Analyse I
Fonctions, Suites, Logarithme, Exponentielle & Calcul Intégral
Les Fonctions Numériques
Les Fonctions Numériques
Limites, continuité, dérivabilité, branches infinies et étude complète de fonctions — programme complet avec méthodes et pièges à éviter.
📋 Sommaire du Chapitre
- Limites et Continuité
- Notion de limite, limites usuelles, formes indéterminées
- Théorèmes de comparaison (Gendarmes)
- Continuité, opérations, TVI
- Dérivabilité et Étude de Fonctions
- Nombre dérivé, interprétation géométrique
- Dérivées usuelles & règles de dérivation
- Variations, extremums, dérivée seconde
- Branches Infinies
- Asymptotes verticales, horizontales, obliques
- Branches paraboliques
- Représentation Graphique
- Méthodologie complète, tableaux de variations, tangentes
- Exemple Complet — Type Bac
I. Limites et Continuité
1.1. Rappels sur les Limites
A. Notion de limite
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)).
- On dit que \(f\) admet pour limite \(\ell\) en \(a\) si \(f(x)\) peut être rendu aussi proche de \(\ell\) qu'on le souhaite, pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(a\) :
- On définit de même les limites à gauche \(\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)\) et à droite \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\)
- On définit également les limites en \(+\infty\) et \(-\infty\)
La limite existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Vérifiez toujours les deux côtés pour les fonctions définies par morceaux !
B. Limites usuelles
| Fonction | Limite en \(+\infty\) | Limite en \(-\infty\) |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n > 0\)) | \(+\infty\) | \(+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) (\(n > 0\)) | \(0\) | \(0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(+\infty\) | Non définie |
| \(e^x\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\ln(x)\) | \(+\infty\) | — |
Limites importantes à connaître par cœur :
C. Opérations sur les limites
Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) et \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \ell'\), alors :
- \(\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \ell + \ell'\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = \ell \times \ell'\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\ell}{\ell'}\) si \(\ell' \neq 0\)
D. Formes indéterminées et levée d'indétermination
Les formes indéterminées (FI) ne peuvent jamais être calculées directement. Elles nécessitent obligatoirement une transformation :
Écrire directement « \(\infty - \infty = 0\) » est une erreur éliminatoire au Bac !
- Factorisation par le terme de plus haut degré (FI de type \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty - \infty\) pour des polynômes)
- Quantité conjuguée pour les expressions avec racines carrées (FI de type \(\frac{0}{0}\))
- Croissances comparées pour les exponentielles et logarithmes
- Règle de l'Hôpital : si \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\), alors \(\displaystyle\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}\) (hors programme officiel, mais accepté)
Calculons \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5}\)
Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x^2\) :
Calculons \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}\)
Forme \(\dfrac{0}{0}\). On multiplie par la quantité conjuguée \(\sqrt{1+x}+1\) :
Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \dfrac{1}{1+1} = \boxed{\dfrac{1}{2}}\)
Pour les fractions rationnelles en \(+\infty\), il suffit de regarder le rapport des termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur. Inutile de factoriser entièrement si le signe n'est pas demandé !
1.2. Théorèmes de Comparaison
Soient \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions telles qu'au voisinage de \(a\) :
Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \displaystyle\lim_{x \to a} h(x) = \ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell\).
- Si \(f(x) \geq g(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = +\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\)
- Si \(f(x) \leq g(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = -\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = -\infty\)
Montrons que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0\)
On sait que \(-1 \leq \sin x \leq 1\), donc pour \(x > 0\) : \(\displaystyle -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}\)
Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\). Par les gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = \boxed{0}\)
1.3. Continuité
A. Continuité en un point
Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si :
Cela nécessite trois conditions simultanées :
- \(f\) est définie en \(a\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) existe (limites gauche = droite)
- Ces deux valeurs sont égales
Une fonction est continue à droite en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\), et continue à gauche si \(\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\).
B. Fonctions continues et opérations
Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, exponentielles, logarithmes, trigonométriques, racines) sont continues sur leur ensemble de définition.
Si \(f\) et \(g\) sont continues en \(a\), alors \(f+g\), \(f-g\), \(f\times g\), \(\dfrac{f}{g}\) (si \(g(a)\neq 0\)) et \(f\circ g\) sont également continues en \(a\).
1.4. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a\,;\,b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;\,b]\) tel que :
Interprétation géométrique : la courbe de \(f\) traversetoute droite horizontale \(y = k\) comprise entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
Si \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, alors l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \(]a\,;\,b[\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;\,b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;\,b]\).
Montrons que \(x^3 - 2x + 1 = 0\) admet au moins une solution dans \([-2\,;\,0]\).
Posons \(f(x) = x^3 - 2x + 1\). Polynôme → continu sur \(\mathbb{R}\).
\(f(-2) = -8+4+1 = -3 < 0\) et \(f(0) = 1 > 0\)
\(f(-2)\) et \(f(0)\) sont de signes contraires → par le TVI, il existe \(c \in\, ]-2\,;\,0[\) tel que \(f(c) = 0\). ✓
Au Bac, pour appliquer le TVI, vous devez toujours vérifier et énoncer les trois conditions : (1) \(f\) continue sur \([a;b]\), (2) calcul de \(f(a)\) et \(f(b)\), (3) signes contraires. Sans ces étapes, vous perdrez des points même si la réponse est correcte.
II. Dérivabilité et Étude de Fonctions
2.1. Nombre Dérivé et Fonction Dérivée
A. Nombre dérivé
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
Cette limite s'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(a\).
\(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\).
B. Fonction dérivée
Si \(f\) est dérivable en tout point de \(I\), on définit la fonction dérivée \(f'\) qui à tout \(x \in I\) associe le nombre dérivé \(f'(x)\).
2.2. Dérivées des Fonctions Usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n\) entier) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) si \(n \geq 1\), \(\mathbb{R}^*\) si \(n < 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\,;\,+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0\,;\,+\infty[\) |
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
Retenez le schéma mnémotechnique : \(\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin\) (cycle de période 4). La dérivée de \(e^x\) est toujours \(e^x\) — c'est sa propriété fondamentale et unique !
2.3. Règles de Dérivation
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u + v\) | \(u' + v'\) |
| \(k\,u\) (\(k\) constante) | \(k\,u'\) |
| \(u \times v\) | \(u'v + uv'\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) (\(v \neq 0\)) | \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(\dfrac{1}{v}\) (\(v \neq 0\)) | \(-\dfrac{v'}{v^2}\) |
| \(u^n\) (\(n\) entier) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) (\(u > 0\)) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
Cas particuliers fondamentaux :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(e^{u(x)}\) | \(u'(x) \cdot e^{u(x)}\) |
| \(\ln(u(x))\) | \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) |
| \(\sin(u(x))\) | \(u'(x) \cdot \cos(u(x))\) |
| \(\cos(u(x))\) | \(-u'(x) \cdot \sin(u(x))\) |
Pour \(\ln(u(x))\), beaucoup d'élèves écrivent \(\dfrac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) !
De même, \((e^{u})' = u'\cdot e^u\), pas seulement \(e^u\).
Dérivons \(f(x) = (2x^2 + 1)^5\)
\(u(x) = 2x^2 + 1\), \(u'(x) = 4x\)
Dérivons \(g(x) = \ln(x^2 + 3x + 1)\)
\(u(x) = x^2 + 3x + 1\), \(u'(x) = 2x + 3\)
2.4. Lien entre Dérivée et Variations
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :
- Si \(f'(x) > 0\) sur \(I\) → \(f\) est strictement croissante sur \(I\)
- Si \(f'(x) < 0\) sur \(I\) → \(f\) est strictement décroissante sur \(I\)
- Si \(f'(x) = 0\) sur \(I\) → \(f\) est constante sur \(I\)
La réciproque est fausse ! Une fonction peut être croissante sans que sa dérivée soit strictement positive partout. Exemple : \(f(x) = x^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) mais \(f'(0) = 0\), elle n'est donc pas strictement positive.
