Analyse, Suites & Fonctions
Fonctions numériques (limites, dérivation, étude complète) · Suites numériques · Logarithme & exponentielle · Équations, inéquations et systèmes. Première partie du programme de Terminale Série A.
Fonctions numériques — Limites
1 — Rappels : limites de référence
Avant d'aborder les techniques de calcul, il est indispensable de maîtriser le comportement asymptotique des fonctions élémentaires. Ce sont elles qui servent de « briques » dans toute limite plus complexe.
Lorsqu'une fonction n'est pas définie en un point \(a\) (par exemple parce qu'elle possède un pôle en ce point), on distingue la limite à droite \(\lim_{x\to a^+} f(x)\) et la limite à gauche \(\lim_{x\to a^-} f(x)\). Si ces deux limites existent et sont égales, on dit que \(f\) a une limite en \(a\) ; sinon, la limite en \(a\) n'existe pas.
Calculons \(\lim_{x\to-\infty} x^3\) et \(\lim_{x\to-\infty} x^4\). Puisque \(3\) est impair, \(x^3 \to -\infty\). Puisque \(4\) est pair, \(x^4 \to +\infty\). La parité change tout le signe.
Quand \(x\to 0^+\), on a \(x > 0\) donc \(\tfrac{1}{x} \to +\infty\). Quand \(x\to 0^-\), on a \(x < 0\) donc \(\tfrac{1}{x} \to -\infty\). La limite en \(0\) n'existe pas ; il y a deux limites unilatérales opposées.
\(\ln\) n'est défini que sur \(\mathopen]0\,,+\infty\mathclose[\). Lorsque \(x\to 0^+\), \(\ln x \to -\infty\) : la courbe plonge verticalement vers \(-\infty\) en s'approchant de l'axe des ordonnées. Lorsque \(x\to+\infty\), \(\ln x \to +\infty\) mais très lentement — bien plus lentement que n'importe quelle puissance de \(x\).
Pour un exposant entier impair, le signe de \(x^n\) est celui de \(x\) ; pour un exposant pair, \(x^n\) est toujours positif ou nul. En pratique : « pair → positif, impair → garde le signe ».
Figure 1 — Comportement comparé de \(x^n\) selon la parité de \(n\)
\(y=x^3\)
\(y=x\)
2 — Opérations sur les limites et formes indéterminées
Lorsque les limites de deux fonctions sont connues, on peut calculer la limite de leur somme, de leur produit ou de leur quotient en combinant ces résultats — sauf dans certains cas particuliers où l'opération produit une forme indéterminée, c'est-à-dire une expression dont le signe ou la valeur ne peut pas être décidée a priori.
Si \(\lim f = \ell\) et \(\lim g = m\) (finis ou infinis), alors sous réserve que le résultat ne soit pas indéterminé :
| Opération | Résultat | Cas indéterminés |
|---|---|---|
| \(f + g\) | \(\ell + m\) | \(+\infty - \infty\) |
| \(f \times g\) | \(\ell \times m\) | \(0 \times \infty\) |
| \(f / g\) | \(\ell / m\) | \(\infty/\infty\) et \(0/0\) |
Dans chacun de ces cas, le résultat peut valoir n'importe quel réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon les fonctions concernées. Il faut lever l'indétermination par un calcul algébrique.
En \(+\infty\) ou \(-\infty\), un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Pour une fraction rationnelle, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur après factorisation par la puissance dominante.
Concrètement, on met en facteur \(x^n\) (puissance la plus grande présente) au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie. Les termes en \(1/x^k\) tendent vers \(0\) et disparaissent.
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3x^2 - 5x + 1)\).
\[ 3x^2 - 5x + 1 = x^2\!\left(3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}\right). \]Comme \(x^2 \to +\infty\) et le facteur entre parenthèses tend vers \(3 > 0\), le produit tend vers \(+\infty\). Le terme \(3x^2\) « l'emporte » sur \(-5x\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x-3}\).
\[ \frac{2x+1}{x-3} = \frac{x(2+1/x)}{x(1-3/x)} = \frac{2+1/x}{1-3/x} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{2}{1} = 2. \]Les deux degrés sont égaux, la limite est le rapport des coefficients directeurs : \(2/1 = 2\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x^2+2}\).
\[ \frac{x+1}{x^2+2} = \frac{x^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(1+\frac{2}{x^2}\right)} = \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} \;\to\; 0. \]Le dénominateur « grandit plus vite » : la limite vaut \(0\).
Pour \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2 - x)\), on factorise par \(x^2\) et on obtient \(x^2(1 - 1/x)\). Attention : quand \(x\to-\infty\), \(-1/x\to 0^+\), le facteur entre parenthèses tend vers \(1 > 0\), et \(x^2 \to +\infty\). La limite est \(+\infty\), même si les deux termes semblent de signes opposés.
Figure 2 — Comportement de \(\dfrac{ax+1}{x-b}\) quand \(x\to\pm\infty\)
asymptote horizontale
3 — Limites de fonctions irrationnelles
Dès qu'une expression contient des racines carrées en addition ou en soustraction, les développements standards ne fonctionnent plus directement. La technique de la quantité conjuguée permet de transformer une forme \(\infty - \infty\) en une expression calculable.
On s'appuie sur l'identité algébrique \((\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B\). On multiplie et divise par la somme conjuguée \(\sqrt{A} + \sqrt{B}\) pour faire apparaître \(A - B\) au numérateur, expression polynomiale dont on sait calculer la limite.
