Analyse II & Algèbre
Nombres Complexes, Équations Différentielles & Courbes Paramétrées
Nombres Complexes — Partie I
Nombres Complexes
Sommaire — Partie I
I. Naissance de \(i\) — Forme Algébrique
1.1 Pourquoi les Nombres Complexes ?
Dans \(\mathbb{R}\), \(x^2+1=0\) n’a pas de solution. On définit \(i\) tel que \(i^2=-1\) :
1.2 Cycle des Puissances de \(i\)
a) \(i^{23}=-i\) b) \(i^{100}=1\) c) \(i^{-1}=-i\)
1.3 Forme Algébrique — Définition et Égalité
- \(a=\text{Re}(z)\) : partie réelle \(b=\text{Im}(z)\) : partie imaginaire (réel !)
- Si \(b=0\) : réel pur. Si \(a=0,\,b\neq 0\) : imaginaire pur.
- \(\text{Im}(3+5i)=5\) — pas \(5i\).
- \(\sqrt{-4}=2i\). En général : \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) pour \(a>0\).
- Toujours remplacer \(i^2=-1\) dans tout calcul.
II. Opérations en Forme Algébrique
Avec \(z_1=3+2i\) et \(z_2=1-4i\) : \(z_1+z_2=4-2i\) ; \(z_1 z_2=11-10i\)
III. Conjugué
Symétrique de \(z\) par rapport à l’axe réel.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Double conjugaison | \(\overline{\bar{z}}=z\) |
| Somme | \(\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}\) |
| Produit | \(\overline{z\cdot z'}=\bar{z}\cdot\bar{z'}\) |
| \(z\cdot\bar{z}\) | \(a^2+b^2=|z|^2\geq 0\) |
IV. Module
V. Plan Complexe — Affixe et Image
À \(z=a+bi\) on associe \(M(a\,;\,b)\). \(M\) est l’image de \(z\) ; \(z\) est l’affixe de \(M\).
| Objet | Formule |
|---|---|
| Affixe de \(\overrightarrow{AB}\) | \(z_B-z_A\) |
| Distance \(AB\) | \(|z_B-z_A|\) |
| Milieu \(I\) | \(\dfrac{z_A+z_B}{2}\) |
| Centre de gravité \(G\) | \(\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\) |
VI. Argument
\(|z|=2\), \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)
\(\cos\theta=-\frac{1}{2}\) seul ne suffit pas. Le signe du sin est indispensable.
VII. Résolution d’Équations dans \(\mathbb{C}\)
| Cas | Racines |
|---|---|
| \(\Delta>0\) | Deux réelles \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta=0\) | Racine double \(-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) | Deux complexes conjuguées \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) |
\(\Delta=-16\) → \(z_1=1+2i\), \(z_2=1-2i\)
Propriété : \(1+j+j^2=0\).
\(z=a+bi\), \(i^2=-1\)
Cycle période 4 : \(i^{4k}=1\)
\(\bar{z}=a-bi\)
\(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(|zz'|=|z||z'|\)
\(\cos\theta=a/|z|\), \(\sin\theta=b/|z|\)
Défini modulo \(2\pi\)
Distance : \(|z_B-z_A|\)
Milieu : \(\frac{z_A+z_B}{2}\)
\(\Delta<0\) : racines conjuguées
Racines n-ièmes : espacées de \(2\pi/n\)
- \(\text{Im}(3+5i)=5\) et non \(5i\)
- Oublier de remplacer \(i^2=-1\) dans un produit
- Déterminer l’argument avec cos seul
- Écrire \(\sqrt{-\Delta}\) au lieu de \(i\sqrt{-\Delta}\)
- Oublier que les racines n-ièmes sont espacées de \(2\pi/n\)
Nombres Complexes — Partie II
Nombres Complexes
Sommaire — Partie II
I. Forme Trigonométrique
Opérations +, −, égalité
Lecture géométrique
Puissances, ×, ÷
1.2 Méthode — Passage Algébrique → Trigonométrique
- Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
- Résoudre simultanément \(\cos\theta=a/r\) ET \(\sin\theta=b/r\)
- Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
1. \(z=1+i\) : \(r=\sqrt{2}\), \(\theta=\pi/4\)
2. \(z=-1+i\sqrt{3}\) : \(r=2\), \(\theta=2\pi/3\)
3. \(z=-\sqrt{3}-i\) : \(r=2\), \(\theta=-5\pi/6\)
4. \(z=2-2i\) : \(r=2\sqrt{2}\), \(\theta=-\pi/4\)
1.3 Opérations en Forme Trigonométrique
Modules : se multiplient. Arguments : s’additionnent.