2.5. Extremums Locaux
- \(f\) admet un maximum local en \(a\) si \(f(x) \leq f(a)\) au voisinage de \(a\)
- \(f\) admet un minimum local en \(a\) si \(f(x) \geq f(a)\) au voisinage de \(a\)
Si \(f\) est dérivable en \(a\) et admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a) = 0\).
\(f'(a) = 0\) ne garantit pas l'existence d'un extremum ! Pour \(f(x) = x^3\) : \(f'(0) = 0\) mais \(f\) est strictement croissante — pas d'extremum en 0.
Il faut obligatoirement vérifier le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\) :
- \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) → maximum local
- \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum local
- \(f'\) ne change pas de signe → ni max ni min (point d'inflexion)
- Calculer \(f'(x)\) et résoudre \(f'(x) = 0\) (ou trouver où \(f'\) n'existe pas)
- Dresser le tableau de signes de \(f'(x)\)
- Lire les changements de signe pour identifier max / min
- Calculer les valeurs \(f(a)\) en ces points
2.6. Dérivée Seconde et Points d'Inflexion
On appelle dérivée seconde de \(f\) la dérivée de la dérivée : \(f'' = (f')'\)
Un point \(I(a\,;\,f(a))\) est un point d'inflexion si la courbe traverse sa tangente en ce point (changement de concavité).
- Si \(f''(x) > 0\) sur un intervalle → \(f\) est convexe (courbe en U)
- Si \(f''(x) < 0\) sur un intervalle → \(f\) est concave (courbe en ∩)
- Si \(f''\) change de signe en \(a\) → point d'inflexion en \(a\)
III. Branches Infinies
3.1. Asymptotes Verticales
La droite d'équation \(x = a\) est une asymptote verticale si :
On recherche les asymptotes verticales aux points où \(f\) n'est pas définie (dénominateur nul, \(\ln(0)\), etc.).
Pour \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\) : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\) → la droite \(x = 2\) est une asymptote verticale.
3.2. Asymptotes Horizontales
La droite \(y = \ell\) est une asymptote horizontale en \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) si :
Pour \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}\) :
La droite \(y = 2\) est asymptote horizontale en \(\pm\infty\).
3.3. Asymptotes Obliques
La droite \(y = ax + b\) (\(a \neq 0\)) est une asymptote oblique en \(+\infty\) si :
- Calculer \(\displaystyle a = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}\)
- Si \(a\) existe, fini et \(a \neq 0\), calculer \(\displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax]\)
- Si \(b\) existe et est fini → \(y = ax + b\) est asymptote oblique
Pour les fractions rationnelles, effectuez directement la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Vous obtenez immédiatement \(f(x) = ax + b + \dfrac{r(x)}{d(x)}\), et si \(\dfrac{r(x)}{d(x)} \to 0\), alors \(y = ax + b\) est l'asymptote oblique.
Pour \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x+1}\), effectuons la division euclidienne :
\(x^2 + 2x + 3 = (x+1)(x+1) + 2\), donc \(f(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x+1}\)
Comme \(\dfrac{2}{x+1} \to 0\) en \(\pm\infty\) → \(y = x + 1\) est asymptote oblique.
Une asymptote oblique n'existe que si \(a \neq 0\) et \(b\) est fini. Si \(a = 0\), c'est une asymptote horizontale. Si \(b\) est infini, il n'y a pas d'asymptote oblique (branche parabolique).
3.4. Branches Paraboliques
Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \pm\infty\), la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en \(+\infty\).
- \(\displaystyle\lim \dfrac{f(x)}{x} = a\) fini, \(a \neq 0\) → branche parabolique de direction \(y = ax\)
- \(\displaystyle\lim \dfrac{f(x)}{x} = 0\) → branche parabolique de direction l'axe des abscisses
- \(\displaystyle\lim \dfrac{f(x)}{x} = \pm\infty\) → branche parabolique de direction l'axe des ordonnées
IV. Représentation Graphique
4.1. Méthodologie pour l'Étude Complète
- Ensemble de définition : Déterminer \(D_f\)
- Parité / Périodicité : Vérifier si \(f\) est paire, impaire ou périodique
- Limites aux bornes : Calculer les limites en chaque borne de \(D_f\)
- Asymptotes : Verticales, horizontales, obliques
- Dérivée : Calculer \(f'(x)\) et son domaine
- Signe de \(f'\) : Tableau de signes → variations
- Tableau de variations : Complet avec valeurs aux extremums
- Points remarquables : Intersections avec les axes, extremums
- Tangentes particulières : Aux points remarquables
- Tracé : Courbe cohérente avec toutes les informations
4.2. Équation de la Tangente
La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation :
Si \(f'(a) = 0\), la tangente est horizontale : \(y = f(a)\). C'est un signe que \(a\) est potentiellement un extremum local (à confirmer par l'étude du signe de \(f'\)).
\(f(x) = x^2 - 3x + 2\). Tangente en \(x = 1\) :
\(f(1) = 0\) ; \(f'(x) = 2x - 3\) ; \(f'(1) = -1\)
V. Exemple d'Application Complète — Type Bac
Énoncé : On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) par :
On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\,\vec{i},\,\vec{j})\).
1. Ensemble de définition
\(f\) est définie pour tout \(x \neq 1\) (dénominateur nul).
2. Limites et Asymptotes
a) Limite en \(x = 1\) :
Numérateur en 1 : \(1+1+2 = 4 > 0\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} (x-1) = 0^-\) → \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} (x-1) = 0^+\) → \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\)
→ La droite \(x = 1\) est une asymptote verticale.
b) Limites en \(\pm\infty\) :
Pas d'asymptote horizontale. Recherche d'asymptote oblique :
c) Asymptote oblique — Division euclidienne :
→ La droite \(\Delta : y = x + 2\) est une asymptote oblique en \(\pm\infty\).
\(f(x) - (x+2) = \dfrac{4}{x-1}\)
- Pour \(x > 1\) : \(\dfrac{4}{x-1} > 0\) → courbe au-dessus de \(\Delta\)
- Pour \(x < 1\) : \(\dfrac{4}{x-1} < 0\) → courbe en-dessous de \(\Delta\)
3. Dérivabilité et Variations
a) Calcul de la dérivée (formule du quotient) :
\(u = x^2+x+2\), \(u' = 2x+1\) ; \(v = x-1\), \(v' = 1\)
b) Tableau de signes de \(f'(x)\) :
\((x-1)^2 > 0\) pour tout \(x \neq 1\), donc le signe de \(f'\) est celui de \((x-3)(x+1)\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x+1\) | − | 0 | + | || | + | + | + | ||
| \(x-3\) | − | − | − | || | − | 0 | + | ||
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | || | − | 0 | + |
c) Tableau de variations :
Valeurs : \(f(-1) = \dfrac{1-1+2}{-2} = -1\) ; \(f(3) = \dfrac{9+3+2}{2} = 7\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | || | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | −1 | ↘ | \(-\infty\) || \(+\infty\) | ↘ | 7 | ↗ | \(+\infty\) |
Conclusions :
- \(f\) admet un maximum local en \(x = -1\) : \(f(-1) = -1\)
- \(f\) admet un minimum local en \(x = 3\) : \(f(3) = 7\)
4. Points remarquables et tangentes
Intersection avec l'axe des ordonnées : \(f(0) = \dfrac{2}{-1} = -2\) → Point \(A(0\,;\,-2)\)
Intersection avec l'axe des abscisses : \(f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2+x+2 = 0\). Discriminant : \(\Delta = 1-8 = -7 < 0\) → Pas d'intersection.