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\). C'est une forme \(\infty - \infty\).
\[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}. \]Quand \(x\to+\infty\), le dénominateur \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = 0\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)\).
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]On factorise \(x\) au dénominateur (pour \(x > 0\), \(\sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1+1/x}\)) :
\[ \frac{x}{x\!\left(\sqrt{1+1/x}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}. \]La limite vaut \(\dfrac{1}{2}\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\). C'est une forme \(0/0\).
\[ \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2} \;\xrightarrow[x\to 4]{}\; \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}. \]La racine \(\sqrt{u(x)}\) n'est définie que pour \(u(x)\ge 0\). Avant tout calcul de limite, vérifier que l'expression est bien définie au voisinage du point considéré. Par exemple, \(\sqrt{2x-3}\) n'est défini qu'à partir de \(x = 3/2\) ; la limite en \(-\infty\) n'a pas de sens.
Figure 3 — \(\sqrt{x+c}-\sqrt{x}\) et son comportement en \(+\infty\)
asymptote \(y=0\)
4 — Limite d'une fonction composée \(f(ax+b)\)
Une fois la limite de la « partie intérieure » \(u(x) = ax+b\) identifiée, il suffit d'appliquer la limite usuelle de \(f\) à ce résultat. C'est le théorème de composition des limites dans le cas affine, le cas le plus courant au programme de Terminale A.
Soit \(u(x) = ax + b\) avec \(a \neq 0\), et soit \(f\) l'une des fonctions de référence (\(x^2\), \(\sqrt{x}\), \(1/x\), \(\ln x\), \(e^x\)). Si \(\lim u(x) = \ell\) (fini ou infini) et si \(f\) admet une limite \(L\) en \(\ell\), alors :
\[ \lim f\!\bigl(u(x)\bigr) = L. \]En pratique, on procède en deux étapes : d'abord calculer la limite de \(ax+b\), puis appliquer la règle usuelle de \(f\) à ce résultat intermédiaire.
Étape 1 : identifier \(u(x) = ax + b\) et déterminer \(\lim u(x)\)
comme une limite affine usuelle.
Étape 2 : remplacer mentalement \(u(x)\) par sa limite dans la
fonction \(f\) et lire la limite usuelle de \(f\) à ce point.
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{2x-3}\). On a \(u(x)=2x-3 \to +\infty\), et \(\sqrt{u}\to+\infty\). Donc la limite vaut \(+\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{-2x+1}\). On a \(u(x)=-2x+1 \to -\infty\), et \(e^u \to 0^+\). Donc la limite vaut \(0^+\).
\(\displaystyle\lim_{x\to(1/2)^+} \ln(2x-1)\). On a \(u(x)=2x-1 \to 0^+\) quand \(x\to(1/2)^+\), et \(\ln u \to -\infty\). Donc la limite vaut \(-\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to(-2/3)^+} \frac{1}{3x+2}\). On a \(3x+2 \to 0^+\) donc \(\dfrac{1}{3x+2}\to+\infty\). À gauche de \(-2/3\) : \(3x+2 \to 0^-\) donc \(\dfrac{1}{3x+2}\to-\infty\). La limite globale n'existe pas.
Quand la limite intérieure est \(0\), il faut impérativement préciser si c'est \(0^+\) ou \(0^-\) avant d'appliquer la limite de \(f = 1/u\) ou de \(f = \ln u\). Le signe de \(u(x)\) au voisinage du point est déterminé par celui de \(a\) dans \(u(x)=ax+b\).
Figure 4 — \(f(ax+b)\) : choisir \(f\), \(a\) et \(b\)
Puissances, racine carrée, \(e^x\), \(\ln x\) : mémoriser le comportement en \(\pm\infty\) et en \(0\). Pôles : toujours distinguer la limite à gauche et à droite.
\(\infty-\infty\), \(\infty/\infty\), \(0/0\), \(0\times\infty\). Lever par factorisation (terme dominant) ou par quantité conjuguée.
En \(\pm\infty\) : factoriser par le plus haut degré, les termes inférieurs disparaissent. Le résultat dépend de la comparaison des degrés.
Multiplier et diviser par \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\) pour transformer \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\) en \(\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}\).
\(f(ax+b)\) : calculer d'abord \(\lim(ax+b)\), puis appliquer la limite usuelle de \(f\) à ce résultat. Attention au signe en cas de pôle (\(0^+\) vs \(0^-\)).
Exercice type Bac — Étude d'une fonction rationnelle et irrationnelle
On considère la fonction \(f\) définie par \(\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{3x+4}-2}{x-0}\) pour \(x \neq 0\) et \(x \ge -4/3\), puis la fonction \(g\) définie par \(\displaystyle g(x) = \frac{2x^2 - x - 3}{x^2 - 1}\).
Question 1 — Limite de \(g\) en \(+\infty\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)\).
C'est une forme \(\infty/\infty\). Les deux polynômes sont de même degré 2. On divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) :
\[ g(x) = \frac{2 - 1/x - 3/x^2}{1 - 1/x^2} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{2}{1} = 2. \]La courbe de \(g\) admet donc la droite \(y = 2\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
Question 2 — Limite de \(g\) en \(1\). Étudier le comportement de \(g\) au voisinage de \(x = 1\).
Le dénominateur \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) s'annule en \(x=1\). Le numérateur en \(x=1\) vaut \(2(1)^2 - 1 - 3 = -2 \neq 0\). C'est donc bien un pôle.