Si \(\cos\theta=-1/2\) seul, deux valeurs sont possibles. Le signe de \(\sin\theta\) est obligatoire.
II. Formule d’Euler et Forme Exponentielle
Relie les 5 constantes fondamentales : \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\).
\(2+2i\sqrt{3}=4e^{i\pi/3}\) \(-i=e^{-i\pi/2}\) \(-2=2e^{i\pi}\)
III. Formule de De Moivre et Linéarisation
1. \((1+i)^6=(\sqrt{2})^6 e^{i6\pi/4}=8e^{i3\pi/2}=-8i\)
2. \((\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}e^{i10\pi/6}=512-512\sqrt{3}\,i\)
3.2 Linéarisation
\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) \(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)
IV. Applications Géométriques
| Condition géométrique | Condition complexe |
|---|---|
| A, B, C alignés | \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\) |
| \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) | quotient imaginaire pur |
| ABC isocèle rect. en A | quotient \(=\pm i\) |
| ABC équilatéral | module 1, arg \(=\pm\pi/3\) |
| ABCD parallélogramme | \(z_A+z_C=z_B+z_D\) |
| Angle \(\widehat{BAC}\) | \(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\) |
V. Transformations du Plan par les Complexes
5.1 Tableau des Transformations
1. Rotation O, \(\pi/2\), image de \(M(2+i)\) : \(z'=i(2+i)=-1+2i\)
2. Rotation \(\Omega(1+i)\), \(\pi/2\), image de \(M(3)\) : \(z'=i(2-i)+(1+i)=2+3i\)
3. \(z'=(1+i)z+2\) : rapport \(k=\sqrt{2}\), angle \(\pi/4\), centre \(\Omega(2i)\).
Ne pas oublier de soustraire \(\omega\) avant de multiplier par \(e^{i\alpha}\).
VI. Problème de Synthèse — Type Bac
Données : \(A(z_A=1+i)\), \(B(z_B=3+2i)\), \(C(z_C=2+4i)\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\), angle \(\pi/2\).
\(z^2-2(1+i)z+(1+2i)=0\) — \(\Delta=-4\), \(\sqrt{\Delta}=2i\)
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Modules ×, arguments +
\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\)
Linéarisation via formules Euler
Aligné : quotient \(\in\mathbb{R}\)
Perp. : quotient im. pur
Rot. O : \(z'=e^{i\alpha}z\)
Rot. \(\Omega\) : \(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)
Algébrique · Trigo. · Expo.
- Déterminer l’argument avec une seule équation (cos ou sin) — il en faut deux
- Oublier de soustraire \(\omega\) dans une rotation de centre quelconque
- Confondre linéarisation et formule de Moivre (sens inverses)
- Conclure alignement sans montrer que le quotient est réel
- Oublier que \(|e^{i\theta}|=1\)
- Calculer \((re^{i\theta})^n=r\,e^{i\theta^n}\) au lieu de \(r^n e^{in\theta}\)
- Convertir en forme exponentielle avant de calculer des puissances
- Pour la perpendicularité : vérifier que le quotient est imaginaire pur
- Module = distance, argument = angle
- Rotation \(\Omega\) : soustraire \(\omega\), multiplier par \(e^{i\alpha}\), rajouter \(\omega\)
- Linéarisation pour simplifier des intégrales ou prouver des identités trigo.