Tangentes en les extremums :
- En \(x = -1\) : \(f'(-1) = 0\) → tangente horizontale \(T_1 : y = -1\)
- En \(x = 3\) : \(f'(3) = 0\) → tangente horizontale \(T_2 : y = 7\)
- En \(x = 0\) : \(f'(0) = \dfrac{(-3)(1)}{1} = -3\) → tangente \(T_0 : y = -3x - 2\)
5. Résumé pour le tracé
- ✦ Asymptote verticale : \(x = 1\)
- ✦ Asymptote oblique : \(y = x + 2\)
- ✦ Maximum local : \((-1\,;\,-1)\) — tangente \(y = -1\)
- ✦ Minimum local : \((3\,;\,7)\) — tangente \(y = 7\)
- ✦ Point d'intersection Oy : \((0\,;\,-2)\) — tangente \(y = -3x-2\)
- ✦ Position/asymptote oblique : au-dessus sur \(]1\,;\,+\infty[\), en dessous sur \(]-\infty\,;\,1[\)
- Limites : Maîtriser les opérations et les techniques de levée des formes indéterminées (factorisation, conjuguée, croissances comparées)
- Continuité : Connaître le TVI et son application pour prouver l'existence de solutions
- Dérivation : Savoir calculer toutes les dérivées (quotient \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\), composée \(u' \cdot f'(u)\))
- Variations : Le signe de \(f'\) détermine les variations de \(f\)
- Extremums : Chercher où \(f'(x) = 0\) ET vérifier le changement de signe
- Asymptotes : Verticale (limite infinie), horizontale (limite finie à l'infini), oblique (division euclidienne)
- Ordre d'étude : \(D_f\) → limites → asymptotes → \(f'\) → variations → tracé
- Toujours justifier les calculs de limites (formes indéterminées explicites)
- Soigner le tableau de variations (clarté, valeurs exactes, flèches)
- Vérifier la cohérence du tracé avec toutes les informations obtenues
- Ne pas oublier les intersections avec les axes
- Préciser la position de la courbe par rapport aux asymptotes
Les Suites Numériques
Les Suites Numériques
Généralités, raisonnement par récurrence, suites arithmétiques et géométriques, suites arithmético-géométriques, limites et convergence — programme complet avec méthodes et pièges à éviter.
📋 Sommaire du Chapitre
- Généralités et Rappels
- Définitions, suites explicites et récurrentes
- Sens de variation, suites bornées
- Le Raisonnement par Récurrence
- Les 3 étapes : Initialisation, Hérédité, Conclusion
- Exemples complets rédigés
- Suites Arithmétiques et Géométriques
- Terme général, raison, variations, sommes
- Caractérisations et propriétés
- Suites Arithmético-géométriques
- Méthode du point fixe, suite auxiliaire
- Limites et Convergence
- Limites usuelles, théorèmes de convergence
- Théorème des gendarmes, suites adjacentes
- Exemple Complet — Type Bac
I. Généralités et Rappels
1.1. Définition d'une Suite Numérique
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\). À tout entier naturel \(n\), on associe un nombre réel noté \(u_n\), appelé terme de rang \(n\) ou terme général.
On note la suite : \((u_n)\) ou \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\)
A. Suite définie de manière explicite
Une suite est définie explicitement lorsque \(u_n\) s'exprime directement en fonction de \(n\) :
- \(u_n = 3n + 5\) (suite arithmétique)
- \(u_n = 2^n\) (suite géométrique)
- \(u_n = \dfrac{1}{n+1}\)
- \(u_n = n^2 - 3n + 2\)
B. Suite définie par récurrence
Une suite est définie par récurrence lorsqu'on connaît le premier terme et une relation permettant de calculer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) :
- \(\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + 3 \end{cases}\) → suite arithmétique
- \(\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 2u_n \end{cases}\) → suite géométrique
- \(\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{u_n + 1} \end{cases}\) → forme complexe
Pour calculer les premiers termes d'une suite récurrente, créez un tableau en deux colonnes : \(n\) | \(u_n\). Repartez toujours de \(u_0\), puis appliquez la relation pas à pas. Si vous devez calculer \(u_5\), vous ne pouvez pas "sauter" à \(u_5\) directement — il faut passer par \(u_1, u_2, u_3, u_4\).
1.2. Sens de Variation d'une Suite
- \((u_n)\) est croissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \geq u_n\)
- \((u_n)\) est strictement croissante si \(u_{n+1} > u_n\)
- \((u_n)\) est décroissante si \(u_{n+1} \leq u_n\)
- \((u_n)\) est strictement décroissante si \(u_{n+1} < u_n\)
- \((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante
- Si \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) → suite croissante
- Si \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) → suite décroissante
✦ Méthode universelle — toujours applicable.
- Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1\) → suite croissante
- Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1\) → suite décroissante
✦ Méthode adaptée aux suites géométriques et exponentielles (termes strictement positifs).
- Si \(f'(x) \geq 0\) sur \([0;+\infty[\) → suite croissante
- Si \(f'(x) \leq 0\) sur \([0;+\infty[\) → suite décroissante
✦ Méthode adaptée aux suites définies explicitement.
Étudions le sens de variation de \(u_n = n^2 - 4n\) :
\(u_{n+1} - u_n \geq 0 \Leftrightarrow n \geq \dfrac{3}{2}\), donc \(n \geq 2\).
Conclusion : La suite est décroissante pour \(n \leq 1\) et croissante pour \(n \geq 2\).
La méthode du rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) n'est valide que si tous les termes sont strictement positifs. Si certains termes sont négatifs ou nuls, le signe du rapport peut induire en erreur. Préférez alors la méthode de la différence \(u_{n+1} - u_n\).
1.3. Suites Majorées, Minorées et Bornées
- \((u_n)\) est majorée s'il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que \(u_n \leq M\) pour tout \(n\)
- \((u_n)\) est minorée s'il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que \(u_n \geq m\) pour tout \(n\)
- \((u_n)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée :
- \(u_n = \dfrac{1}{n+1}\) : bornée car \(0 < u_n \leq 1\)
- \(u_n = n^2\) : minorée par 0, non majorée
- \(u_n = (-1)^n\) : bornée car \(-1 \leq u_n \leq 1\)
II. Le Raisonnement par Récurrence
Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration pour prouver qu'une propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n \geq n_0\).
On vérifie que \(\mathcal{P}(n_0)\) est vraie pour le premier rang \(n_0\) (souvent \(n_0 = 0\) ou \(n_0 = 1\)).
On suppose que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour un certain rang \(n \geq n_0\) (hypothèse de récurrence).
On démontre que \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie en utilisant l'hypothèse de récurrence.
D'après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geq n_0\).
- Initialisation : "Pour \(n = n_0\), on a… donc \(\mathcal{P}(n_0)\) est vraie."
- Hérédité : "Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un certain \(n \geq n_0\). Montrons \(\mathcal{P}(n+1)\). [Calcul utilisant l'hypothèse] Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie."
- Conclusion : "D'après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n \geq n_0\)."
- Oublier l'initialisation : sans elle, la démonstration est incomplète et la note = 0.
- Ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence : c'est le cœur de la démonstration. Il faut explicitement écrire "par hypothèse de récurrence, \(u_n = ...\)" puis l'utiliser dans le calcul.
- Oublier la conclusion : le correcteur a besoin de la phrase finale pour valider la démarche.
