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Exercices — Première Série D — Géométrie espace & Statistiques

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Exercices — Géométrie de l'espace & Statistiques

Parallélisme, orthogonalité & sphère · Sections planes des polyèdres · Statistiques : caractéristiques de dispersion

Première Série D · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre XXIV — Parallélisme, orthogonalité & sphère

1

QCM — Parallélisme, orthogonalité & sphère

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Sphère de centre $O$ et de rayon $R=10$. Un plan $P$ est à distance $d=6$ de $O$. La section est :
a) un cercle de rayon $8$   b) un point unique   c) vide   d) un cercle de rayon $6$

2) Si $d=R$, le plan $P$ est :
a) sécant   b) tangent   c) extérieur   d) confondu avec la sphère

3) Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de montrer qu'elle est orthogonale à :
a) une droite du plan   b) deux droites parallèles du plan   c) deux droites sécantes du plan   d) toutes les droites du plan, une par une

4) Sphère de rayon $R=7$. Un plan $P$ est à distance $d=9$ de son centre. La section est :
a) un cercle   b) un point   c) vide (plan extérieur)   d) indéterminée

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1
Réponse : a. $d=6<R=10$ : plan sécant, rayon $r=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$.
2
Réponse : b. $d=R$ : le plan est tangent à la sphère en un unique point.
3
Réponse : c. Orthogonale à deux droites sécantes du plan suffit pour être orthogonale à tout le plan.
4
Réponse : c. $d=9>R=7$ : plan extérieur, aucune intersection.
2

Situation d'intégration — Château d'eau sphérique

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un château d'eau de forme sphérique, de rayon $6$ m, alimente un village. Une canalisation horizontale traverse le terrain dans un plan situé à $4{,}5$ m du centre du réservoir, et coupe donc la sphère selon un cercle.

Le cahier des charges de l'entreprise de construction impose qu'au niveau de cette canalisation, le cercle d'intersection ait un rayon d'au moins $4$ m, afin de garantir suffisamment d'espace pour les supports structurels du réservoir.

Consigne : Calculer le rayon du cercle formé par l'intersection du plan et de la sphère (arrondi au centième), puis dire si l'installation respecte l'exigence du cahier des charges.

1
Nature de la section. $R=6$, $d=4{,}5$ : $d<R$, le plan est sécant, la section est un cercle de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$.
2
Calcul. $r=\sqrt{6^2-4{,}5^2}=\sqrt{36-20{,}25}=\sqrt{15{,}75}\approx3{,}97$ m.
3
Conclusion. $3{,}97$ m $<4$ m : l'installation ne respecte pas tout à fait l'exigence du cahier des charges (le rayon obtenu est légèrement inférieur au minimum demandé) — il faudrait rapprocher légèrement la canalisation du centre du réservoir pour l'atteindre.
3

Problème — Sphère et plan tangent

Difficile Problème
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Problème — Une sphère de centre $O$ a pour rayon $R=17$.

Partie A. 1) Un plan $P_1$ est situé à distance $d_1=8$ de $O$. Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon exact. 2) Un plan $P_2$ est situé à distance $d_2=17$ de $O$. Quelle est la nature de la section ?

Partie B. On considère à présent un plan $P_3$ dont on sait qu'il coupe la sphère selon un cercle de rayon $r_3=15$. 1) Calculer la distance $d_3$ du centre $O$ au plan $P_3$. 2) Comparer $d_3$ et $d_1$ (de la Partie A) et en déduire lequel des deux plans, $P_1$ ou $P_3$, est le plus proche du centre $O$.

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A.1
$d_1=8<17=R$ : plan sécant. Rayon $r_1=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$.
A.2
$d_2=17=R$ : plan tangent à la sphère en un unique point.
B.1
$r_3=\sqrt{R^2-d_3^2}$ donne $d_3=\sqrt{R^2-r_3^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$.
B.2
$d_3=8=d_1$ : les plans $P_1$ et $P_3$ sont en réalité à la même distance du centre $O$ (cohérent : ils donnent d'ailleurs le même rayon de section, $15$) — aucun des deux n'est plus proche que l'autre.

