

3) Résous algébriquement, dans l'intervalle \([10;100]\), l'inéquation \(C(x)\leq 70\). Interprète le résultat pour la coopérative.

4) Le bénéfice journalier, en centaines de francs, est \(B(x)=70x-x\,C(x)\). Démontre que \(B(x)=-x^2+100x-1600\), étudie les variations de \(B\) sur \([10;100]\) et donne le bénéfice maximal en francs.

5) La présidente affirme : « Pour gagner le plus possible, il faut fabriquer 40 cartons, puisque c'est là que le carton coûte le moins cher. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul et explique.

6) Pour quelles productions le bénéfice journalier est-il d'au moins 50 000 francs ?