En \(x = 1^+\) : \(x-1 \to 0^+\) et \(x+1 \to 2 > 0\), donc \((x-1)(x+1) \to 0^+\). Le numérateur tend vers \(-2 < 0\). Donc \(g(x) \to -\infty\).
En \(x = 1^-\) : \(x-1 \to 0^-\) et \(x+1 \to 2\), donc le dénominateur \(\to 0^-\). Avec un numérateur négatif, \(g(x) \to +\infty\).
La droite \(x = 1\) est une asymptote verticale à la courbe de \(g\).
Question 3 — Simplification de \(g\). Montrer que, pour \(x \neq \pm 1\), \(g(x) = \dfrac{2x-3}{x-1}\).
On factorise le numérateur : \(2x^2 - x - 3\). On cherche deux facteurs du type \((2x - a)(x - b)\) avec \(ab = 3\) et \(a + 2b = 1\). On trouve \(a = 3\), \(b = -1\) :
\[ 2x^2 - x - 3 = (2x - 3)(x + 1). \]Le dénominateur \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). Donc :
\[ g(x) = \frac{(2x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-3}{x-1} \quad (x \neq -1). \]Question 4 — Limite de \(f\) en \(0\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3x+4}-2}{x}\).
C'est une forme \(0/0\). On multiplie par la quantité conjuguée \(\sqrt{3x+4}+2\) :
\[ f(x) = \frac{(\sqrt{3x+4}-2)(\sqrt{3x+4}+2)}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{(3x+4)-4}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{3x}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{3}{\sqrt{3x+4}+2}. \]Quand \(x\to 0\) : \(\sqrt{3(0)+4}+2 = \sqrt{4}+2 = 4\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \frac{3}{4}\).
Question 5 — Interprétation graphique. Que représente géométriquement la valeur \(3/4\) trouvée à la question 4 ?
La limite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}\) est précisément la définition du nombre dérivé de \(h(x) = \sqrt{3x+4}\) en \(x = 0\). En effet, \(h(0) = 2\) et \(\dfrac{\sqrt{3x+4} - 2}{x} \to \dfrac{3}{4}\).
La valeur \(3/4\) est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(h : x \mapsto \sqrt{3x+4}\) en son point d'abscisse \(0\). Cette tangente a pour équation \(y = \tfrac{3}{4}x + 2\).
Fonctions numériques — Dérivation
1 — Taux de variation et nombre dérivé
La dérivation naît d'une question concrète : à quelle vitesse une quantité change-t-elle ? En analyse, on mesure cette vitesse par le taux de variation d'une fonction entre deux points, puis on fait tendre les deux points l'un vers l'autre pour obtenir la vitesse instantanée — le nombre dérivé.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(x_0 \in I\). Pour tout \(h \neq 0\) tel que \(x_0+h \in I\), le taux de variation de \(f\) entre \(x_0\) et \(x_0+h\) est :
\[\tau(h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]Géométriquement, \(\tau(h)\) est le coefficient directeur de la droite sécante à la courbe passant par les points d'abscisses \(x_0\) et \(x_0+h\).
\(f\) est dérivable en \(x_0\) si la limite suivante existe et est finie :
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]Cette limite s'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\). Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x_0\), d'équation :
\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).\]Calculons \(f'(1)\) pour \(f(x) = x^2\).
\(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 - 1}{h} = \dfrac{1+2h+h^2-1}{h} = \dfrac{h(2+h)}{h} = 2+h \xrightarrow[h\to 0]{} 2.\)
Donc \(f'(1) = 2\), et la tangente en \(x_0=1\) a pour équation \(y = 2(x-1)+1 = 2x-1\).
Un mobile parcourt une distance \(d(t) = 3t^2 + 2t\) mètres en \(t\) secondes. La vitesse instantanée à \(t_0 = 2\) s est \(d'(2)\).
\(\dfrac{d(2+h)-d(2)}{h} = \dfrac{3(2+h)^2+2(2+h)-(12+4)}{h} = \dfrac{3(4+4h+h^2)+4+2h-16}{h} = \dfrac{12h+3h^2+2h}{h} = 14+3h \to 14.\)
La vitesse instantanée à \(t=2\) s est donc \(14\) m/s.
Ne pas confondre le taux de variation \(\tau(h)\) (qui dépend encore de \(h\)) et le nombre dérivé \(f'(x_0)\) (qui est sa limite quand \(h\to 0\)). Le taux de variation est la pente d'une sécante ; le nombre dérivé est la pente de la tangente.
Figure 1 — De la sécante à la tangente : faites glisser \(h\) vers 0
Sécante
Tangente en \(x_0\)
2 — Dérivées usuelles et opérations
Plutôt que de revenir chaque fois à la définition, on dispose d'un catalogue de dérivées connues et de règles qui permettent de dériver toute combinaison de fonctions sans calcul de limite.
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables, et \(k \in \mathbb{R}\) :
\[\begin{array}{ll} (u+v)' = u'+v' & \qquad (ku)' = ku' \\[4pt] (uv)' = u'v + uv' & \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \end{array}\]Pour \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'\), on identifie d'abord \(u\) et \(v\), on calcule séparément \(u'\) et \(v'\), puis on applique la formule. Ne jamais « dériver numérateur et dénominateur séparément » sans la formule !
Soit \(f(x) = x^3 e^x\). Posons \(u = x^3\) et \(v = e^x\), alors \(u' = 3x^2\) et \(v' = e^x\).
