Homothéties, Réflexions & Rotations
Homothéties-translations et structure de groupe — réflexions, décomposition d'une translation en produit de deux réflexions d'axes parallèles — rotations, décomposition en produit de deux réflexions d'axes sécants et classification des isométries fixant un point. Programme officiel de Première Série C et E.
Homothéties et translations
1.1 — Caractérisation vectorielle et effet sur les angles orientés
Soit \(f\) une application du plan dans lui-même. \(f\) est une homothétie-translation si et seulement s'il existe un réel \(k\neq0\) tel que, pour tout bipoint \((M,N)\) du plan, en notant \(M'=f(M)\) et \(N'=f(N)\) :
\[ \overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}. \]Si \(k=1\), \(f\) est une translation (de vecteur \(\overrightarrow{AA'}\), le même pour tout point \(A\)). Si \(k\neq1\), \(f\) est une homothétie de rapport \(k\) : elle admet un unique point fixe \(\Omega\) (son centre), et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}. \]Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(2;1)\) et de rapport \(k=3\). Déterminer l'image de \(A(5;-1)\).
\[ \overrightarrow{\Omega A}=(3;-2)\ \Rightarrow\ \overrightarrow{\Omega A'}=3\times(3;-2)=(9;-6)\ \Rightarrow\ A'=\Omega+(9;-6)=(11;-5). \]Une homothétie-translation de rapport \(k\) transforme tout couple de vecteurs \((\vec u,\vec v)\) en \((\vec u{\,}',\vec v{\,}')=(k\vec u,k\vec v)\) et conserve l'angle orienté \((\vec u,\vec v)\), quel que soit le signe de \(k\) : si \(k>0\), les deux vecteurs sont dilatés dans la même direction ; si \(k<0\), les deux vecteurs sont retournés par une rotation de \(\pi\) qui, appliquée aux deux à la fois, ne change pas l'angle qui les sépare.
Soit \(\vec u(1;0)\) et \(\vec v(0;1)\) : \((\vec u,\vec v)=90°\). Pour \(k=-3\) : \(\vec u{\,}'=(-3;0)\) (direction \(180°\)) et \(\vec v{\,}'=(0;-3)\) (direction \(270°\)). L'angle orienté \((\vec u{\,}',\vec v{\,}')=270°-180°=90°\) : bien conservé, malgré \(k<0\).
Figure interactive — Homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\)
Faites glisser \(k\) : à \(k=1\) le triangle image coïncide avec l'original ; pour \(k<0\), l'image est retournée par rapport à \(\Omega\), sans que les angles du triangle ne changent.
1.2 — Réciproque, composition et groupe des homothéties-translations
La réciproque d'une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) est l'homothétie de même centre \(\Omega\) et de rapport \(\dfrac1k\). La réciproque d'une translation de vecteur \(\vec u\) est la translation de vecteur \(-\vec u\). La composée \(f_1\circ f_2\) de rapports \(k_1\) et \(k_2\) vérifie \(\overrightarrow{M'N'}=k_1k_2\,\overrightarrow{MN}\) : c'est donc encore une homothétie-translation, de rapport \(k_1k_2\) — une homothétie si \(k_1k_2\neq1\) (centre déterminé sur l'exemple), une translation si \(k_1k_2=1\).
\(h_1\) : centre \(A(1;0)\), rapport \(4\). \(h_2\) : centre \(B(4;0)\), rapport \(\dfrac14\). Comme \(4\times\dfrac14=1\), \(h_1\circ h_2\) est une translation. Image de \(O(0;0)\) :
\[ h_2(O)=B+\tfrac14(O-B)=(4;0)+\left(-1;0\right)=(3;0),\qquad h_1\bigl(h_2(O)\bigr)=A+4\bigl(h_2(O)-A\bigr)=(1;0)+4\times(2;0)=(9;0). \]\(h_1\circ h_2\) est donc la translation de vecteur \(\vec u(9;0)\).
L'ensemble des homothéties-translations, muni de la composition \(\circ\), forme un groupe :
• élément neutre : l'identité (\(k=1\)) ;
• stabilité : la composée de deux homothéties-translations
en est encore une (ci-dessus) ;
• inversibilité : chaque élément admet une réciproque dans
l'ensemble (ci-dessus) ;
• associativité : automatique, car il s'agit d'une
composition d'applications.
Ce groupe n'est pas commutatif en général : \(h_1\circ h_2\) et \(h_2\circ h_1\) ont le même rapport \(k_1k_2\), donc la même nature, mais pas nécessairement le même centre (ou le même vecteur de translation).
Une translation conserve les distances (c'est une isométrie). Une homothétie de rapport \(k\) multiplie toutes les distances par \(|k|\) : elle conserve l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles orientés, mais pas les distances (sauf si \(|k|=1\)).
1.Bac — Exercice type Bac
Question 1. Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(-1;3)\) et de rapport \(k=2\). Déterminer l'image de \(A(2;-1)\).
\(\overrightarrow{\Omega A}=(3;-4)\), donc \(\overrightarrow{\Omega A'}=2\times(3;-4)=(6;-8)\), soit \(A'=(-1+6;3-8)=(5;-5)\).
Question 2. Déterminer le centre et le rapport de la réciproque de \(h\).
Même centre \(\Omega(-1;3)\), rapport \(\dfrac12\).
Question 3. \(h_1\) : centre \(A(1;0)\), rapport \(4\). \(h_2\) : centre \(B(4;0)\), rapport \(\dfrac14\). Montrer que \(h_1\circ h_2\) est une translation et déterminer son vecteur.
\(4\times\dfrac14=1\), donc \(h_1\circ h_2\) est une translation, de vecteur \(\vec u(9;0)\) (calcul de l'image de \(O\) ci-dessus).
\(\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}\) : translation si \(k=1\), homothétie sinon.
Toujours conservés, quel que soit le signe de \(k\).
Homothétie \((\Omega,k)\to(\Omega,\frac1k)\) ; composée de rapport \(k_1k_2\).
Neutre, stable, inversible, associatif — non commutatif en général.