Chargement…

Exercices — Fonctions numériques — Première D

Retour au cours — Première Série D · Fonctions numériques

Exercices — Fonctions numériques

Comportement global & limites · Dérivation en un point et sur un intervalle · Application de la dérivation

Première Série D · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre XIX — Comportement global et limites

1

QCM — Limites et asymptotes

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+3}{x-1}$ vaut :
a) $4$   b) $-3$   c) $0$   d) $+\infty$

2) Soit $g(x)=\dfrac5{x+2}$. La courbe de $g$ admet pour asymptote verticale la droite :
a) $x=2$   b) $x=-2$   c) $y=5$   d) $y=0$

3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(7-\dfrac3{x^2}\right)$ vaut :
a) $7$   b) $-3$   c) $4$   d) $+\infty$

4) Pour $x>0$, on a $|h(x)-2|\leqslant\dfrac4x$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac4x=0$. On en déduit :
a) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=2$   b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=4$   c) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$   d) on ne peut rien conclure

1
Réponse : a. $4x+3=4(x-1)+7$, donc $f(x)=4+\dfrac7{x-1}\to4$ quand $x\to+\infty$.
2
Réponse : b. $g$ n'est pas définie en $x=-2$ et $\displaystyle\lim_{x\to-2}g(x)=\pm\infty$ selon le côté : asymptote verticale $x=-2$.
3
Réponse : a. $\dfrac3{x^2}\to0$ quand $x\to+\infty$, donc la limite vaut $7-0=7$.
4
Réponse : a. C'est le théorème de comparaison : l'encadrement $|h(x)-2|\leqslant4/x$ avec $4/x\to0$ force $h(x)\to2$.
2

Situation d'intégration — Coût de production à Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
▼
Débloquer

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une unité de transformation de karité de Bobo-Dioulasso a un coût moyen de production, en milliers de FCFA par kilogramme, modélisé par $C(x)=\dfrac{500+3x}{x+2}$, où $x$ est la quantité produite en tonnes, $x\in\;]0;+\infty[$.

Le gérant de l'unité envisage d'augmenter fortement la production et veut savoir si le coût moyen peut descendre indéfiniment, ou s'il existe un plancher que le coût ne pourra jamais franchir, même pour une très grande quantité produite.

Consigne : Réécrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+2}$, déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$ et l'interpréter, puis étudier le signe de $C(x)-a$ pour dire si le coût moyen peut atteindre ou passer sous ce seuil pour une valeur finie de $x$.

1
Réécriture. $500+3x=3(x+2)+494$ (car $3(x+2)=3x+6$, et $500-6=494$), donc $C(x)=3+\dfrac{494}{x+2}$.
2
Limite. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac{494}{x+2}\to0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)=3$ : la droite $y=3$ est asymptote horizontale. Le coût moyen se rapproche de $3$ milliers de FCFA/kg sans jamais réellement l'atteindre pour une production finie.
3
Signe de $C(x)-3=\dfrac{494}{x+2}$. Pour $x>0$, on a $x+2>0$ donc $\dfrac{494}{x+2}>0$ : $C(x)>3$ pour toute valeur de $x$.
4
Conclusion. Le coût moyen reste toujours strictement supérieur à $3$ milliers de FCFA/kg, quelle que soit la quantité produite : il existe bien un plancher que le gérant ne pourra jamais franchir, seulement en approcher indéfiniment en augmentant $x$.
3

Problème — Étude d'une fonction rationnelle et de ses asymptotes

Difficile Problème
▼
Débloquer

Problème — Soit $f(x)=\dfrac{5x-1}{2x+4}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

Partie A. 1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{2x+4}$. 2) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$, puis donner l'équation de l'asymptote horizontale. 3) Déterminer les limites de $f$ en $(-2)^-$ et $(-2)^+$, puis donner l'équation de l'asymptote verticale.

Partie B. 1) Étudier le signe de $f(x)-a$ selon les valeurs de $x$. 2) En déduire, selon les valeurs de $x$, si la courbe de $f$ est au-dessus ou en dessous de son asymptote horizontale.

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

A.1
$5x-1=\dfrac52(2x+4)-11$ (car $\dfrac52(2x+4)=5x+10$, et $-1-10=-11$), donc $a=\dfrac52$, $b=-11$ : $f(x)=\dfrac52-\dfrac{11}{2x+4}$.
A.2
Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{11}{2x+4}\to0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac52$. Asymptote horizontale : $y=\dfrac52$.
A.3
Quand $x\to(-2)^+$, $2x+4\to0^+$, donc $-\dfrac{11}{2x+4}\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$. Quand $x\to(-2)^-$, $2x+4\to0^-$, donc $-\dfrac{11}{2x+4}\to+\infty$ et $f(x)\to+\infty$. Asymptote verticale : $x=-2$.
B.1
$f(x)-\dfrac52=-\dfrac{11}{2x+4}$. Pour $x>-2$, $2x+4>0$ donc $-\dfrac{11}{2x+4}<0$ : $f(x)<\dfrac52$. Pour $x<-2$, $2x+4<0$ donc $-\dfrac{11}{2x+4}>0$ : $f(x)>\dfrac52$.
B.2
Sur $]-2;+\infty[$, la courbe de $f$ reste en dessous de l'asymptote $y=\dfrac52$ ; sur $]-\infty;-2[$, elle reste au-dessus.