Démontrons que pour tout \(n \geq 1\) : \(\displaystyle 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)
Initialisation : Pour \(n = 1\) : membre gauche \(= 1\) ; membre droit \(= \dfrac{1 \times 2}{2} = 1\). ✓
Hérédité : Supposons \(1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\). Alors :
Ce qui correspond à la formule au rang \(n+1\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion : Par récurrence, pour tout \(n \geq 1\) : \(1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
Soit \(\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = 3u_n + 2 \end{cases}\). Démontrons que \(u_n = 2 \times 3^n - 1\).
Initialisation : \(u_0 = 1\) et \(2 \times 3^0 - 1 = 1\). ✓
Hérédité : Supposons \(u_n = 2 \times 3^n - 1\). Calculons \(u_{n+1}\) :
Ce qui correspond à la formule au rang \(n+1\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion : Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_n = 2 \times 3^n - 1\).
Dans l'étape d'hérédité, encadrez visuellement l'hypothèse de récurrence au moment où vous l'utilisez (avec une couleur, un trait ou en l'indiquant explicitement). Sur une copie d'examen, écrire "par hypothèse de récurrence" entre parenthèses au-dessus du signe "=" montre au correcteur que vous avez bien compris la démarche.
III. Suites Arithmétiques et Géométriques
3.1. Suites Arithmétiques
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si :
Sens de variation : \(r > 0\) → croissante · \(r < 0\) → décroissante · \(r = 0\) → constante
La somme des \((n+1)\) premiers termes (\(u_0\) à \(u_n\)) est :
Suite : \(u_0 = 3\), \(r = 5\). Terme général : \(u_n = 3 + 5n\). Donc \(u_{10} = 53\).
Somme des 11 premiers termes : \(S_{10} = 11 \times \dfrac{3 + 53}{2} = 11 \times 28 = \mathbf{308}\)
Gauss : \(1 + 2 + 3 + \cdots + 100 = 100 \times \dfrac{1 + 100}{2} = \mathbf{5050}\)
Mémo pour la somme arithmétique : "nombre de termes × moyenne des extrêmes". Pour compter le nombre de termes entre \(u_p\) et \(u_q\) inclus : c'est \(q - p + 1\).
La somme \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\) contient \((n+1)\) termes, pas \(n\) ! L'erreur de décalage d'indice est l'une des plus fréquentes au Bac.
3.2. Suites Géométriques
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q \neq 0\) si :
Si \(q = 1\) : \(S_n = (n+1) \times u_0\)
Suite : \(u_0 = 2\), \(q = 3\). Terme général : \(u_n = 2 \times 3^n\). Donc \(u_5 = 486\).
Somme : \(S_5 = 2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{-728}{-2} = \mathbf{728}\)
La formule \(\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}\) est invalide si \(q = 1\). Dans ce cas, \(S_n = (n+1) u_0\).
3.3. Propriétés de Caractérisation
- \((u_n)\) est arithmétique \(\Leftrightarrow\) \(u_n = \dfrac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}\)
- \((u_n)\) est géométrique \(\Leftrightarrow\) \(u_n^2 = u_{n-1} \times u_{n+1}\)
IV. Suites Arithmético-géométriques
Une suite \((u_n)\) est arithmético-géométrique si elle est définie par :
Cas limites : si \(b = 1\) → arithmétique · si \(c = 0\) → géométrique
4.1. Méthode du Point Fixe — Suite Auxiliaire
- Point fixe \(\ell\) : \(\ell = b\ell + c \Rightarrow \ell = \dfrac{c}{1-b}\)
- Suite auxiliaire \(v_n = u_n - \ell\) : on montre \(v_{n+1} = bv_n\) (géométrique de raison \(b\))
- Exprimer \(v_n\) : \(v_n = (u_0 - \ell) \times b^n\)
- Revenir à \(u_n\) : \(u_n = (u_0 - \ell) \times b^n + \ell\)
Mémorisez : Point fixe → Suite auxiliaire géométrique → Terme général → Revenir à \(u_n\).
Suite : \(\begin{cases} u_0 = 5 \\ u_{n+1} = 2u_n + 3 \end{cases}\)
Étape 1 : \(\ell = 2\ell + 3 \Rightarrow \ell = -3\)
Étape 2 : \(v_n = u_n + 3\) ; \(v_{n+1} = 2v_n\) → géom. de raison 2
Étape 3 : \(v_0 = 8\) → \(v_n = 8 \times 2^n\)
Suite : \(\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \tfrac{1}{2}u_n + 4 \end{cases}\) → Point fixe \(\ell = 8\)
Lors du calcul de \(v_{n+1}\), il faut utiliser l'égalité \(\ell = b\ell + c\) pour simplifier et obtenir \(v_{n+1} = bv_n\).
V. Limites et Convergence des Suites
5.1. Définitions
- \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si \(u_n\) devient arbitrairement grand
- \((u_n)\) tend vers \(-\infty\) si \(u_n\) devient arbitrairement petit
- Une suite peut diverger sans avoir de limite : ex. \(u_n = (-1)^n\) oscille entre −1 et 1
5.2. Limites des Suites Usuelles
| Suite \(u_n\) | Limite quand \(n \to +\infty\) |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{n^p}\) (\(p > 0\)) | \(0\) |
| \(n^p\) (\(p > 0\)) | \(+\infty\) |
| \(\sqrt{n}\) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(|q| < 1\) | \(0\) |
| \(q^n\) si \(q > 1\) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(q = 1\) | \(1\) |
| \(q^n\) si \(q \leq -1\) | Pas de limite |
5.3. Limites des Suites Arithmétiques et Géométriques
- \(r > 0 \Rightarrow \displaystyle\lim u_n = +\infty\)
- \(r < 0 \Rightarrow \displaystyle\lim u_n = -\infty\)
- \(r = 0 \Rightarrow \displaystyle\lim u_n = u_0\)
| Valeur de \(q\) | Limite de \(u_n\) si \(u_0 > 0\) |
|---|---|
| \(q > 1\) | \(+\infty\) |
| \(q = 1\) | \(u_0\) (constante) |
| \(-1 < q < 1\), \(q \neq 0\) | \(0\) |
| \(q = -1\) | Pas de limite |
| \(q < -1\) | Pas de limite |
La règle clé : si \(|q| < 1\), alors \(q^n \to 0\). Tout ce qui ressemble à \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\), \((0{,}9)^n\) tend vers 0. Si \(|q| > 1\), la suite "explose".
5.4. Opérations sur les Limites et Formes Indéterminées
Les formes \(+\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac{0}{0}\) ne peuvent pas être calculées directement. Il faut factoriser par le terme dominant.
5.5. Théorèmes de Convergence
- Toute suite croissante et majorée converge
- Toute suite décroissante et minorée converge
Si \(u_n \leq v_n \leq w_n\) et \(\displaystyle\lim u_n = \displaystyle\lim w_n = \ell\), alors \(\displaystyle\lim v_n = \ell\)
\(-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin(n)}{n} \leq \dfrac{1}{n}\) et les deux extrêmes → 0, donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin(n)}{n} = 0\)
5.6. Suites Adjacentes
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(\displaystyle\lim (v_n - u_n) = 0\).
Si deux suites sont adjacentes, elles convergent vers la même limite \(\ell\) et \(u_n \leq \ell \leq v_n\).
Pour trouver la valeur de \(\ell\) quand la suite converge : la limite est le point fixe de la relation de récurrence, c'est-à-dire la solution de \(\ell = f(\ell)\).
VI. Exemple Complet — Type Bac
Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par :
- \(u_1 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\)
- \(u_2 = \dfrac{28}{9} \approx 3{,}11\)
- \(u_3 = \dfrac{82}{27} \approx 3{,}04\)
La suite semble décroissante et converger vers 3.
Démontrons que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_n > 3\).