Équations Différentielles
Équations Différentielles
Sommaire du Chapitre
I. Introduction — Définition et Vocabulaire
Équation dont l’inconnue est une fonction, faisant intervenir cette fonction et ses dérivées.
| Type | Équation | Inconnue | Solution |
|---|---|---|---|
| Algébrique | \(2x+3=7\) | Un nombre | \(x=2\) |
| Différentielle | \(y'=2y\) | Une fonction | \(y(x)=Ce^{2x}\) |
- Solution générale : famille de fonctions paramétrées par \(C\in\mathbb{R}\)
- Condition initiale (CI) : \(y(x_0)=y_0\) → détermine \(C\) de façon unique
- Problème de Cauchy : équation + CI → solution unique
- \(y'=3y\) → Type 1 (homogène)
- \(y'=-2y+6\) → Type 2 (second membre constant)
- \(y'+3y=9\) → Type 2 après mise en forme
II. Équations du Type \(y' = ay\) — Cas Homogène
Vérif : si \(y=Ce^{ax}\), alors \(y'=aCe^{ax}=ay\). ✓
| \(a\) | Comportement (\(C>0\)) |
|---|---|
| \(a>0\) | Croissance exponentielle → +∞ |
| \(a=0\) | Constante \(y=C\) |
| \(a<0\) | Décroissance exponentielle → 0 |
1. \(y'=3y\), \(y(0)=2\) : \(y=2e^{3x}\). Vérif : \(y'=6e^{3x}=3y\) ✓
2. \(y'=-y\), \(y(1)=5\) : \(y=5e^{-(x-1)}\)
3. \(2y'=5y\), \(y(0)=3\) : \(y'=\frac{5}{2}y\) → \(y=3e^{2{,}5x}\)
4. \(y'+4y=0\), \(y(2)=-1\) : \(y=-e^{-4(x-2)}\)
III. Équations du Type \(y' = ay + b\)
- Équilibre : \(y'=0\) → \(y_{\text{eq}}=-b/a\)
- Homogène associée : \(y'=ay\) → \(y_h=Ce^{ax}\)
- Solution générale : \(y=Ce^{ax}-b/a\)
1. \(y'=2y+3\), \(y(0)=1\) : équilibre \(-3/2\), \(C=5/2\) → \(y=\frac{5}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\)
2. \(y'=-y+4\), \(y(0)=2\) : équilibre 4, \(C=-2\) → \(y=4-2e^{-x}\) → tend vers 4
3. \(y'+3y=6\), \(y(1)=0\) : \(y'=-3y+6\), équilibre 2 → \(y=2(1-e^{-3(x-1)})\)
4. \(3y'-6y=9\), \(y(0)=-2\) : \(y'=2y+3\), \(C=-1/2\) → \(y=-\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\)
IV. Mise sous Forme Standard
Sol. : \(y=Ce^{ax}\)
Ex. : \(y'=3y\), \(2y'+y=0\)
Sol. : \(y=Ce^{ax}-b/a\)
Ex. : \(y'=2y+3\), \(y'+y=4\)
| Équation | Forme standard | Type | \(a\) | \(b\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y'+2y=0\) | \(y'=-2y\) | 1 | \(-2\) | \(0\) |
| \(3y'=y\) | \(y'=\frac{1}{3}y\) | 1 | \(\frac{1}{3}\) | \(0\) |
| \(y'+y=5\) | \(y'=-y+5\) | 2 | \(-1\) | \(5\) |
| \(2y'-4y=6\) | \(y'=2y+3\) | 2 | \(2\) | \(3\) |
| \(y'=\frac{y-2}{3}\) | \(y'=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\) | 2 | \(\frac{1}{3}\) | \(-\frac{2}{3}\) |
- \(y'+3y=6\) → \(a=+3\) ✘ → \(y'=-3y+6\) donc \(a=-3\)
- \(y'=2y+3\) → solution \(Ce^{2x}+\frac{3}{2}\) ✘ → le signe est \(-b/a=-\frac{3}{2}\)
- Confondre \(e^{ax}\) et \(ae^x\)
V. Applications Physiques
- Identifier la grandeur \(y(t)\)
- « Vitesse de variation » → \(y'(t)\) ; « proportionnel à \(y\) » → \(ay\)
- Écrire l’équation, identifier \(a\) et \(b\)
- Identifier la CI (état initial)
- Résoudre et interpréter
Demi-vie : \(T_{1/2}=\ln 2/k\)
Équilibre \(q_{\infty}=CE\)
Équilibre : température ambiante \(T_a\)
Croissance exponentielle (modèle Malthus)
\(T_0=90°C\), \(T_a=20°C\), \(k=0{,}05\) min\(^{-1}\).