Chapitre XXV — Sections planes des polyèdres usuels

1

QCM — Sections planes des polyèdres

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Deux points d'une section plane sont situés sur une même face d'un polyèdre. Pour tracer la section sur cette face, on :
a) les relie par un arc   b) les relie par un segment direct   c) ne peut rien tracer   d) doit connaître un 3ᵉ point

2) Un plan sécant coupe deux faces parallèles d'un cube. Les deux traces obtenues sur ces faces sont :
a) sécantes   b) parallèles   c) confondues   d) perpendiculaires

3) $I,J,K$ sont les milieux de trois arêtes de longueur $a$ issues d'un même sommet d'un cube. La longueur $IJ$ vaut :
a) $a\sqrt2$   b) $\dfrac{a}{\sqrt2}$   c) $a$   d) $\dfrac{a^2}{2}$

4) Le triangle $IJK$ formé par trois milieux d'arêtes issues d'un même sommet d'un cube est :
a) rectangle   b) isocèle non équilatéral   c) équilatéral   d) quelconque

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1
Réponse : b. Deux points de la section déjà situés sur une même face se relient directement par un segment, qui est un côté de la section.
2
Réponse : b. Un même plan coupe deux faces parallèles selon deux droites parallèles.
3
Réponse : b. Dans le triangle rectangle formé par les deux demi-arêtes de longueur $a/2$ : $IJ=\sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2}=\sqrt{a^2/2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
4
Réponse : c. Les trois arêtes issues d'un même sommet d'un cube sont de même longueur et deux à deux perpendiculaires : les trois côtés de $IJK$ sont égaux, le triangle est équilatéral.
2

Situation d'intégration — Chanfrein d'un bloc de béton

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un maçon doit couper le coin d'un bloc de béton cubique d'arête $20$ cm selon un plan passant par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet, afin de créer un chanfrein décoratif pour un rebord de fenêtre.

L'architecte a fixé une tolérance : la surface de béton retirée par cette découpe (l'aire du triangle formé par la section) ne doit pas dépasser $150$ cm², pour ne pas fragiliser l'angle du bloc.

Consigne : Déterminer la longueur d'un côté du triangle formé par la section, calculer son aire, et vérifier si la découpe respecte la tolérance fixée par l'architecte.

1
Longueur d'un côté. $IJ=\dfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{20}{\sqrt2}=10\sqrt2\approx14{,}14$ cm — le triangle $IJK$ est équilatéral de côté $10\sqrt2$ cm.
2
Aire du triangle équilatéral. $\mathcal A=\dfrac{\sqrt3}{4}\times(10\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\times200=50\sqrt3\approx86{,}6$ cm².
3
Conclusion. $86{,}6$ cm² $<150$ cm² : la découpe respecte largement la tolérance fixée par l'architecte.
3

Problème — Section d'un pavé droit

Difficile Problème
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Problème — $ABCDEFGH$ est un pavé droit avec $AB=8$, $AD=6$, $AE=4$ (les faces sont donc des rectangles, pas des carrés). $I$, $J$, $K$ sont les milieux respectifs des arêtes $[BA]$, $[BC]$, $[BF]$, issues du sommet $B$.

Partie A. 1) Calculer $BI$, $BJ$ et $BK$. 2) En utilisant le théorème de Pythagore dans chacune des faces $ABCD$, $BCGF$ et $ABFE$, calculer $IJ$, $JK$ et $KI$.

Partie B. Le triangle $IJK$ est-il équilatéral, isocèle (non équilatéral), ou scalène (trois côtés de longueurs différentes) ? Justifier à l'aide des résultats de la Partie A.

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A.1
$I$ milieu de $[BA]$ ($BA=8$) : $BI=4$. $J$ milieu de $[BC]$ ($BC=6$) : $BJ=3$. $K$ milieu de $[BF]$ ($BF=4$) : $BK=2$.
A.2
Face $ABCD$ (angle droit en $B$ entre $BA$ et $BC$) : $IJ=\sqrt{BI^2+BJ^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. Face $BCGF$ (angle droit en $B$ entre $BC$ et $BF$) : $JK=\sqrt{BJ^2+BK^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$. Face $ABFE$ (angle droit en $B$ entre $BA$ et $BF$) : $KI=\sqrt{BK^2+BI^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
B
$IJ=5$, $JK=\sqrt{13}\approx3{,}61$, $KI=2\sqrt5\approx4{,}47$ : les trois longueurs sont deux à deux différentes. Le triangle $IJK$ est scalène — à la différence du cube (arêtes égales) où le même type de construction donne toujours un triangle équilatéral, les longueurs différentes des arêtes du pavé droit brisent cette symétrie.