\(f'(x) = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = e^x(3x^2 + x^3) = x^2 e^x(3+x).\)
Soit \(g(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}\). Posons \(u = 2x-1\), \(v = x^2+1\), donc \(u' = 2\), \(v' = 2x\).
\(g'(x) = \dfrac{2(x^2+1)-(2x-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x^2+2-4x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}.\)
Soit \(h(x) = 3\ln x - \dfrac{2}{x} + 5\) définie sur \(\,]0;+\infty[\).
\(h'(x) = \dfrac{3}{x} - \left(-\dfrac{2}{x^2}\right) + 0 = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{3x+2}{x^2}.\)
\(\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'\) peut se traiter comme un quotient (\(u=1,\ v=x^2\)) ou comme une puissance \((x^{-2})' = -2x^{-3}\). Les deux donnent le même résultat \(-\dfrac{2}{x^3}\), mais la méthode des puissances est souvent plus rapide.
3 — Dérivée d'une composée \(f(ax+b)\)
Le programme de Terminale A limite la dérivation des fonctions composées au cas où la fonction « intérieure » est affine, c'est-à-dire de la forme \(x \mapsto ax+b\). Cette situation est extrêmement fréquente au Bac et mérite qu'on la maîtrise parfaitement.
Si \(f\) est dérivable et \(a, b \in \mathbb{R}\), alors la fonction \(x \mapsto f(ax+b)\) est dérivable et :
\[\big[f(ax+b)\big]' = a \cdot f'(ax+b).\]En d'autres termes, on dérive normalement \(f\), on évalue en \(ax+b\), et on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure, c'est-à-dire par \(a\).
Avant de dériver, identifier \(f\) et la fonction affine intérieure \(u = ax+b\). Repérer le coefficient \(a\) qui « sort » devant lors de la dérivation. En cas de doute, noter la dérivée de \(f\) en \(u\) puis remplacer \(u\) par \(ax+b\) et multiplier par \(a\).
\(f(x) = (3x-2)^4\) : ici \(f : t \mapsto t^4\) et \(u = 3x-2\), donc \(a = 3\).
\(f'(x) = 4 \times 3 \times (3x-2)^3 = 12(3x-2)^3.\)
\(g(x) = \sqrt{5-2x}\) définie sur \(\left]-\infty\,;\frac{5}{2}\right[\). Ici \(a = -2\).
\(g'(x) = \dfrac{-2}{2\sqrt{5-2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5-2x}}.\)
\(h(x) = e^{-2x+1}\) : \(h'(x) = -2\,e^{-2x+1}\).
\(k(x) = \ln(4x+3)\) définie sur \(\left]-\frac{3}{4}\,;+\infty\right[\) : \(k'(x) = \dfrac{4}{4x+3}\).
\(\big[e^{3x}\big]'\) n'est pas \(e^{3x}\), mais bien \(3e^{3x}\). De même, \(\big[\ln(5x)\big]' = \dfrac{5}{5x} = \dfrac{1}{x}\) (et non \(\dfrac{1}{5x}\)). Le facteur \(a\) est systématiquement obligatoire.
Figure 2 — Courbe de \(f(ax+b)\) et sa dérivée : choisissez \(f\), \(a\) et \(b\)
\(y = [f(ax+b)]'\)
4 — Signe de la dérivée et variations
Connaître la dérivée d'une fonction, c'est bien ; savoir en extraire l'information sur le comportement de la fonction, c'est encore mieux. Le lien entre le signe de \(f'\) et les variations de \(f\) est au cœur de l'étude de fonction.
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).
- Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
Si \(f'\) s'annule en un point \(x_0\) en changeant de signe, \(f\) admet un extremum local en \(x_0\) : minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\), maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\).
Étape 1 : calculer \(f'(x)\). Étape 2 : résoudre \(f'(x) = 0\) et repérer les points où \(f'\) n'est pas définie. Étape 3 : signer \(f'\) sur chaque intervalle (tableau de signes). Étape 4 : en déduire le tableau de variations de \(f\), en calculant les valeurs remarquables (\(f\) aux extrémités et aux points critiques).
Étudier les variations de \(f(x) = (2x-1)^2\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x) = 2 \times 2 \times (2x-1) = 4(2x-1).\)
\(f'(x) = 0 \iff 2x-1 = 0 \iff x = \tfrac{1}{2}.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 0 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\frac{1}{2}\right]\), croissante sur \(\left[\frac{1}{2}\,;+\infty\right[\), avec un minimum global \(f\!\left(\frac{1}{2}\right) = 0\).
Étudier les variations de \(g(x) = x\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x).\)
Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(g'\) est celui de \((1-x)\) : \(g'(x) > 0 \iff x < 1\) et \(g'(x) < 0 \iff x > 1\).
\(g\) est croissante sur \(]-\infty\,; 1]\), décroissante sur \([1\,;+\infty[\), avec un maximum \(g(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}\).
Étudier les variations de \(h(x) = \dfrac{x^2}{x-1}\) sur \(]-\infty\,;1[\).
\(h'(x) = \dfrac{2x(x-1)-x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}.\)
Sur \(]-\infty\,;1[\), \((x-1)^2 > 0\). On signe \(x(x-2)\) : il s'annule en \(x=0\) et \(x=2\) (mais \(x=2\notin\,]-\infty\,;1[\)). Pour \(x < 0\) : \(x(x-2) = (\text{nég.})(\text{nég.}) > 0\) ; pour \(0 < x < 1\) : \(x(x-2) = (\text{pos.})(\text{nég.}) < 0\).
