Exercice 1 — Loi hypergéométrique et loi binomiale (4 pts)
18 candidats : 12 garçons (G), 6 filles (F). Tirage simultané de 4.
$\binom{18}{4} = 3060$
A1) Probabilités des événements $A$, $B$, $C$, $D$
$$P(A)=\frac{\binom{12}{4}}{\binom{18}{4}}=\frac{495}{3060}=\frac{11}{68}$$
2
$P(C)$ : au moins une fille — événement complémentaire de $A$ :
$$P(C)=1-P(A)=1-\frac{11}{68}=\frac{57}{68}$$
3
$P(D)$ : au plus un garçon
$$P(0\text{ G})=\frac{\binom{6}{4}}{\binom{18}{4}}=\frac{15}{3060}=\frac{1}{204}$$
$$P(1\text{ G})=\frac{\binom{12}{1}\binom{6}{3}}{\binom{18}{4}}=\frac{12\times20}{3060}=\frac{240}{3060}=\frac{4}{51}$$
$$P(D)=\frac{15+240}{3060}=\frac{255}{3060}=\frac{1}{12}$$
$P(A)=\dfrac{11}{68}$ | $P(C)=\dfrac{57}{68}$ | $P(D)=\dfrac{1}{12}$
A2) Loi, espérance et fonction de répartition de $Y$
B) Loi binomiale de $X$ — trouver $n_0$ tel que $P_n > 0{,}99$
Exercice 2 — Application complexe et cercles (4 pts)
$f:\mathbb{C}\setminus\{2+i\}\to\mathbb{C}$, $z'=f(z)=\dfrac{z-1+2i}{z-2-i}$
1) Injectivité de $f$
2) Équation $z^2-4z+5=0$ et parallélogramme $OMIM'$
3) Expression de $z'+2$ et image du cercle $|z-(2+i)|=2$
Problème — Parties A & B (12 pts)
Fonction $g$ définie par morceaux :
$g(x)=\begin{cases}-x+2+x\ln|x| & \text{si } x\in(-\infty,0)\cup[1,+\infty)\\ x-2+e^{1-x} & \text{si } x\in\,]0,1[\end{cases}$,
$\;g(0)=0$.
Partie A — Étude de $g$
Partie B — Fonction $f$, zéros, bijectivité de $h$