a) \(T(10)=20+70e^{-0{,}5}\approx 62{,}4°C\)
b) \(T=50°C\) → \(t=5\ln 6\approx 16{,}9\) min
VI. Vérification d’une Solution
- Calculer \(y'(x)\)
- Calculer \(ay(x)+b\)
- Vérifier \(y'=ay+b\) pour tout \(x\)
- Vérifier la CI
\(y'=6e^{2x}\) ; \(2y+2=2(3e^{2x}-1)+2=6e^{2x}\) ✓ ; \(y(0)=3-1=2\) ✓
\(y'=-6e^{-3x}\) ; \(y'+3y=-6e^{-3x}+15+6e^{-3x}=15\) ✓
\(y=Ce^{-t}+3\) solution de \(y'+y=3\) pour tout \(C\). CI : \(C+3=7\) → \(C=4\) → \(y=4e^{-t}+3\)
VII. Synthèse — Exercice Type Bac
Contexte : \(C'(t)=-0{,}2\,C(t)+1{,}6\), \(C(0)=8\) mg/L.
Type 2 : \(a=-0{,}2\), \(b=1{,}6\). Équilibre : \(-b/a=8\).
\(C(t)=Ke^{-0{,}2t}+8\). Vérif : \(C'=-0{,}2Ke^{-0{,}2t}\) ; \(-0{,}2C+1{,}6=-0{,}2Ke^{-0{,}2t}\) ✓
\(K+8=8\) → \(K=0\) → \(C(t)=8\) (déjà à l’équilibre).
\(K+8=2\) → \(K=-6\) → \(C(t)=-6e^{-0{,}2t}+8\)
\(a=-0{,}2<0\) : \(C(t)\to 8\) mg/L quand \(t\to+\infty\).
\(C(t)=7\) : \(e^{-0{,}2t}=1/6\) → \(t=5\ln 6\approx 8{,}96\) h
Sol. : \(y=Ce^{ax}\)
Avec CI : \(y=y_0 e^{a(x-x_0)}\)
\(a<0\) : décroissance vers 0
Sol. : \(y=Ce^{ax}-b/a\)
Équilibre : \(y_{\text{eq}}=-b/a\)
\(a<0\) : convergence
Ramener à \(y'=ay+b\)
Identifier \(a\) et \(b\) (signes !)
Substituer \(y(x_0)=y_0\)
Résoudre pour \(C\)
Calculer \(y'\) et \(ay+b\)
Vérifier l’égalité + CI
« Proportionnel » → \(ay\)
« Vitesse de variation » → \(y'\)
Équilibre = état stable
- Oublier le signe moins dans \(-b/a\)
- Se tromper sur \(a\) : \(y'+3y=6\) → \(a=-3\) pas \(+3\)
- Confondre \(e^{ax}\) et \(ae^x\)
- S’arrêter à la solution générale quand une CI est donnée
- Oublier de vérifier la solution
- « Diminution proportionnelle à \(N\) » → \(N'=-kN\) (signe négatif !)
- Mettre sous forme \(y'=ay+b\) avant tout
- Calculer l’équilibre \(-b/a\) en premier
- Vérifier systématiquement la solution
- Si \(a<0\) : convergence vers l’équilibre
- Relier la constante d’équilibre à la réalité physique
Courbes Paramétrées
Courbes Paramétrées
Sommaire du Chapitre
I. Définition & Vocabulaire
Ensemble des points \(M(t)\) du plan dont les coordonnées sont des fonctions d’un paramètre réel \(t\) :
- \(f\) et \(g\) : fonctions dérivables sur \(I\)
- \(x(t)=f(t)\) : abscisse du point à l’instant \(t\)
- \(y(t)=g(t)\) : ordonnée du point à l’instant \(t\)
| Représentation | Exemple | Informations supplém. |
|---|---|---|
| Cartésienne \(y=f(x)\) | \(y=x^2\) | Aucune (pas de sens) |
| Paramétrique \((x(t),y(t))\) | \((\cos t,\sin t)\) | Sens de parcours donné |
| Terme | Définition |
|---|---|
| Support | La courbe tracée (image géométrique) |
| Sens de parcours | Direction dans laquelle \(M(t)\) se déplace quand \(t\) croît |
| Point multiple | Point atteint pour plusieurs valeurs de \(t\) |
| Point de rebroussement | Point où \(x'(t_0)=y'(t_0)=0\) et changement de direction |
II. Réduction de l’Intervalle d’Étude
2.1 Périodicité
Si \(x(t+T)=x(t)\) et \(y(t+T)=y(t)\) pour tout \(t\), alors la courbe est identique pour tout période. Il suffit d’étudier sur une période.