\(h\) est croissante sur \(]-\infty\,;0]\), décroissante sur \([0\,;1[\), avec un maximum local \(h(0) = 0\).
Dans les exercices de Bac, \(f'\) est souvent déjà factorisée ou se factorise facilement. Si l'énoncé demande de montrer que \(f'(x) = \ldots\), vérifier que la forme donnée se factorise bien et signer chaque facteur séparément.
Figure 3 — Variations de \(f(x) = x^2 + ax + b\) : déplacez les paramètres
\(f'(x) = 2x + a\)
Minimum de \(f\)
Exercice type Bac — Étude complète d'une fonction
Question 1 — Calculer \(f'(x)\) et la simplifier.
\(f\) est le produit de \(u(x) = 2x-1\) et de \(v(x) = e^{-x}\).
On a \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = -e^{-x}\) (composée affine avec \(a=-1\)).
\(f'(x) = u'v + uv' = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}\big[2 - (2x-1)\big] = e^{-x}(3-2x).\)
Question 2 — Signe de \(f'(x)\) et tableau de variations.
Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((3-2x)\).
\(3 - 2x > 0 \iff x < \dfrac{3}{2}.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{3}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(2e^{-3/2}\) | ↘ | \(0\) |
\(f\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\frac{3}{2}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{3}{2}\,;+\infty\right[\), avec un maximum \(f\!\left(\frac{3}{2}\right) = (2\times\frac{3}{2}-1)e^{-3/2} = 2e^{-3/2}\).
Question 3 — Équation de la tangente en \(x_0 = 0\).
\(f(0) = (0-1)e^{0} = -1\).
\(f'(0) = e^{0}(3-0) = 3\).
L'équation de la tangente en \(x_0 = 0\) est : \(y = 3(x - 0) + (-1) = 3x - 1.\)
Question 4 — Limites aux bornes.
En \(+\infty\) : \(e^{-x} \to 0\) et \((2x-1)\) croît, mais les exponentielles l'emportent sur les polynômes : \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0\). La courbe admet la droite \(y=0\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
En \(-\infty\) : \(2x-1 \to -\infty\) et \(e^{-x} \to +\infty\), donc \(f(x) \to -\infty\). La courbe n'a pas d'asymptote en \(-\infty\).
Question 5 — Point d'intersection avec l'axe des abscisses.
\(f(x) = 0 \iff (2x-1)e^{-x} = 0 \iff 2x-1 = 0\) (car \(e^{-x} \neq 0\)) \(\iff x = \dfrac{1}{2}\).
La courbe coupe l'axe des abscisses en \(\left(\dfrac{1}{2}\,; 0\right)\) uniquement.
\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Tangente : \(y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), \((e^x)' = e^x\).
\((uv)' = u'v+uv'\). \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\).
\([f(ax+b)]' = a \cdot f'(ax+b)\). Le coefficient \(a\) sort systématiquement.
\(f' > 0 \Rightarrow f\) croissante. \(f' < 0 \Rightarrow f\) décroissante. Changement de signe de \(f'\) : extremum local.
Calculer \(f'\), factoriser, dresser le tableau de signes, puis le tableau de variations avec les valeurs remarquables.
Fonctions numériques — Travaux pratiques
III.1 — Étude d'une fonction polynôme
Une fonction polynôme de degré \(n\) est une fonction de la forme \[f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,\] où les \(a_i\) sont des réels et \(a_n \neq 0\). Son domaine de définition est toujours \(\mathbb{R}\) tout entier : il n'y a aucune valeur interdite.
Si \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\), alors \[f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1.\] En pratique on dérive terme à terme : \((x^n)' = n x^{n-1}\), \((ax)' = a\), \((a)' = 0\).
Sur un intervalle où \(f'(x) > 0\), la fonction \(f\) est strictement croissante. Sur un intervalle où \(f'(x) < 0\), elle est strictement décroissante. En un point \(x_0\) où \(f'(x_0) = 0\) et où \(f'\) change de signe, \(f\) admet un extremum local.
- Domaine : \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\) toujours.
- Dériver \(f\) terme à terme pour obtenir \(f'\).
- Factoriser \(f'\) (mise en facteur, identités remarquables, facteur commun) pour déterminer facilement son signe.
- Tableau de signes de \(f'\) puis tableau de variations de \(f\).
- Calculer les valeurs en les points critiques et aux extrémités (ou limites en \(\pm\infty\)).
Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). On dérive terme à terme : \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\).
Le produit \(3(x-1)(x+1)\) est positif quand les deux facteurs sont de même signe, négatif quand ils sont de signes opposés. On obtient : \(f'(x) > 0\) sur \(]-\infty\,;-1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), et \(f'(x) < 0\) sur \(]-1\,;1[\).
Ainsi \(f\) est croissante, puis décroissante, puis croissante. Les extrema locaux sont : maximum \(f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4\) et minimum \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\).
Soit \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\). On reconnaît une identité remarquable : \(f(x) = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2 \geq 0\).
Dérivée : \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)\). C'est un produit de trois facteurs linéaires de coefficient dominant \(4 > 0\). Tableau de signe :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
La fonction admet deux minimums globaux en \(x = \pm 1\) (valeur \(0\)) et un maximum local en \(x = 0\) (valeur \(1\)).
Soit \(g(x) = x^4 - 8x^2 + 12\). Alors \(g'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)\). Les racines de \(g'\) sont \(x = -2, 0, 2\).