Chapitre XX — Dérivation en un point et sur un intervalle

1

QCM — Nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=x^2$. Le nombre dérivé $f'(3)$ vaut :
a) $3$   b) $6$   c) $9$   d) $0$

2) Sachant $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$, la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ a pour équation :
a) $y=-3x+11$   b) $y=5x-3$   c) $y=-3x-1$   d) $y=3x+5$

3) La dérivée de $g(x)=\cos(4x-1)$ est :
a) $-4\sin(4x-1)$   b) $4\sin(4x-1)$   c) $-\sin(4x-1)$   d) $4\cos(4x-1)$

4) La dérivée de $\dfrac{x-2}{x+3}$ est :
a) $\dfrac5{(x+3)^2}$   b) $\dfrac1{(x+3)^2}$   c) $\dfrac{-5}{(x+3)^2}$   d) $1$

1
Réponse : b. $f'(x)=2x$, donc $f'(3)=6$.
2
Réponse : a. $y=f(2)+f'(2)(x-2)=5-3(x-2)=5-3x+6=-3x+11$.
3
Réponse : a. $\bigl(\cos(ax+b)\bigr)'=-a\sin(ax+b)$ avec $a=4$, donc $g'(x)=-4\sin(4x-1)$.
4
Réponse : a. Avec $u=x-2$, $v=x+3$ : $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{(x+3)-(x-2)}{(x+3)^2}=\dfrac5{(x+3)^2}$.
2

Situation d'intégration — Vitesse d'un taxi-brousse

Moyen Situation
▼
Débloquer

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un chauffeur de taxi-brousse effectue le trajet Ouahigouya–Ouagadougou. Il modélise la distance parcourue depuis le départ, en kilomètres, par $d(t)=-2t^2+50t$, où $t$ est le temps écoulé en heures, $t\in[0;5]$.

Sur une portion de route particulière, la limitation de vitesse est fixée à $90$ km/h. Le chauffeur veut vérifier s'il respecte cette limitation exactement à l'instant $t=2$ heures après son départ.

Consigne : Calculer le nombre dérivé $d'(2)$ en utilisant la définition (taux de variation entre $2$ et $2+h$, puis limite quand $h\to0$), interpréter ce nombre comme une vitesse instantanée, et dire si le chauffeur respecte la limitation à cet instant.

1
Calcul de $d(2)$ et $d(2+h)$. $d(2)=-2(4)+100=92$. $d(2+h)=-2(2+h)^2+50(2+h)=-2(4+4h+h^2)+100+50h=-8-8h-2h^2+100+50h=92+42h-2h^2$.
2
Taux de variation. $\dfrac{d(2+h)-d(2)}h=\dfrac{42h-2h^2}h=42-2h$.
3
Limite. Quand $h\to0$, $42-2h\to42$, donc $d'(2)=42$ km/h.
4
Conclusion. $d'(2)=42$ représente la vitesse instantanée du taxi-brousse à $t=2$ h : $42$ km/h, largement en dessous de la limite de $90$ km/h. Le chauffeur respecte donc la limitation à cet instant précis.
3

Problème — Dérivation d'un polynôme et d'une racine carrée

Difficile Problème
▼
Débloquer

Problème — Soit $f(x)=x^3-4x+1$ et $g(x)=\sqrt{2x+3}$.

Partie A. 1) Calculer $f'(x)$. 2) Calculer $f'(1)$, puis $f(1)$. 3) En déduire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Partie B. 1) Donner l'ensemble de définition de $g$. 2) En utilisant la formule de dérivation de $x\mapsto\sqrt{ax+b}$, calculer $g'(x)$. 3) Calculer $g'(3)$.

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

A.1
$f'(x)=3x^2-4$.
A.2
$f'(1)=3-4=-1$. $f(1)=1-4+1=-2$.
A.3
$y=f(1)+f'(1)(x-1)=-2-1(x-1)=-2-x+1=-x-1$.
B.1
$g$ est définie si $2x+3\geqslant0$, soit $x\geqslant-\dfrac32$ : $\mathcal D_g=\left[-\dfrac32;+\infty\right[$.
B.2
Pour $\sqrt{ax+b}$, la dérivée vaut $\dfrac a{2\sqrt{ax+b}}$ (cas particulier de $\bigl(f(ax+b)\bigr)'=a\,f'(ax+b)$ avec $f=\sqrt{\ }$). Ici $a=2$ : $g'(x)=\dfrac2{2\sqrt{2x+3}}=\dfrac1{\sqrt{2x+3}}$.
B.3
$g'(3)=\dfrac1{\sqrt{9}}=\dfrac13$.