2.2 Symétries
| Condition | Symétrie | Réduction |
|---|---|---|
| \(x(-t)=x(t)\), \(y(-t)=-y(t)\) | Axe \(Ox\) (abscisses) | \([0,T/2]\) puis symétrie |
| \(x(-t)=-x(t)\), \(y(-t)=y(t)\) | Axe \(Oy\) (ordonnées) | \([0,T/2]\) puis symétrie |
| \(x(-t)=-x(t)\), \(y(-t)=-y(t)\) | Centre \(O\) | \([0,T/2]\) puis symétrie |
| \(x(T/2-t)=x(t)\), \(y(T/2-t)=-y(t)\) | Axe horizontal | Réduction supplém. |
- Périodicité de \(x\) et \(y\) → réduire à une période
- Parité / symétrie → réduire à demi-période
- Symétrie supplémentaire → réduire encore
- Période \(2\pi\) → étudier sur \([0,2\pi]\)
- \(x(-t)=\cos^3(-t)=\cos^3 t=x(t)\) et \(y(-t)=-\sin^3 t=-y(t)\) → axe \(Ox\) → étudier sur \([0,\pi]\)
- Symétrie supplémentaire \(t\leftrightarrow\pi-t\) → axe \(Oy\) → étudier sur \([0,\pi/2]\)
III. Vecteur Dérivé & Tangentes
Donne la direction et le sens de la tangente en \(M(t_0)\).
| Condition | Type de point | Tangente |
|---|---|---|
| \(x'(t_0)\neq 0\), \(y'(t_0)=0\) | Tangente horizontale | \(y=y(t_0)\) |
| \(x'(t_0)=0\), \(y'(t_0)\neq 0\) | Tangente verticale | \(x=x(t_0)\) |
| \(x'(t_0)\neq 0\), \(y'(t_0)\neq 0\) | Tangente oblique | Pente \(y'/x'\) |
| \(x'(t_0)=0\), \(y'(t_0)=0\) | Point stationnaire | Limite si elle existe |
Ou si \(x'(t_0)\neq 0\) : pente \(m=y'(t_0)/x'(t_0)\) et \(y-y_0=m(x-x_0)\).
Si \(x'(t_0)=y'(t_0)=0\), on cherche la direction limite de \(\vec{V}\) quand \(t\to t_0\), souvent via l’équivalent ou la limite du rapport \(y'(t)/x'(t)\).
\(x'(t)=-\sin t\), \(y'(t)=\cos t\). En \(t_0=\pi/4\) : \(M_0=(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\), \(\vec{V}=(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\).
Pente : \(m=\cos(\pi/4)/(-\sin(\pi/4))=-1\). Tangente : \(y=\frac{\sqrt2}{2}-(x-\frac{\sqrt2}{2})=-x+\sqrt2\).
IV. Sens de Parcours
Quand \(t\) croît, \(M(t)\) se déplace. Le sens de parcours est donné par le vecteur \(\vec{V}(t)\) :
| \(x'(t)\) | \(y'(t)\) | Direction de déplacement |
|---|---|---|
| \(>0\) | \(>0\) | Vers le haut-droite ↗ |
| \(>0\) | \(<0\) | Vers le bas-droite ↘ |
| \(<0\) | \(>0\) | Vers le haut-gauche ↖ |
| \(<0\) | \(<0\) | Vers le bas-gauche ↙ |
Dresser le tableau de signe de \(x'(t)\) et \(y'(t)\) sur l’intervalle d’étude pour identifier les variations de \(x\) et \(y\) séparément.