Valeurs remarquables : \(g(-2) = 16 - 32 + 12 = -4\), \(g(0) = 12\), \(g(2) = 16 - 32 + 12 = -4\). La courbe possède donc deux minimums globaux (\(-4\)) et un maximum local (\(12\)).
Quand \(f'(x_0) = 0\), on dit que \(x_0\) est un point critique, mais cela ne signifie pas forcément un extremum. Si \(f'\) ne change pas de signe en \(x_0\) — par exemple \(h(x) = x^3\) avec \(h'(0) = 0\) mais \(h'\) reste positive de part et d'autre — alors il n'y a pas d'extremum, seulement un point d'inflexion à tangente horizontale. Toujours vérifier le changement de signe.
Pour un polynôme \(f(x) = a_n x^n + \cdots\), le comportement en \(\pm\infty\) est dicté par \(a_n x^n\) seul. Si \(a_n > 0\) et \(n\) pair : \(f \to +\infty\) des deux côtés. Si \(a_n > 0\) et \(n\) impair : \(f \to -\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite. Ces informations guident la lecture du tableau de variations avant même de calculer.
Figure III.1 — Polynôme de degré 3 : exploration interactive
\(f'(x)\)
III.2 — Fonctions rationnelles et asymptotes
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes avec \(Q \not\equiv 0\). Son domaine de définition est \(\mathbb{R}\) privé des racines de \(Q\) : \(\mathcal{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}\).
On appelle asymptote verticale en \(x = x_0\) toute droite verticale telle que \(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to x_0\) (avec \(x_0\) racine de \(Q\) non racine de \(P\)). On appelle asymptote horizontale en \(y = \ell\) toute droite horizontale telle que \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\).
- Asymptote verticale : résoudre \(Q(x) = 0\). Pour chaque racine \(x_0\), calculer \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) (analyser les signes au voisinage).
- Asymptote horizontale : diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) présente, puis passer à la limite. Si \(\deg P < \deg Q\), la limite est \(0\). Si \(\deg P = \deg Q\), la limite est le rapport des coefficients dominants.
- Décomposer : pour \(f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\), écrire \(f(x) = \dfrac{a}{c} + \dfrac{k}{cx+d}\) (division euclidienne) permet de lire simultanément l'asymptote horizontale \(y = a/c\) et la forme de la dérivée.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division euclidienne : \(2x + 1 = 2(x-1) + 3\), donc \(f(x) = 2 + \dfrac{3}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) : quand \(x \to 1^+\), \(\frac{3}{x-1} \to +\infty\) ; quand \(x \to 1^-\), \(\frac{3}{x-1} \to -\infty\). Asymptote horizontale \(y = 2\) : quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x-1} \to 0\).
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2} < 0\) sur tout le domaine. La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;1[\) et \(]1\,;+\infty[\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Division : \(x + 3 = \tfrac{1}{2}(2x-4) + 5\), donc \(f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2x-4}\).
Asymptote verticale \(x = 2\) : quand \(x \to 2^+\), \(\frac{5}{2x-4} \to +\infty\) ; quand \(x \to 2^-\), \(\frac{5}{2x-4} \to -\infty\).
Asymptote horizontale \(y = \tfrac{1}{2}\) : quand \(x \to \pm\infty\).
Dérivée (règle du quotient, avec \(u = x+3\), \(v = 2x-4\)) :
\[ f'(x) = \frac{1 \cdot (2x-4) - (x+3) \cdot 2}{(2x-4)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \frac{-10}{(2x-4)^2} < 0. \]\(f'\) est partout strictement négative : \(f\) est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}\). Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Division euclidienne de \(x^2 - 1\) par \(x + 2\) : \(x^2 - 1 = (x+2)(x-2) + 3\), donc \(h(x) = x - 2 + \dfrac{3}{x+2}\).
Quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x+2} \to 0\) donc \(h(x) \approx x - 2\) : la droite \(y = x - 2\) est une asymptote oblique (voir section suivante). L'asymptote verticale est \(x = -2\).
Si \(Q(x_0) = 0\) et \(P(x_0) = 0\) simultanément, il n'y a pas nécessairement d'asymptote verticale en \(x_0\). Par exemple \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\) pour \(x \neq 2\). La droite \(x = 2\) n'est pas une asymptote : la fonction se prolonge par continuité. Toujours simplifier avant de conclure.
Quand on obtient \(f'(x) = \dfrac{k}{(cx+d)^2}\), le dénominateur est toujours positif. Le signe de \(f'\) est donc entièrement déterminé par le signe de la constante \(k\) : si \(k < 0\), la fonction est décroissante partout sur son domaine sans exception. Pas besoin de tableau de signes complexe.
Figure III.2 — Fraction rationnelle : asymptotes et courbe
asymptote verticale
asymptote horizontale
III.3 — Asymptote oblique
On dit que la droite \(y = mx + p\) est une asymptote oblique de \(f\) en \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) si \(\lim_{x \to +\infty} \bigl[f(x) - (mx+p)\bigr] = 0\). Cela se produit quand le degré du numérateur est exactement égal au degré du dénominateur plus un : \(\deg P = \deg Q + 1\).
- Effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(Q\) : on obtient \(P(x) = Q(x) \cdot (mx + p) + r(x)\) où \(\deg r < \deg Q\).
- Donc \(f(x) = mx + p + \dfrac{r(x)}{Q(x)}\), et \(\dfrac{r(x)}{Q(x)} \to 0\) quand \(x \to \pm\infty\).