\(u_0 = 4 > 3\). ✓
Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(\mathbf{u_n > 3}\).
Variations :
\((u_n)\) est décroissante et minorée par 3 → elle converge.
On pose \(v_n = u_n - 3\) :
\(\displaystyle\lim S_n = +\infty\)
\(u_{n+1} = u_n + r\)
\(u_n = u_0 + nr\)
\(S_n = (n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}\)
\(u_{n+1} = q \cdot u_n\)
\(u_n = u_0 \cdot q^n\)
\(S_n = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)
\(u_{n+1} = bu_n + c\)
Point fixe : \(\ell = \dfrac{c}{1-b}\)
\(u_n = (u_0 - \ell) \cdot b^n + \ell\)
Croissante + majorée ⇒ converge
Décroissante + minorée ⇒ converge
Limite = point fixe \(\ell = f(\ell)\)
\(|q| < 1 \Rightarrow \displaystyle\lim q^n = 0\)
\(q > 1 \Rightarrow \displaystyle\lim q^n = +\infty\)
\(q \leq -1\) : pas de limite
1. Initialisation : vérifier \(\mathcal{P}(n_0)\)
2. Hérédité : \(\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)\)
3. Conclusion globale
- Identifier d'abord le type : arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique
- Pour la récurrence : les 3 étapes sont obligatoires
- Ne jamais confondre \(u_n\) (terme) et \(S_n\) (somme)
- Pour les arith.-géo. : chercher le point fixe en premier
- Toujours vérifier le terme général sur les premiers termes
Logarithme Népérien
Fonction Logarithme Népérien
Définition intégrale, domaine, propriétés algébriques, dérivée de ln(u), croissances comparées, équations et inéquations logarithmiques — cours complet avec méthodes, pièges et exercice type Bac.
📋 Sommaire du Chapitre
- Définition et Domaine de Définition
- Définition par intégrale, domaine \(]0\,;\,+\infty[\)
- Relation avec l'exponentielle, valeurs particulières
- Propriétés Algébriques — Les Règles d'Or
- Les 5 propriétés fondamentales + démonstration
- Simplification d'expressions complexes
- Étude de la Fonction ln
- Limites aux bornes, dérivée \((\ln u)' = u'/u\)
- Sens de variation, tableau de variations
- Croissances Comparées
- Théorèmes en \(+\infty\) et en \(0^+\), applications
- Équations et Inéquations Logarithmiques
- Méthode en 3 étapes obligatoires, 5 exemples résolus
- Étude Complète — Type Bac : \(f(x) = x - 2\ln x\)
- Le Réflexe du Domaine — 5 Pièges Classiques
- Exercices d'Entraînement
I. Définition et Domaine de Définition
1.1. Définition
Le logarithme népérien est la primitive de la fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) qui s'annule en 1 :
- Pour tout \(x > 0\) : \(\bigl(\ln(x)\bigr)' = \dfrac{1}{x}\)
- \(\ln(1) = 0\)
1.2. Domaine de Définition — Point Crucial
Avant tout calcul avec \(\ln\), vérifier que l'argument est strictement positif :
- \(\ln(0)\) → IMPOSSIBLE !
- \(\ln(-5)\) → IMPOSSIBLE !
- \(\ln(x)\) avec \(x \leq 0\) → IMPOSSIBLE !
Au Bac, oublier le domaine de définition coûte 2 à 3 points en moyenne.
1.3. Relation avec l'Exponentielle
1.4. Valeurs Particulières — À Connaître Par Cœur
| Expression | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| \(\ln(1)\) | \(0\) | \(e^0 = 1\) |
| \(\ln(e)\) | \(1\) | \(e^1 = e\) |
| \(\ln(e^2)\) | \(2\) | \(e^2 = e^2\) |
| \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)\) | \(-1\) | \(e^{-1} = \dfrac{1}{e}\) |
| \(\ln(\sqrt{e})\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{e} = e^{1/2}\) |
| \(\ln(e^a)\) | \(a\) | Cas général |
Utilisez \(\ln(e^a) = a\). Exemple : \(\ln(\sqrt{e}) = \ln(e^{1/2}) = \dfrac{1}{2}\).
II. Propriétés Algébriques — Les Règles d'Or
2.1. Les 5 Propriétés Essentielles
Produit → Somme
"Le ln transforme un produit en somme"
Quotient → Différence
"Le ln transforme un quotient en différence"
Puissance → Coefficient
"L'exposant devient multiplicateur"
Inverse → Opposé
"L'inverse change le signe"
Racine carrée
Car \(\sqrt{a} = a^{1/2}\)
\(\ln(a + b) \neq \ln(a) + \ln(b)\) — FAUX !
\(\ln(a - b) \neq \ln(a) - \ln(b)\) — FAUX !
Les propriétés s'appliquent aux produits et quotients uniquement.
2.2. Démonstration — Propriété du Produit
Posons \(f(x) = \ln(ax)\). Alors \(f'(x) = \dfrac{1}{x} = (\ln x)'\), donc \(f(x) = \ln(x) + C\).
En \(x=1\) : \(f(1) = \ln(a) = C\). Ainsi \(\ln(ax) = \ln(x) + \ln(a)\). En \(x=b\) : \(\ln(ab) = \ln(a)+\ln(b)\). \(\blacksquare\)
2.3. Applications — Simplification d'Expressions
1. \(\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)\)
2. \(\ln(x^2 y^3) = 2\ln(x) + 3\ln(y)\)
3. \(\ln\!\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{y}}\right) = 3\ln(x) - \dfrac{1}{2}\ln(y)\)
5. \(2\ln(x) - 3\ln(y) + \ln(z) = \ln\!\left(\dfrac{x^2 z}{y^3}\right)\)
(1) sortez les exposants → (2) produits en sommes, quotients en différences → (3) identifiez \(\ln(e^a) = a\).
III. Étude de la Fonction ln
3.1. Limites aux Bornes
La droite \(x = 0\) est une asymptote verticale à la courbe représentative de \(\ln\).
3.2. Dérivée de ln
Écrire \(\dfrac{1}{u}\) au lieu de \(\dfrac{u'}{u}\) est la faute la plus courante. Mnémotechnique : "dérivée de l'argument, divisée par l'argument".
1. \(f(x) = \ln(2x+1)\) → \(f'(x) = \dfrac{2}{2x+1}\)
2. \(g(x) = \ln(x^2+1)\) → \(g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\)
3. \(h(x) = x^2\ln(x)\) → \(h'(x) = x(2\ln x+1)\)
4. \(k(x) = (\ln x)^2\) → \(k'(x) = \dfrac{2\ln x}{x}\)
\(\ln(x^2) = 2\ln x\) (dérivée : \(\dfrac{2}{x}\)) ≠ \((\ln x)^2\) (dérivée : \(\dfrac{2\ln x}{x}\))
3.3. Sens de Variation et Tableau
| \(x\) | \(0^+\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \((\ln x)'\) | ∥ | \(+\) | |
| \(\ln(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(+\infty\) |
IV. Croissances Comparées
Ces résultats sont indispensables pour les calculs de limites impliquant \(\ln\).
4.1. Théorèmes Fondamentaux
\(\ln(x)\) croît beaucoup plus lentement que toute puissance de \(x\).