V. Courbes Usuelles — Figures Interactives
5.1 Cercle et Ellipse
5.2 Courbe de Lissajous \((\sin 2t,\cos t)\)
- Période : \(x\) de période \(\pi\), \(y\) de période \(2\pi\) → période commune \(2\pi\)
- \(x(-t)=-\sin 2t=-x(t)\) (impaire), \(y(-t)=\cos(-t)=y(t)\) (paire) → symétrie axe \(Oy\)
- Étudier sur \([0,\pi]\) puis compléter
5.3 Astroïde \((\cos^3 t, \sin^3 t)\)
- Période \(2\pi\), symétries axes \(Ox\) et \(Oy\) → étudier sur \([0,\pi/2]\)
- \(x'=-3\cos^2 t\sin t\), \(y'=3\sin^2 t\cos t\)
- Points stationnaires : \(t=0\) et \(t=\pi/2\) (rebroussement)
VI. Méthodologie Complète — Type Bac
- Domaine : intervalle de définition de \(x(t)\) et \(y(t)\)
- Périodicité : réduire à une période
- Symétries : réduire à demi-période si possible
- Variations : tableau de signe de \(x'\) et \(y'\), coordonnées aux points critiques
- Tangentes : aux points où \(x'=0\) ou \(y'=0\)
- Tracer : placer les points clés, tracer les tangentes, relier
- Compléter : par symétrie et/ou périodicité
\(x(t)=\sin 2t\) de période \(\pi\), \(y(t)=\cos t\) de période \(2\pi\) → période commune \(2\pi\).
\(x(-t)=-\sin 2t=-x(t)\) (impaire) ; \(y(-t)=\cos t=y(t)\) (paire) → symétrie / axe \(Oy\) → étude sur \([0,\pi]\).
| \(t\) | \(0\) | \(\pi/4\) | \(\pi/2\) | \(3\pi/4\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x'=2\cos 2t\) | \(+2\) | \(0\) | \(-2\) | \(0\) | \(+2\) |
| \(y'=-\sin t\) | \(0\) | \(-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(-1\) | \(-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(0\) |
| Type | Tang. H | Tang. V | Oblique | Tang. V | Tang. H |
| \(M(t)\) | \((0,1)\) | \((1,\frac{\sqrt2}{2})\) | \((0,0)\) | \((-1,\frac{\sqrt2}{2})\) | \((0,-1)\) |
En \(t=\pi/3\) : \(x'=2\cos(2\pi/3)=-1<0\), \(y'=-\sin(\pi/3)=-\frac{\sqrt3}{2}<0\) → direction ↙ (bas-gauche).
Symétrie par rapport à l’axe \(Oy\) : la branche \([-\pi,0]\) est le symétrique de \([0,\pi]\).
\(\Gamma=\{M(t)=(f(t),g(t))\mid t\in I\}\)
Sens de parcours = information supplémentaire
\(x(t+T)=x(t)\) et \(y(t+T)=y(t)\)
Étudier sur une période
\(x\) paire, \(y\) impaire → axe \(Ox\)
\(x\) impaire, \(y\) paire → axe \(Oy\)
\(x\) et \(y\) impaires → centre \(O\)
\(\vec{V}(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0))\)
Tang. H : \(y'=0\), \(x'\neq 0\)
Tang. V : \(x'=0\), \(y'\neq 0\)
\(x'(t_0)=y'(t_0)=0\)
Chercher la direction limite
Cercle : \((\cos t,\sin t)\)
Ellipse : \((a\cos t,b\sin t)\)
Astroïde : \((\cos^3 t,\sin^3 t)\)
Lissajous : \((\sin 2t,\cos t)\)
- Oublier d’étudier périodicité et parité avant tout calcul
- Confondre \(x'=0\) (tang. verticale) et \(y'=0\) (tang. horizontale)
- Conclure « tangente horizontale » quand \(x'(t_0)=0\) aussi — c’est un point stationnaire
- Ne pas calculer les coordonnées aux points critiques
- Tracer sans indiquer le sens de parcours
- Oublier de compléter par symétrie
- Réduire d’abord — périodicité puis parité
- Vérifier si \(x'\) et \(y'\) s’annulent simultanément avant de parler de tangente
- Calculer les coordonnées de tous les points critiques
- Dessiner les tangentes aux points critiques avant de relier
- Flèches sur la courbe — le sens de parcours est toujours exigé