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Exercices — Première Série C et E — Algèbre

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Exercices — Algèbre

Applications · Polynômes & fractions rationnelles · Radicaux & systèmes

Première Série C et E · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre 1 — Applications : injection, surjection, bijection

1

QCM — Applications, injection, surjection, composition

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. L'application $f$ est :
a) injective seulement   b) surjective seulement   c) bijective   d) ni injective ni surjective

2) Soit $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x^2+1$. L'application $g$ est :
a) injective   b) surjective   c) bijective   d) ni injective ni surjective

3) Soit $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2-3$. $(g\circ f)(x)$ est égal à :
a) $4x^2+4x-2$   b) $4x^2+1$   c) $2x^2+2x-3$   d) $4x^2-2$

4) Avec les mêmes $f$ et $g$ qu'en 3), $(f\circ g)(x)$ est égal à :
a) $2x^2-5$   b) $2x^2+5$   c) $4x^2-11$   d) $2x^2-6$

1
Réponse : c. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (donc injective) et $f(x)\to\pm\infty$ quand $x\to\pm\infty$, donc l'image est $\mathbb{R}$ tout entier (surjective) : $f$ est bijective.
2
Réponse : d. $g(-1)=g(1)=2$ donc $g$ n'est pas injective ; l'image de $g$ est $[1;+\infty[\neq\mathbb{R}$, donc $g$ n'est pas surjective non plus.
3
Réponse : a. $(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2-3=4x^2+4x+1-3=4x^2+4x-2$.
4
Réponse : a. $(f\circ g)(x)=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1=2x^2-6+1=2x^2-5$.
2

Situation d'intégration — Coopérative de karité de Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
▼
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation du karité à Bobo-Dioulasso modélise le coût total de production (en francs CFA) de $x$ kilogrammes de beurre de karité par $C(x) = 500x + 20\,000$, pour $x\in[0;+\infty[$.

Consigne :

1) Montrer que $C$ est une bijection de $[0;+\infty[$ vers $[20\,000;+\infty[$.

2) Déterminer $C^{-1}(y)$ pour $y\geqslant20\,000$.

3) Lors d'une commande, la coopérative a dépensé exactement $145\,000$ FCFA. Combien de kilogrammes ont été produits ?

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1
$C$ est affine de coefficient directeur $500>0$ : elle est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, donc injective. $C(0)=20\,000$ et $C(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ : par continuité et stricte croissance, l'image de $C$ est exactement $[20\,000;+\infty[$, donc $C$ est surjective sur cet intervalle. $C$ est donc bijective de $[0;+\infty[$ vers $[20\,000;+\infty[$.
2
$y=500x+20\,000 \iff x=\dfrac{y-20\,000}{500}$. Donc $C^{-1}(y)=\dfrac{y-20\,000}{500}$.
3
$x=C^{-1}(145\,000)=\dfrac{145\,000-20\,000}{500}=\dfrac{125\,000}{500}=250$ kg de beurre de karité ont été produits.
3

Problème — Bijection, composition et signe d'un trinôme

Difficile Problème
▼
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Problème — Soit $f(x)=3x-2$ et $g(x)=x^2+4x+1$, toutes deux définies sur $\mathbb{R}$.

Partie A. 1) Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ et déterminer $f^{-1}$. 2) Résoudre l'équation $f(x)=g(0)$.

Partie B. 1) Calculer $(g\circ f)(x)$ et $(f\circ g)(x)$. 2) Résoudre l'équation $(g\circ f)(x)=0$.

Partie C. Étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ (on déterminera ses racines).

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A.1
$f$ est affine de coefficient directeur $3\neq0$ : elle est bijective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$. En posant $y=3x-2$, on obtient $x=\dfrac{y+2}{3}$, donc $f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}$.
A.2
$g(0)=0+0+1=1$. $f(x)=1 \iff 3x-2=1 \iff x=1$.
B.1
$(g\circ f)(x)=g(3x-2)=(3x-2)^2+4(3x-2)+1=9x^2-12x+4+12x-8+1=9x^2-3$. $(f\circ g)(x)=f(x^2+4x+1)=3(x^2+4x+1)-2=3x^2+12x+3-2=3x^2+12x+1$.
B.2
$(g\circ f)(x)=0 \iff 9x^2-3=0 \iff x^2=\dfrac13 \iff x=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}$.
C
Discriminant de $g$ : $\Delta=4^2-4(1)(1)=16-4=12$. Racines : $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt3$. Un trinôme est du signe de $a$ ($a=1>0$) à l'extérieur des racines, du signe opposé entre elles : $g(x)>0$ sur $]-\infty;-2-\sqrt3[\cup]-2+\sqrt3;+\infty[$, $g(x)<0$ sur $]-2-\sqrt3;-2+\sqrt3[$, $g(x)=0$ aux racines.