Chapitre XXI — Application de la dérivation

1

QCM — Variations, extremums, bijection

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Si $f'(x)>0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est sur $I$ :
a) constante   b) croissante   c) décroissante   d) non dérivable

2) Si $f$ est dérivable et admet un extremum local en $a$, intérieur à $I$, alors :
a) $f(a)=0$   b) $f'(a)=0$   c) $f''(a)=0$   d) $f(a)=a$

3) Pour appliquer le théorème de la bijection monotone à $f$ sur $[a;b]$, il faut que $f$ soit :
a) continue seulement   b) dérivable et $f'$ de signe constant sur $[a;b]$   c) positive sur $[a;b]$   d) paire

4) La courbe de $|f|$ s'obtient à partir de celle de $f$ en :
a) la translatant vers le haut   b) repliant vers le haut, par symétrie d'axe $(Ox)$, les portions où $f$ est négative   c) l'inversant totalement   d) rien ne change

1
Réponse : b. $f'$ positive sur $I$ signifie que $f$ est croissante sur $I$ (théorème admis).
2
Réponse : b. Un extremum local en un point intérieur à $I$ annule nécessairement la dérivée en ce point.
3
Réponse : b. Le théorème exige $f$ dérivable sur $[a;b]$ avec $f'$ de signe constant (donc $f$ strictement monotone).
4
Réponse : b. $|f|$ coïncide avec $f$ là où $f\geqslant0$, et avec $-f$ (symétrique par rapport à $(Ox)$) là où $f<0$.
2

Situation d'intégration — Bénéfice d'une exploitante de manguiers

Moyen Situation
▼
Débloquer

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une exploitante de manguiers de la Boucle du Mouhoun vend sa récolte sur le marché local. Son bénéfice, en milliers de FCFA, est modélisé par $B(x)=-x^2+18x-45$, où $x$ est le nombre de tonnes vendues, $x\in[0;16]$.

Elle souhaite déterminer la quantité à vendre pour obtenir le bénéfice le plus élevé possible, sans gaspiller de récolte en vendant au-delà de cette quantité optimale.

Consigne : Calculer $B'(x)$, étudier son signe sur $[0;16]$, en déduire les variations de $B$ sur cet intervalle, puis déterminer la quantité optimale à vendre et le bénéfice maximal correspondant.

1
Dérivée. $B'(x)=-2x+18$.
2
Signe. $B'(x)=0\iff x=9$. $B'(x)>0$ pour $x<9$, $B'(x)<0$ pour $x>9$.
3
Variations. $B$ est croissante sur $[0;9]$ et décroissante sur $[9;16]$ : elle admet un maximum en $x=9$.
4
Conclusion. $B(9)=-81+162-45=36$. L'exploitante doit vendre $9$ tonnes pour obtenir un bénéfice maximal de $36\,000$ FCFA.
3

Problème — Étude complète, bijection monotone et fonction associée

Difficile Problème
▼
Débloquer

Problème — Soit $f(x)=-x^2+4x-1$, définie sur $\mathbb{R}$.

Partie A. 1) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. 2) En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de son maximum.

Partie B. 1) Justifier que $f$ réalise une bijection de $[2;5]$ sur un intervalle à préciser. 2) En déduire que l'équation $f(x)=-4$ admet une unique solution dans $[2;5]$, puis la déterminer.

Partie C. Déterminer les racines de $f$, puis donner l'expression de $f^+(x)$ (partie positive de $f$) selon les valeurs de $x$.

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

A.1
$f'(x)=-2x+4$. $f'(x)=0\iff x=2$. $f'(x)>0$ pour $x<2$, $f'(x)<0$ pour $x>2$.
A.2
$f$ est croissante sur $]-\infty;2]$, décroissante sur $[2;+\infty[$ : maximum en $x=2$, $f(2)=-4+8-1=3$.
B.1
Sur $[2;5]\subset[2;+\infty[$, $f$ est dérivable et $f'(x)<0$ (signe constant) : $f$ réalise une bijection de $[2;5]$ sur $[f(5);f(2)]$. $f(5)=-25+20-1=-6$, donc $f$ est bijective de $[2;5]$ sur $[-6;3]$.
B.2
$-4\in[-6;3]$ : d'après le théorème, $f(x)=-4$ admet une unique solution dans $[2;5]$. On résout : $-x^2+4x-1=-4\iff x^2-4x-3=0$. Discriminant $\Delta=16+12=28$, racines $x=2\pm\sqrt7$. Seule $x=2+\sqrt7\approx4{,}65\in[2;5]$ convient : $\mathcal S=\{2+\sqrt7\}$.
C
Racines de $f$ : $x^2-4x+1=0$, $\Delta=16-4=12$, $x=2\pm\sqrt3$. $f$ (parabole tournée vers le bas) est positive entre ses racines : $f^+(x)=f(x)$ pour $x\in[2-\sqrt3;2+\sqrt3]$, et $f^+(x)=0$ ailleurs.
Mode hors-ligne — données en cache