4.2. Applications aux Limites
1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\)
2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2\ln x = 0\)
4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - \ln x) = +\infty\)
\(\ln(x) \;\ll\; x^n \;\ll\; e^x \quad \text{quand } x \to +\infty\)
V. Équations et Inéquations Logarithmiques
5.1. Méthode Obligatoire en 3 Étapes
5.2. Exemples Résolus Complets
Dom. : \(\mathcal{D} = \left]\tfrac{1}{2};+\infty\right[\) | Résol. : \(2x-1=x+3 \Rightarrow x=4\) | \(\boxed{S=\{4\}}\)
Dom. : \(\mathcal{D}=\;]2;+\infty[\) | \(x^2-3x-4=0 \Rightarrow x_1=-1\) (rejeté), \(x_2=4\) | \(\boxed{S=\{4\}}\)
Dom. : \(\mathcal{D}=]-1;5[\) | \(x+1\leq 5-x \Rightarrow x\leq 2\) | \(\boxed{S=]-1;2]}\)
- Utiliser \(\ln A=\ln B\Rightarrow A=B\) sans avoir vérifié \(A>0\) et \(B>0\)
- Oublier l'intersection avec \(\mathcal{D}\) à l'étape 3
- Regrouper \(\ln A+\ln B\) sans vérifier \(A,B > 0\)
VI. Étude Complète — Type Bac
Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par : \(\displaystyle f(x) = x - 2\ln(x)\)
| \(x\) | \(0\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(x-2\) | ∥ | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(x\) | ∥ | \(+\) | \(+\) | ||
| \(f'(x)\) | ∥ | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Calcul de \(f(2) = 2 - 2\ln(2) \approx 0{,}61\)
| \(x\) | \(0^+\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | ∥ | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(2-2\ln 2\) | ↗ | \(+\infty\) |
Conclusion : minimum en \(x=2\) : \(f(2)=2-2\ln 2 \approx 0{,}61 > 0\).
Le minimum \(f(2)=2-2\ln 2 > 0\) → \(f(x) > 0\) pour tout \(x > 0\).
\(\boxed{x = 0}\) est une asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).
VII. Le Réflexe du Domaine — 5 Pièges Classiques
- Identifier tous les \(\ln\) présents
- Écrire les conditions : chaque argument \(> 0\)
- Résoudre chaque inéquation
- Faire l'intersection
- Écrire "\(\mathcal{D} = ...\)"
Les 5 Pièges Classiques du Bac
\(x^2-4 > 0 \Leftrightarrow |x|>2\) → \(\mathcal{D}=]-\infty;-2[\,\cup\,]2;+\infty[\)
⚠️ Erreur : écrire \(]-2;2[\) (c'est l'ensemble interdit, pas le domaine !)
\(\mathcal{D}=\left]\tfrac{5}{2};+\infty\right[\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |||
| \(x+1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(\frac{x}{x+1}\) | \(+\) | ∥ | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
\(x>0\) ET \(x>2\) → \(\mathcal{D}=]2;+\infty[\)
⚠️ Intersection (pas union) des deux conditions.
\(e^x > 1 = e^0 \Rightarrow x > 0\) → \(\mathcal{D}=]0;+\infty[\)
[Résolution de l'inéquation]
Donc le domaine de définition est : \(\mathcal{D} = ...\)"
VIII. Exercices d'Entraînement
Exercices classés par thème — Préparation au Bac
a) \(\ln(e^3)\) b) \(\ln(\sqrt{e})\) c) \(\ln(1)\) d) \(e^{\ln(7)}\) e) \(\ln(e^{-2})\)
a) \(\ln(x^3) + \ln(x^2)\) b) \(2\ln(x) - \ln(x^2) + \ln(y)\) c) \(\ln\!\left(\dfrac{e^2 x^3}{\sqrt{y}}\right)\)
a) \(f(x) = \ln(3x - 6)\) b) \(g(x) = \ln(x^2 - 9)\) c) \(h(x) = \ln(x) + \ln(2 - x)\) d) \(k(x) = \ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\)
a) \(f(x) = \ln(3x + 1)\) b) \(g(x) = x\ln(x)\) c) \(h(x) = \ln(x^2 + 2x + 5)\) d) \(k(x) = \bigl(\ln(x)\bigr)^2\)
a) \(\ln(x) = 3\) b) \(\ln(2x + 1) = \ln(x + 4)\) c) \(\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(6)\) d) \(\ln(x^2 - 3) = \ln(2x)\)
a) \(\ln(x) \geq 2\) b) \(\ln(x + 1) < \ln(3x - 2)\) c) \(\ln(x) + \ln(2) \leq \ln(x + 3)\)
a) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}\) b) \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln(x)\) c) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(x - \ln(x^2)\bigr)\) d) \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x}\)
Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \ln(x) - x + 1\).
a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\). b) Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
c) Tableau de variations. d) Montrer que \(f(x) = 0\) admet une unique solution : \(x = 1\). e) Signe de \(f\).
\(\ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\)
\(\mathbb{D}_{\ln}=]0;+\infty[\)
\(\ln 1=0\), \(\ln e=1\), \(\ln e^a=a\)
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)
\(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\)
\(\ln(a^n)=n\ln a\)
\(\ln(1/a)=-\ln a\)
\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\)
\((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) si \(u>0\)
\(\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\)
\(\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\)
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\)
\(\lim_{x\to 0^+}x^n\ln x=0\)
3 étapes : Domaine → Résoudre → Conclure
\(\ln A=\ln B \Leftrightarrow A=B\)
\(\ln A<\ln B \Leftrightarrow A<B\)
(validité : \(A>0\) et \(B>0\))
✅ Toujours écrire \(\mathcal{D}=...\) en premier
✅ Vérifier \(u>0\) avant \((\ln u)'\)
✅ Croissance pour inéquations
✅ Croissances comparées pour limites
- ❌ Oublier de déterminer (et d'écrire) le domaine de définition
- ❌ Écrire \(\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)\) — FAUX !
- ❌ Oublier \(u'\) dans la dérivée de \(\ln(u)\)
- ❌ Confondre \(\ln(x^2)\) et \((\ln x)^2\)
- ❌ Ne pas utiliser les croissances comparées pour les formes indéterminées
- ✅ Commencer par "\(\mathcal{D}=...\)"
- ✅ Simplifier avec les 5 propriétés avant de dériver
- ✅ Vérifier l'appartenance au domaine (étape 3)
- ✅ Croissance de \(\ln\) pour les inéquations
- ✅ Croissances comparées dès que \(\ln\) concurrence une puissance
Fonction Exponentielle
La Fonction Exponentielle
L'une des fonctions les plus importantes en mathématiques — définition, propriétés algébriques, dérivée de \(e^u\), croissances comparées, équations et inéquations, étude complète type Bac.
📋 Sommaire du Chapitre
- Introduction et Définition
- Fonction réciproque de \(\ln\), notation \(e^x\), nombre d'Euler
- Valeurs remarquables à connaître
- Propriétés Algébriques — Le "Couteau Suisse"
- Les 6 formules fondamentales + pièges classiques
- Exercices de simplification guidés
- Étude de la Fonction Exponentielle
- Signe toujours positif, dérivée \((e^u)' = u'e^u\)
- Sens de variation, tableau, représentation graphique
- Limites et Croissances Comparées
- Limites aux bornes, théorèmes, hiérarchie des fonctions
- Équations et Inéquations
- Méthodes pour \(e^A = e^B\), \(e^A = k\), \(e^A > k\), produit nul
- Étude Complète — Type Bac : \(f(x) = (2x-3)e^x + 1\)
I. Introduction et Définition
1.1. La Fonction Réciproque du Logarithme
La fonction \(\ln\), définie sur \(]0\,;\,+\infty[\), strictement croissante et continue, admet une fonction réciproque : la fonction exponentielle.
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\).
- Définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;\,+\infty[\)
- Relation fondamentale :
1.2. Notation \(e^x\) et le Nombre d'Euler
On note \(\exp(x) = e^x\) où \(e\) est le nombre d'Euler :
1.3. Valeurs Remarquables
| Expression | Valeur exacte | Approximation | Justification |
|---|---|---|---|
| \(e^0\) | \(1\) | exactement 1 | \(\ln(1) = 0\) |
| \(e^1\) | \(e\) | \(\approx 2{,}718\) | définition de \(e\) |
| \(e^2\) | \(e^2\) | \(\approx 7{,}389\) | \(\ln(e^2) = 2\) |
| \(e^{-1}\) | \(\dfrac{1}{e}\) | \(\approx 0{,}368\) | \(e^{-1} = \frac{1}{e}\) |
| \(e^{1/2}\) | \(\sqrt{e}\) | \(\approx 1{,}649\) | \(e^{1/2} = \sqrt{e}\) |
| \(e^{\ln(5)}\) | \(5\) | exactement 5 | réciproque |
\(e^{\ln(7)} = 7\) car \(\ln(7)\) est précisément le réel \(x\) tel que \(e^x = 7\). Ce raisonnement circulaire est la clé.
II. Propriétés Algébriques — Le "Couteau Suisse"
Dans l'exposant, + et − se transforment en × et ÷ quand on sort de l'exponentielle.
2.1. Les 6 Formules Fondamentales
Produit
"Somme d'exposants → produit"
Quotient
"Différence d'exposants → quotient"
Puissance
"Produit dans l'exposant → puissance"
Inverse
"Inverse → exposant opposé"
Racine
"Racine → exposant ÷ 2"
Neutre
"Exposant nul → valeur 1"
\(e^{a+b} \neq e^a + e^b\) ❌ → ✅ \(e^{a+b} = e^a \times e^b\)
\(e^{ab} \neq e^a \times e^b\) ❌ → ✅ \(e^{ab} = (e^a)^b\)
2.2. Exercices de Simplification Guidés
a) \(e^3 \times e^5 = e^8\) b) \(\dfrac{e^7}{e^4} = e^3\) c) \((e^2)^3 = e^6\) d) \(\dfrac{1}{e^{-5}} = e^5\)
e) \(e^{2x} \times e^{-x} \times e^{3x} = e^{4x}\)
(1) Regroupez les produits (additionner les exposants) · (2) Transformez les quotients (soustraire) · (3) Cherchez si le résultat se simplifie.
III. Étude de la Fonction Exponentielle
3.1. Signe de \(e^x\) — Propriété Cruciale
- \(e^x = 0\) : impossible
- \(e^x < 0\) : impossible
Dans la dérivée \(f'(x) = (2x-1)e^x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2x-1\) uniquement, car \(e^x > 0\) ne change jamais le signe.
3.2. Dérivée — La Formule Magique
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
Cas composé — si \(u\) est dérivable sur \(I\) :
\((e^x)' \neq x \cdot e^{x-1}\) ❌ → ✅ \((e^x)' = e^x\)
Pour \((e^{u(x)})'\), ne jamais oublier de multiplier par \(u'(x)\).
1. \(f(x)=e^{3x}\) → \(f'(x)=3e^{3x}\)
2. \(f(x)=e^{x^2}\) → \(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)
3. \(f(x)=e^{-2x+5}\) → \(f'(x)=-2e^{-2x+5}\)
4. \(f(x)=(x^2+1)e^x\) — produit :
5. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) — quotient :
Dans une dérivée, factorisez toujours \(e^x\). Puisque \(e^x > 0\), seul le signe du polynôme restant détermine le signe de la dérivée.
3.3. Tableau de Variations
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \((e^x)'\) | \(+\) | ||
| \(e^x\) | \(0^+\) | ↗ | \(+\infty\) |
- À gauche (\(x \to -\infty\)) : asymptote horizontale \(y = 0\).
- Point clé : passe par \((0\,;\,1)\) avec tangente de pente 1.
- À droite (\(x \to +\infty\)) : croissance explosive.
- Convexité : \((e^x)'' = e^x > 0\) — courbe toujours convexe.
IV. Limites et Croissances Comparées
4.1. Limites Fondamentales aux Bornes
| Limite | Valeur | Comment |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x}\) | \(0\) | \(e^{-x}=\frac{1}{e^x}\to 0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{-x}\) | \(+\infty\) | \(-x\to+\infty\) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}\) | \(1\) | \(=(e^x)'_{x=0}=1\) |
4.2. Croissances Comparées — Section Cruciale
L'exponentielle gagne toujours !
En \(+\infty\) — pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
En \(-\infty\) — pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
le plus lent
puissances
le plus rapide
1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty\)
2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^{100}}{e^x} = 0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 e^x = 0\)
- Identifier la forme indéterminée
- Si polynôme × expo : croissances comparées directement
- Si forme complexe : factoriser par le terme dominant
- Conclure avec signe et valeur
V. Équations et Inéquations
Tout repose sur : (1) \(e^x > 0\) toujours et (2) \(e^x\) est strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.
5.1. Résoudre \(e^{A(x)} = e^{B(x)}\)
1. \(e^{2x+1} = e^{5-x} \Rightarrow 2x+1=5-x \Rightarrow x=\dfrac{4}{3}\) \(\boxed{S=\left\{\frac{4}{3}\right\}}\)
2. \(e^{x^2-3x} = 1=e^0 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x=0\text{ ou }3\) \(\boxed{S=\{0\,;\,3\}}\)
5.2. Résoudre \(e^{A(x)} = k\)
Si \(k \leq 0\) : pas de solution.
\(e^x=-3\) : impossible car \(e^x > 0\). \(\boxed{S=\emptyset}\)
5.3. Inéquations
Si \(k \leq 0\) : \(e^{A} > k\) toujours vraie ; \(e^{A} < k\) toujours fausse.
Multiplier par un nombre négatif → le sens s'inverse !
5.4. Équations Produit
(A) \(e^A=e^B\) → égalité des exposants (B) \(e^A=k>0\) → appliquer \(\ln\) (C) \(e^A=k\leq 0\) → impossible (D) produit avec \(e^x\) → facteur polynomial seul.
VI. Étude Complète — Type Bac
On considère \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\displaystyle f(x) = (2x-3)e^x + 1\).
1. Domaine : \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\)
2. Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\), \(f(1)=1-e\approx-1{,}718\)
3. Calcul de \(f'(x)\) — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
4. Signe de \(f'(x)\) : \(e^x > 0\) → signe de \(2x-1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(2x-1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(e^x\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
5. Tableau de variations — minimum :
Limites :
- \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\))
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(1\) | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Conclusion : minimum en \(x=\dfrac{1}{2}\) : \(f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\).
6. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=1\) → droite \(\Delta:y=1\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\).
7. Position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(\Delta\) :
- \(x < \dfrac{3}{2}\) : \(f(x) < 1\) → courbe en dessous de \(\Delta\)
- \(x > \dfrac{3}{2}\) : \(f(x) > 1\) → courbe au-dessus de \(\Delta\)
- \(x = \dfrac{3}{2}\) : la courbe traverse l'asymptote
8. Intersection axe ordonnées : \(A(0\,;\,-2)\)
9. Intersection avec \(\Delta\) : \((2x-3)e^x=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\) → point \(\left(\dfrac{3}{2}\,;\,1\right)\)
10. Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\)
\(\exp=\) réciproque de \(\ln\)
\(e^x\) définie sur \(\mathbb{R}\), valeurs dans \(]0;+\infty[\)
\(e\approx 2{,}718\), \(e^0=1\), \(e^1=e\)
\(\ln(e^x)=x\) et \(e^{\ln(x)}=x\)
\(e^{a+b}=e^a\times e^b\)
\(e^{a-b}=e^a/e^b\)
\((e^a)^n=e^{na}\)
\(1/e^a=e^{-a}\)
\(e^0=1\)
\(e^x>0\) toujours !
