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Terminale D

Sujet d'entraînement n° 16

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points5 parties corrigées
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Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

  1. 1Exercice 1 — Urnes et variable aléatoire $X$4 pts · 5 questions corrigées

    À revoir : Dénombrement et Probabilités

  2. 2Exercice 2 — Transformation complexe $z'=\dfrac{iz+2}{z-i}$4 pts · 6 questions corrigées

    À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II

  3. 3Problème — Partie A : $g(x)=\dfrac{e(x-2)}{x+1}+\ln x$4 pts · 4 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques, Logarithme Népérien

  4. 4Problème — Partie B : étude de $f$8 pts · 7 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques

  5. 5Problème — Partie C : bijection réciproque $h^{-1}$4 pts · 3 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques, Logarithme Népérien

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Urnes et variable aléatoire $X$ 4 pts

$U_1$ : 6 boules Bleues + 4 boules Rouges = 10 boules  |  $U_2$ : 3 boules Bleues + 2 boules Rouges = 5 boules
Protocole : on tire une boule de $U_1$, on la place dans $U_2$, puis on tire une boule de $U_2$.

1) Arbre pondéré — les 4 chemins

1
Tirage dans $U_1$ :
$P(B_1) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$    et    $P(R_1) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
2
Si Bleue tirée de $U_1$ → on place la bleue dans $U_2$ : $U_2$ devient 4B + 2R (6 boules) :
$P(B'|B_1) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ → $U_2$ finit avec 3B + 2R ✓ événement $A$ — prob. : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}$
$P(R'|B_1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ → $U_2$ finit avec 4B + 1R — prob. : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{5}$
3
Si Rouge tirée de $U_1$ → on place la rouge dans $U_2$ : $U_2$ devient 3B + 3R (6 boules) :
$P(B'|R_1) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ → $U_2$ finit avec 2B + 3R — prob. : $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}$
$P(R'|R_1) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ → $U_2$ finit avec 3B + 2R ✓ événement $A$ — prob. : $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}$
Arbre pondéré des 4 chemins
U₁ B : 3/5 4B+2R R : 2/5 3B+3R B' : 2/3 3B+2R ✓ A   P=2/5 R' : 1/3 4B+1R   P=1/5 B' : 1/2 2B+3R   P=1/5 R' : 1/2 3B+2R ✓ A   P=1/5 Vérif : 2/5+1/5+1/5+1/5 = 1 ✓

2) $P(A)$ et probabilités de chaque issue pour $U_2$

3a–b) Loi de $X$ — gain net

3c–d) Espérance et interprétation

4) FATI joue 5 fois — exactement 1 gain strictement positif

Exercice 2 — Transformation complexe $z'=\dfrac{iz+2}{z-i}$ 4 pts

$I(i)$ est le pôle de la transformation (valeur interdite $z=i$).

1a) Exprimer $z$ en fonction de $z'$

1b) $M$ sur l'axe réel $\Rightarrow$ $M'$ sur le cercle de centre $\tfrac{3i}{2}$, rayon $\tfrac{1}{2}$

2a) Décomposition $z' = i + \dfrac{1}{z-i}$

3a) Relation $(z'-i)(z-i)=1$

3b) Relation $IM'\times IM = 1$

3c) Image du cercle $|z-i|=\sqrt{3}$

Problème — Partie A : $g(x)=\dfrac{e(x-2)}{x+1}+\ln x$ 4 pts

$g$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$  |  $e\approx2{,}718$

A1) Limites en $0^+$ et en $+\infty$

A2) Variations de $g$ — tableau

A3) Unique zéro $\beta$ — encadrement — valeur de $g(1)$

A4) Signe de $g(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$

Problème — Partie B : étude de $f$ 8 pts

$$f(x)=\begin{cases}x\ln(x+1) & x>-1\\[6pt]\dfrac{e(x-2)}{x+1} & x<-1\end{cases}$$

B1) Domaine de définition $D_f$

B2) Limites aux bornes — asymptotes

B3–B4) Continuité et dérivabilité en $x=-1$

B5) Position de $(C)$ par rapport à l'asymptote $y=e$

B6) Dérivée $f'(x)$ et son signe

B7) Tableau de variations de $f$

B8) Tracé de $(C)$

Problème — Partie C : bijection réciproque $h^{-1}$ 4 pts

$h = f|_{[0,+\infty[} : x\mapsto x\ln(x+1)$

C1) $h$ est une bijection de $[0\,;\,+\infty[$ vers $J$

C2) Variations de $h^{-1}$

C3) Construction de $(C')$

Mode hors-ligne — données en cache