Applications, Polynômes & Systèmes
Applications injectives, surjectives, bijectives et réciproque — polynômes, factorisation et fractions rationnelles — équations avec radicaux et systèmes linéaires. Programme officiel de Première Série C et E.
Applications : injection, surjection, bijection
1.1 — Injection, surjection, bijection
Soit \(f:E\to F\) une application. \(f\) est injective si deux éléments distincts de \(E\) ont toujours des images distinctes. \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) admet au moins un antécédent dans \(E\). \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de \(F\) admet alors exactement un antécédent, ce qui définit l'application réciproque \(f^{-1}:F\to E\).
Le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=\lambda\) est directement lié à la nature de \(f\) : au plus une solution si \(f\) est injective, au moins une si \(f\) est surjective, exactement une si \(f\) est bijective — ce qui se lit aussi bien par le calcul que sur le graphique (nombre de points d'intersection avec la droite horizontale \(y=\lambda\)).
\(f(x)=x^2\) définie sur \(\mathbb R\) n'est ni injective (\(f(-1)=f(1)=1\)) ni surjective sur \(\mathbb R\) (aucun antécédent pour les valeurs négatives). En revanche, restreinte à \([0;+\infty[\) au départ et à l'arrivée, \(f\) devient bijective : sa réciproque est \(f^{-1}(x)=\sqrt x\).
Figure — \(f(x)=x^2\) et sa réciproque \(f^{-1}(x)=\sqrt x\) sur \([0;+\infty[\)
Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\) (pointillée) : c'est toujours le cas pour une bijection et sa réciproque.
1.2 — Composition d'applications
Si \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\), la composée \(g\circ f:E\to G\) est définie par \((g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\). En général, \(g\circ f\neq f\circ g\).
Soit \(f(x)=3x-1\) et \(g(x)=x^2+2\).
\[ (g\circ f)(x)=g(3x-1)=(3x-1)^2+2=9x^2-6x+3, \] \[ (f\circ g)(x)=f(x^2+2)=3(x^2+2)-1=3x^2+5. \]On vérifie bien que \(g\circ f\neq f\circ g\).
1.Bac — Exercice type Bac
Question 1. Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2-4\). \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Non injective : \(f(-1)=f(1)=-3\). Non surjective sur \(\mathbb R\) : \(f\) admet un minimum \(-4\), donc aucune valeur inférieure à \(-4\) n'a d'antécédent.
Question 2. Soit \(f(x)=2x-3\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
\(f\) est affine de coefficient directeur non nul : elle est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x-3\), on obtient \(x=\dfrac{y+3}2\), donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}2\).
Question 3. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=2x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\).
\((g\circ f)(x)=2(x+1)^2=2x^2+4x+2\). \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).
Éléments distincts ⟹ images distinctes.
Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent.
Injective et surjective ⟹ réciproque \(f^{-1}\) définie.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\), en général \(\neq f\circ g\).