- La droite \(y = mx + p\) est l'asymptote oblique.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division : \(2x^2 + x - 3 = (x-1)(2x+3) + 0\), donc \(f(x) = 2x + 3\) pour \(x \neq 1\).
Ici le reste est nul : \(x = 1\) est une racine commune que l'on simplifie, et la fonction se prolonge en une droite. Il n'y a ni asymptote verticale, ni asymptote oblique — seulement un trou en \(x = 1\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\). Division : \(x^2 + 2x - 1 = (x+1)(x+1) - 2\), donc \(g(x) = x + 1 - \dfrac{2}{x+1}\).
Asymptote oblique : \(y = x + 1\) (quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{2}{x+1} \to 0\)). Asymptote verticale : \(x = -1\).
Dérivée : \(g'(x) = 1 + \dfrac{2}{(x+1)^2} > 0\) : la fonction est strictement croissante sur chacun des deux intervalles de son domaine, ce qui est cohérent avec le comportement d'une hyperbole tournée par rapport aux axes.
Une asymptote est une droite dont la courbe s'approche, mais la courbe peut la croiser avant de s'y rapprocher à l'infini. Par exemple, si \(g(x) - (x+1) = -\frac{2}{x+1}\), alors \(g(-1+\varepsilon) - ((-1+\varepsilon)+1)\) change de signe selon le côté de \(-1\). La courbe est alternativement au-dessus et en-dessous de son asymptote.
Figure III.3 — Asymptote oblique : décomposition interactive
asymptote verticale \(x=-1\)
asymptote oblique \(y=x+1\)
Exercice type Bac — Étude complète d'une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) par \[f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}.\]
Question 1 — Domaine et simplification éventuelle.
Le seul réel interdit est \(x = 2\) (racine du dénominateur). Factorisons le numérateur : \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\). On obtient donc \[f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x + 1 \quad \text{pour } x \neq 2.\] La valeur \(x = 2\) est exclue du domaine, mais la courbe est en réalité la droite \(y = x + 1\) avec un trou en \((2\,;\,3)\). Il n'y a ni asymptote verticale, ni asymptote oblique proprement dite.
Question 2 — Dérivée et variations.
Sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(f(x) = x + 1\) donc \(f'(x) = 1 > 0\) partout sur le domaine. La fonction est strictement croissante sur \(]-\infty\,;2[\) et sur \(]2\,;+\infty[\).
Question 3 — Étude de \(g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Le numérateur \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) ne s'annule jamais, donc il n'y a pas de simplification.
Division euclidienne : \(x^2 + 1 = (x-1)(x+1) + 2\), donc \(g(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) et asymptote oblique \(y = x + 1\).
Dérivée :
\[ g'(x) = 1 - \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 2}{(x-1)^2}. \]\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}\). Soit \(x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}41\) et \(x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\).
Question 4 — Tableau de variations de \(g\).
Le dénominateur \((x-1)^2 > 0\) toujours, le signe de \(g'\) est celui de \((x-1)^2 - 2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(x_1+1+\frac{2}{x_1-1}\) | \(\searrow\) | || | \(\searrow\) | \(x_2+1+\frac{2}{x_2-1}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Valeur au maximum local : \(g(x_1) = (1-\sqrt{2})+1+\dfrac{2}{-\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \approx -0{,}83\). Valeur au minimum local : \(g(x_2) = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4{,}83\).
Question 5 — Position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
On a \(g(x) - (x+1) = \dfrac{2}{x-1}\). Ce reste est positif quand \(x > 1\) (la courbe est au-dessus de l'asymptote) et négatif quand \(x < 1\) (la courbe est en-dessous). La courbe ne coupe donc jamais son asymptote oblique, mais est de part et d'autre selon la branche considérée.
Domaine toujours \(\mathbb{R}\). Dériver terme à terme, factoriser \(f'\), dresser le tableau de signes. Le coefficient dominant détermine le comportement en \(\pm\infty\).
Dénominateur nul, numérateur non nul. Analyser les signes à gauche et à droite pour savoir si \(f \to +\infty\) ou \(-\infty\).
Diviser par la plus haute puissance. Si \(\deg P = \deg Q\) : limite = rapport des coefficients dominants. Si \(\deg P < \deg Q\) : limite = 0.
Division euclidienne de \(P\) par \(Q\) quand \(\deg P = \deg Q + 1\). Écrire \(f(x) = mx + p + \frac{r(x)}{Q(x)}\).
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\). Si le résultat est \(\dfrac{k}{v^2}\) avec \(k\) constant, le signe de \(f'\) est celui de \(k\).
Si \(f'(x_0) = 0\) mais \(f'\) ne change pas de signe, c'est un point d'inflexion. Toujours vérifier le changement de signe avant de conclure.
Suites numériques
IV.1 — Généralités et sens de variation
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) (ou d'une partie de \(\mathbb{N}\)) dans \(\mathbb{R}\). On note ses valeurs \(u_0, u_1, u_2, \ldots\) ou encore \((u_n)_{n \ge 0}\). Deux modes de définition sont courants.
Forme explicite : on donne directement \(u_n\) en fonction de \(n\), par exemple \(u_n = 3n^2 - 1\). On peut alors calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.
Forme récurrente : on donne \(u_0\) (le premier terme) et une relation de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\). Pour obtenir \(u_5\), il faut d'abord calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\) dans l'ordre.
Une suite est croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\), et décroissante si \(u_{n+1} \le u_n\). En pratique, on étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
Lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut aussi comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) : si le quotient est supérieur à \(1\), la suite croît ; s'il est inférieur à \(1\), elle décroît.