Chapitre 2 — Polynômes & fractions rationnelles

1

QCM — Polynômes & fractions rationnelles

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le polynôme $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ s'annule en $x=1$. Le quotient de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$ est :
a) $x^2-5x+6$   b) $x^2-5x-6$   c) $x^2+5x+6$   d) $x^2-6x+11$

2) Le trinôme $x^2+2x-15$ a pour racines :
a) $3$ et $-5$   b) $-3$ et $5$   c) $5$ et $3$   d) $-3$ et $-5$

3) Pour $x\neq-4$ et $x\neq-2$, la fraction $\dfrac{x^2-16}{x^2-2x-8}$ se simplifie en :
a) $\dfrac{x+4}{x+2}$   b) $\dfrac{x-4}{x+2}$   c) $\dfrac{x+4}{x-2}$   d) $\dfrac{x-4}{x-2}$

4) Le trinôme $x^2-9x+20$ se factorise en :
a) $(x-4)(x-5)$   b) $(x-4)(x+5)$   c) $(x+4)(x-5)$   d) $(x-2)(x-10)$

1
Réponse : a. $(x-1)(x^2-5x+6)=x^3-5x^2+6x-x^2+5x-6=x^3-6x^2+11x-6$. ✓
2
Réponse : a. Somme $=-2$, produit $=-15$ : $3+(-5)=-2$ et $3\times(-5)=-15$.
3
Réponse : a. $x^2-16=(x-4)(x+4)$ et $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$ (somme $2$, produit $-8$ : racines $4$ et $-2$). En simplifiant par $(x-4)$ : $\dfrac{x+4}{x+2}$.
4
Réponse : a. Somme $=9$, produit $=20$ : racines $4$ et $5$.
2

Situation d'intégration — Coopérative fruitière de la Boucle du Mouhoun

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative fruitière de la Boucle du Mouhoun modélise son bénéfice mensuel (en milliers de FCFA), en fonction du tonnage $x$ de mangues séchées vendues, par $B(x)=x^3-7x^2+7x+15$ pour $x\in[0;10]$. Un stagiaire a déjà repéré que $B(5)=0$ (seuil de rentabilité nulle à $5$ tonnes), et le gérant veut savoir s'il existe un autre seuil de rentabilité nulle dans la plage d'exploitation habituelle $[0;10]$.

Consigne :

1) Vérifier que $5$ est racine de $B$, puis déterminer les réels $a,b$ tels que $B(x)=(x-5)(x^2+ax+b)$.

2) Résoudre complètement l'équation $B(x)=0$.

3) Le gérant peut-il affirmer qu'aucun autre seuil de rentabilité nulle n'existe sur $[0;10]$ ? Conclure.

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1
$B(5)=125-175+35+15=0$. ✓. Par identification : $(x-5)(x^2+ax+b)=x^3+(a-5)x^2+(b-5a)x-5b$. En comparant à $x^3-7x^2+7x+15$ : $a-5=-7\Rightarrow a=-2$ ; $-5b=15\Rightarrow b=-3$ ; vérification sur le terme en $x$ : $b-5a=-3+10=7$ ✓. Donc $B(x)=(x-5)(x^2-2x-3)$.
2
$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ (somme $2$, produit $-3$ : racines $3$ et $-1$). Donc $B(x)=(x-5)(x-3)(x+1)$ et $B(x)=0 \iff x\in\{-1;3;5\}$.
3
Sur $[0;10]$, les racines $-1$ (exclue) laissent $3$ et $5$, toutes deux dans $[0;10]$. Le gérant ne peut donc pas être rassuré : il existe bien un second seuil de rentabilité nulle à $x=3$ tonnes, en plus de celui déjà repéré à $x=5$.
3

Problème — Factorisation, fraction rationnelle et injectivité

Difficile Problème
▼
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Problème — Soit $Q(x)=x^3-3x^2-4x+12$.

Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$. 2) Déterminer les réels $a,b$ tels que $Q(x)=(x-2)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $Q(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère $f:\mathbb{R}\setminus\{-2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{Q(x)}{x+2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ à l'aide de la Partie A. 2) Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.

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A.1
$Q(2)=8-12-8+12=0$ : $2$ est bien racine de $Q$.
A.2
Par identification : $Q(x)=(x-2)(x^2-x-6)$, soit $a=-1$, $b=-6$.
A.3
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ (somme $1$, produit $-6$ : racines $3$ et $-2$). Donc $Q(x)=(x-2)(x-3)(x+2)$ et $\mathcal S=\{-2;2;3\}$.
B.1
$f(x)=\dfrac{(x-2)(x-3)(x+2)}{x+2}=(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$ pour $x\neq-2$.
B.2
$f(x)=(x-2)(x-3)$ : signe d'un trinôme entre ses racines. $f(x)<0$ sur $]2;3[$, $f(x)>0$ sur $]-\infty;2[\cup]3;+\infty[$ (privé de $-2$), $f(2)=f(3)=0$.
B.3
$f'(x)=2x-5$, donc $f'(x)>0$ pour $x>2{,}5$, en particulier sur $[3;+\infty[$ : $f$ est strictement croissante sur $[3;+\infty[$, donc $g$ est injective sur cet intervalle.