Chapitre XXVI — Statistiques : caractéristiques de dispersion

1

QCM — Caractéristiques de dispersion

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Pour la série $4,6,6,8$, l'étendue vaut :
a) $2$   b) $4$   c) $6$   d) $8$

2) La formule simplifiée de la variance est :
a) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x$   b) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$   c) $V=\bar x^2-\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)$   d) $V=\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)$

3) L'écart-type $\sigma$ est égal à :
a) $V^2$   b) $\sqrt V$   c) $\dfrac Vn$   d) $nV$

4) Pour la série $2,2,2,2$, la variance vaut :
a) $0$   b) $2$   c) $4$   d) indéfinie

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1
Réponse : b. Étendue $=\max-\min=8-4=4$.
2
Réponse : b. $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$ (« moyenne des carrés moins carré de la moyenne »).
3
Réponse : b. $\sigma=\sqrt V$ par définition.
4
Réponse : a. Toutes les valeurs sont identiques à la moyenne : aucun écart, donc $V=0$.
2

Situation d'intégration — Prix du kilogramme de tomate, vallée du Kou

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative maraîchère de la vallée du Kou relève, le même jour, le prix de vente (en francs CFA) du kilogramme de tomate sur $5$ marchés partenaires : $250$, $275$, $260$, $245$, $270$.

Avant de fixer un prix de référence commun à tous les marchés, la coopérative veut vérifier si ces prix sont suffisamment homogènes. Elle a fixé comme critère : si l'écart-type des prix dépasse $15$ FCFA, les prix sont jugés trop dispersés pour fixer un prix unique.

Consigne : Calculer le prix moyen, la variance (à l'aide de la formule simplifiée) puis l'écart-type de cette série (arrondi au centième), et conclure si la coopérative peut fixer un prix de référence unique.

1
Moyenne. $\bar x=\dfrac{250+275+260+245+270}5=\dfrac{1\,300}5=260$ FCFA.
2
Variance (formule simplifiée). $\sum x_i^2=250^2+275^2+260^2+245^2+270^2=62\,500+75\,625+67\,600+60\,025+72\,900=338\,650$. $V=\dfrac{338\,650}5-260^2=67\,730-67\,600=130$.
3
Écart-type. $\sigma=\sqrt{130}\approx11{,}40$ FCFA.
4
Conclusion. $11{,}40<15$ : les prix sont suffisamment homogènes, la coopérative peut fixer un prix de référence commun d'environ $260$ FCFA/kg.
3

Problème — Pluviométrie de deux régions

Difficile Problème
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Problème — On compare les précipitations mensuelles (en mm) de deux régions sur $4$ mois.

Région A : $80$, $85$, $75$, $80$. Région B : $40$, $100$, $60$, $120$.

Partie A. Calculer la moyenne, l'étendue, l'écart-moyen, la variance (formule simplifiée) et l'écart-type de la région A.

Partie B. Calculer les mêmes caractéristiques pour la région B.

Partie C. Comparer les deux régions et conclure sur celle qui présente le risque agricole lié à l'irrégularité des pluies le plus élevé.

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A
Région A. $\bar x=\dfrac{80+85+75+80}4=\dfrac{320}4=80$. Étendue $=85-75=10$. Écarts : $0,5,-5,0$, écart-moyen $e=\dfrac{0+5+5+0}4=2{,}5$. $\sum x_i^2=6\,400+7\,225+5\,625+6\,400=25\,650$, $V=\dfrac{25\,650}4-80^2=6\,412{,}5-6\,400=12{,}5$, $\sigma=\sqrt{12{,}5}\approx3{,}54$.
B
Région B. $\bar x=\dfrac{40+100+60+120}4=\dfrac{320}4=80$ (même moyenne que A). Étendue $=120-40=80$. Écarts : $-40,20,-20,40$, écart-moyen $e=\dfrac{40+20+20+40}4=30$. $\sum x_i^2=1\,600+10\,000+3\,600+14\,400=29\,600$, $V=\dfrac{29\,600}4-80^2=7\,400-6\,400=1\,000$, $\sigma=\sqrt{1\,000}\approx31{,}62$.
C
Conclusion. Les deux régions ont exactement la même moyenne pluviométrique ($80$ mm), mais des dispersions radicalement différentes ($\sigma\approx3{,}54$ pour A contre $\sigma\approx31{,}62$ pour B, presque $9$ fois plus élevé). La région A est beaucoup plus homogène ; la région B, malgré la même moyenne, présente une forte irrégularité pluviométrique d'un mois à l'autre, donc un risque agricole nettement plus élevé (alternance de mois très secs et très pluvieux).
Mode hors-ligne — données en cache