\((e^x)'=e^x\)
\((e^{u(x)})'=u'(x)\cdot e^{u(x)}\)
Factorisez \(e^x\) dans la dérivée
\(\lim_{-\infty}e^x=0^+\), \(\lim_{+\infty}e^x=+\infty\)
\(\lim_{+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\)
\(\lim_{+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\)
\(\lim_{-\infty}x^n e^x=0\)
\(e^A=e^B \Leftrightarrow A=B\)
\(e^A=k>0 \Leftrightarrow A=\ln k\)
\(e^A=k\leq 0\) : impossible
\(P(x)\cdot e^Q=0 \Leftrightarrow P(x)=0\)
✅ \(e^x>0\) → factoriser dans la dérivée
✅ Asymptote horizontale si \(\lim=L\)
✅ Croissances comparées pour les FI
✅ Pas de condition de domaine pour \(e^x\)
- ❌ \(e^{a+b}\neq e^a+e^b\) → c'est \(e^a\times e^b\)
- ❌ \((e^x)'\neq xe^{x-1}\) → c'est \(e^x\) !
- ❌ Écrire que \(e^x=0\) a des solutions — impossible
- ❌ Oublier de factoriser \(e^x\) dans la dérivée
- ❌ Confondre \(e^{2x}\) et \(2e^x\)
- ❌ Ne pas utiliser les croissances comparées
- ✅ Toujours factoriser \(e^x\) dans la dérivée
- ✅ Croissances comparées dès que \(e^x\) et \(x^n\) coexistent
- ✅ Identifier le type d'équation (cas A, B, C ou D)
- ✅ Chercher l'asymptote horizontale en calculant les limites
- ✅ Vérifier : \(e^x>0\) et croissante — si votre réponse dit le contraire, elle est fausse
Calcul Intégral
Le Calcul Intégral
Des primitives aux aires — définition, propriétés, primitives usuelles, fonctions composées, intégration par parties (IPP & méthode ALPES), valeur moyenne et problème de synthèse type Bac.
📋 Sommaire du Chapitre
- Définition et Lien avec les Primitives
- Rappel primitives, formule fondamentale \(\int_a^b f = F(b)-F(a)\)
- Linéarité, relation de Chasles, inversion des bornes
- Interprétation Géométrique — L'Aire sous une Courbe
- Fonction positive, fonction négative, changement de signe
- Aire entre deux courbes, unité d'aire vs cm²
- Techniques de Calcul — Primitives Usuelles
- Tableau complet des primitives fondamentales
- Primitives de fonctions composées \(u', u^n, e^u, \frac{u'}{u}\)
- Intégration par Parties (IPP)
- Formule \(\int uv' = [uv] - \int u'v\), méthode ALPES, 2 exemples complets
- Valeur Moyenne d'une Fonction
- Définition \(\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f\), interprétation géométrique et physique
- Inégalités et Positivité de l'Intégrale
- Problème de Synthèse — Type Bac : \(f(x) = x\ln(x)\)
I. Définition et Lien avec les Primitives
1.1. Rappel sur les Primitives
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si :
Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x) + C\) où \(C \in \mathbb{R}\).
1.2. Définition de l'Intégrale
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :
La constante \(C\) s'annule toujours dans une intégrale définie.
1.3. Propriétés de l'Intégrale
La constante de primitive s'annule toujours. N'écrivez jamais le "\(+ C\)" dans une intégrale définie.
II. Interprétation Géométrique — L'Aire sous une Courbe
2.1. Fonction Positive — Cas Simple
Si \(f\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\) :
2.2. Les 3 Cas à Maîtriser
L'intégrale peut être négative. L'aire géométrique est toujours positive. Oublier la valeur absolue est l'erreur numéro 1 dans les calculs d'aire.
2.3. Aire entre Deux Courbes
Si \(f(x) \geq g(x)\) sur \([a\,;\,b]\) :
III. Techniques de Calcul — Primitives Usuelles
3.1. Tableau des Primitives Fondamentales
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n \neq -1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x \neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a \neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x > 0\) |
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\) ✓
3.2. Primitives de Fonctions Composées
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes économisées = 2 points gagnés.
IV. Intégration par Parties (IPP)
4.1. La Formule
4.2. Méthode ALPES
4.3. Exemples Complets
\(u=x\) (P), \(v'=e^x\) → \(u'=1\), \(v=e^x\)
\(u=\ln x\) (L), \(v'=1\) → \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x\)
- Mal choisir \(u\) et \(v'\) — utiliser ALPES !
- Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\)
- Oublier le signe − devant \(\int u'v\)
V. Valeur Moyenne d'une Fonction
5.1. Définition
\(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;\,b]\) ayant la même aire que la région sous la courbe de \(f\).
C'est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle — comme la moyenne arithmétique \(\frac{1}{n}\sum x_i\), généralisée au continu.
VI. Inégalités et Positivité
Si \(m \leq f(x) \leq M\) pour tout \(x \in [a\,;\,b]\) :
Sur \([0\,;\,1]\) : \(1\leq e^x\leq e\) → \(1\leq\int_0^1 e^x\,dx\leq e\). Vérification : \(e-1\approx1{,}718\in[1\,;\,e]\) ✓
VII. Problème de Synthèse — Type Bac
1. Dérivée : \(f'(x) = \ln(x)+1\), annulée en \(x=\dfrac{1}{e}\).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\dfrac{1}{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | ∥ | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(0\) | ↘ | \(-\dfrac{1}{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Minimum de \(-\dfrac{1}{e}\approx-0{,}368\) en \(x=\dfrac{1}{e}\).
3. Calculer \(\displaystyle\int_{1}^{e} x\ln(x)\,dx\)
\(u=\ln x\) (L), \(v'=x\) → \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=\frac{x^2}{2}\)
Sur \([1\,;\,e]\) : \(f(x)\geq 0\), donc :
Si 1 u. = 2 cm sur chaque axe : Aire réelle \(= \frac{e^2+1}{4}\times 4 = e^2+1\approx 8{,}389\) cm².
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)
La constante de primitive s'annule toujours.
Linéarité : \(\int(kf+\lambda g)=k\int f+\lambda\int g\)
Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\)
Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)
Si \(f\geq 0\) : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\)
Si \(f\leq 0\) : \(\mathcal{A}=\left|\int_a^b f\right|\)
Entre deux courbes : \(\mathcal{A}=\int_a^b|f-g|\)
\(\int uv'=[uv]-\int u'v\)
Choisir \(u\) : Arct→Log→Poly→Expo→Sin
\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\)
= hauteur du rectangle équivalent
Si \(m\leq f\leq M\) sur \([a,b]\) :
\(m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)\)
- ❌ Oublier la valeur absolue quand \(f<0\) → l'aire n'est jamais négative
- ❌ \(\int e^{2x}\,dx=e^{2x}\) — FAUX → \(\frac{1}{2}e^{2x}\)
- ❌ Mal choisir \(u\) et \(v'\) pour l'IPP (utiliser ALPES !)
- ❌ Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\)
- ❌ Ne pas découper l'intervalle quand \(f\) change de signe
- ❌ Confondre u.a. et cm² — multiplier par les échelles
- ✅ Vérifier le signe de \(f\) avant tout calcul d'aire
- ✅ Dériver la primitive trouvée pour vérifier
- ✅ Utiliser ALPES systématiquement pour l'IPP
- ✅ Relation de Chasles quand \(f\) change de signe
- ✅ Encadrement par l'inégalité de la moyenne pour vérifier l'ordre de grandeur
🤖 Besoin d'aide sur ce chapitre ?
Le tuteur IA répond à vos questions 24h/24 et explique chaque étape.
· 3 questions gratuites/jour · Illimité en Premium