Chapitre 3 — Équations avec radicaux & systèmes

1

QCM — Radicaux & systèmes

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM autour de l'équation $\sqrt{x+3}=x-3$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La condition d'existence de cette équation est :
a) $x\geqslant-3$   b) $x\geqslant3$   c) $x\geqslant0$   d) $x\leqslant3$

2) Après élévation au carré, l'équation obtenue est :
a) $x^2-7x+6=0$   b) $x^2-5x+6=0$   c) $x^2-6x+9=0$   d) $x^2-7x-6=0$

3) Les solutions de cette équation du second degré sont :
a) $1$ et $6$   b) $-1$ et $-6$   c) $2$ et $3$   d) $1$ et $-6$

4) La (les) solution(s) de l'équation de départ $\sqrt{x+3}=x-3$ est (sont) :
a) $x=1$   b) $x=6$   c) $x=1$ et $x=6$   d) aucune solution

1
Réponse : b. Il faut $x-3\geqslant0$ (le membre de droite est une racine carrée, donc positive ou nulle), soit $x\geqslant3$.
2
Réponse : a. $x+3=(x-3)^2=x^2-6x+9 \iff x^2-6x+9-x-3=0 \iff x^2-7x+6=0$.
3
Réponse : a. Somme $=7$, produit $=6$ : racines $1$ et $6$.
4
Réponse : b. La condition $x\geqslant3$ élimine $x=1$ (solution parasite) ; seul $x=6$ convient. Vérification : $\sqrt{6+3}=\sqrt9=3=6-3$. ✓
2

Situation d'intégration — Kermesse d'un lycée de Koudougou

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Le comité des fêtes d'un lycée de Koudougou achète 3 types d'articles pour la kermesse annuelle : des t-shirts (2 000 FCFA l'unité), des casquettes (1 500 FCFA l'unité) et des gourdes (3 000 FCFA l'unité). On note $x$, $y$, $z$ les nombres respectifs de t-shirts, casquettes et gourdes achetés. Le comité a acheté $30$ articles au total, pour une dépense totale de $57\,500$ FCFA, et il a acheté deux fois plus de t-shirts que de gourdes.

Consigne :

1) Traduire l'énoncé par un système de 3 équations à 3 inconnues $x$, $y$, $z$.

2) Résoudre ce système par la méthode du pivot de Gauss.

3) Combien de casquettes le comité a-t-il achetées ?

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1
$\begin{cases} x+y+z=30 \\ 2000x+1500y+3000z=57\,500 \\ x=2z \end{cases}$, soit après simplification de la 2ᵉ ligne par $500$ : $4x+3y+6z=115$.
2
$L_2\leftarrow L_2-4L_1$ : $(4x+3y+6z)-4(x+y+z)=115-120$, soit $-y+2z=-5$. La 3ᵉ ligne donne directement $x=2z$. En reportant dans $L_1$ : $2z+y+z=30 \Rightarrow y=30-3z$. En reportant dans $-y+2z=-5$ : $-(30-3z)+2z=-5 \iff -30+3z+2z=-5 \iff 5z=25 \iff z=5$. D'où $y=30-15=15$ et $x=2(5)=10$.
3
Le comité a acheté $\boxed{15}$ casquettes (avec $10$ t-shirts et $5$ gourdes — on vérifie : $10+15+5=30$ articles et $10(2000)+15(1500)+5(3000)=20\,000+22\,500+15\,000=57\,500$ FCFA ✓).
3

Problème — Équation avec radical et système linéaire

Difficile Problème
▼
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Partie A — Équation avec radical. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x-2}=2x-3$.

Partie B — Système linéaire. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système :

$$\begin{cases} x+2y-z=3 \\ 2x-y+3z=11 \\ -x+3y+z=2 \end{cases}$$

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A.1
Condition : $2x-3\geqslant0 \iff x\geqslant\dfrac32$. En élevant au carré : $3x-2=(2x-3)^2=4x^2-12x+9 \iff 4x^2-15x+11=0$.
A.2
Discriminant : $\Delta=15^2-4(4)(11)=225-176=49=7^2$. Racines : $x=\dfrac{15\pm7}{8}$, soit $x=\dfrac{22}{8}=\dfrac{11}{4}$ ou $x=\dfrac{8}{8}=1$.
A.3
Seul $x=\dfrac{11}{4}=2{,}75$ vérifie $x\geqslant\dfrac32$ ($x=1$ est une solution parasite). Vérification : $3\left(\dfrac{11}4\right)-2=\dfrac{25}4$, $\sqrt{\dfrac{25}4}=\dfrac52$ et $2\left(\dfrac{11}4\right)-3=\dfrac{22}4-\dfrac{12}4=\dfrac{10}4=\dfrac52$. ✓ Solution unique : $x=\dfrac{11}{4}$.
B.1
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $(2x-y+3z)-2(x+2y-z)=11-6$, soit $-5y+5z=5 \iff -y+z=1$. $L_3\leftarrow L_3+L_1$ : $(-x+3y+z)+(x+2y-z)=2+3$, soit $5y=5 \iff y=1$.
B.2
Avec $y=1$ dans $-y+z=1$ : $z=2$. Avec $y=1$, $z=2$ dans $L_1$ : $x+2(1)-2=3 \iff x=3$. Solution : $(x;y;z)=(3;1;2)$.
Mode hors-ligne — données en cache