Pour montrer que \((u_n)\) est croissante à partir de la forme explicite \(u_n = f(n)\), on calcule \(u_{n+1} - u_n = f(n+1) - f(n)\) et on détermine le signe de cette expression en fonction de \(n\).
- Exprimer \(u_{n+1}\) en remplaçant \(n\) par \(n+1\) dans la formule.
- Former la différence \(u_{n+1} - u_n\) et la simplifier (factorisation si nécessaire).
- Conclure : signe constant positif → croissante ; négatif → décroissante.
Soit \(u_n = 2n + 5\). On a \(u_{n+1} - u_n = 2(n+1)+5 - (2n+5) = 2 > 0\). La suite est donc strictement croissante.
Soit \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1\). Calculons les premiers termes : \(u_1 = 6\), \(u_2 = 4\), \(u_3 = 3\), \(u_4 = 2{,}5\). La suite semble décroissante. On vérifie : si \(u_n > 2\), alors \(u_{n+1} - u_n = 1 - \dfrac{u_n}{2} < 0\), ce qui confirme la décroissance tant que les termes restent supérieurs à \(2\).
Vérifier que quelques termes croissent ne suffit pas à conclure : il faut que la propriété soit établie pour tout \(n \ge 0\). Une suite peut croître pour les premiers rangs puis décroître (par exemple \(u_n = n\,e^{-n}\)).
Représentation de deux suites — visualisation interactive
\(v_n = -n^2/4+6\)
IV.2 — Suites arithmétiques
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r \in \mathbb{R}\) si chaque terme s'obtient en ajoutant \(r\) au précédent : \[u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n \ge 0.\] Si \(r > 0\), la suite est croissante ; si \(r < 0\), décroissante ; si \(r = 0\), tous les termes sont égaux (suite constante).
Cette formule permet d'accéder directement à n'importe quel terme sans calculer les intermédiaires. Elle montre que \(u_n\) est une fonction affine de \(n\).
\[ S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)\,(u_0 + u_n)}{2} \]La somme vaut « nombre de termes » multiplié par « demi-somme du premier et du dernier terme ». Remarquons qu'il y a \(n+1\) termes de \(u_0\) à \(u_n\).
- Calculer \(u_1 - u_0\), \(u_2 - u_1\), \(u_3 - u_2\).
- Si toutes ces différences sont égales, la suite est arithmétique de raison \(r = u_1 - u_0\).
- Écrire la formule du terme général \(u_n = u_0 + nr\).
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = 3\) et \(u_0 = 5\).
Terme général : \(u_n = 5 + 3n\).
Terme d'indice 10 : \(u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35\).
Somme \(S_{10}\) :
\(S_{10} = \dfrac{11 \times (5 + 35)}{2} = \dfrac{11 \times 40}{2} = 220\).
On sait que \(u_3 = 11\) et \(u_7 = 19\). Trouver \(r\), \(u_0\) et \(u_{20}\).
De \(u_7 = u_3 + 4r\) on tire \(19 = 11 + 4r\), donc \(r = 2\).
Ensuite \(u_0 = u_3 - 3r = 11 - 6 = 5\).
Enfin \(u_{20} = 5 + 2 \times 20 = 45\).
On veut calculer la somme des entiers de \(1\) à \(100\). La suite \(u_n = n\) est arithmétique, \(u_1 = 1\), \(u_{100} = 100\), donc \(S = \dfrac{100 \times (1 + 100)}{2} = 5050\).
De \(u_0\) à \(u_n\) il y a \(n+1\) termes, pas \(n\). De \(u_p\) à \(u_q\) il y en a \(q - p + 1\). Oublier le « \(+1\) » est l'erreur classique dans le calcul de somme.
Suite arithmétique — ajustez \(u_0\) et la raison \(r\)
IV.3 — Suites géométriques et somme des termes
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q \ne 0\) si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par \(q\) : \[u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{pour tout } n \ge 0.\] La raison \(q\) est le rapport constant \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (valable tant que \(u_n \ne 0\)).
Cas particulier : si \(q = 1\), tous les termes valent \(u_0\) et \(S_n = (n+1)\,u_0\).
- Si tous les termes sont non nuls, calculer \(\dfrac{u_1}{u_0}\), \(\dfrac{u_2}{u_1}\), etc.
- Si ces rapports sont tous égaux, la suite est géométrique de raison \(q\).
- Écrire \(u_n = u_0 \cdot q^n\).
\((u_n)\) géométrique de raison \(q = 3\), \(u_0 = 2\).
\(u_5 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486\).
\(S_5 = 2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3}
= 2 \times \dfrac{1 - 729}{-2}
= 2 \times 364 = 728\).
Un capital de \(1000\) € est placé à intérêts composés de taux \(5\,\%\) par an. Le capital après \(n\) années vaut \(u_n = 1000 \times 1{,}05^n\). Il s'agit d'une suite géométrique de raison \(1{,}05\).
Après \(10\) ans : \(u_{10} = 1000 \times 1{,}05^{10} \approx 1629\) €.
Soit \(u_0 = 8\) et \(q = -\dfrac{1}{2}\). \(u_n = 8 \times \left(-\tfrac{1}{2}\right)^n\). Les termes alternent en signe et tendent vers \(0\).
La formule \(u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) n'est pas définie pour \(q = 1\) (division par zéro). Dans ce cas, utiliser directement \(S_n = (n+1)u_0\).
Suite géométrique — faites varier \(u_0\) et \(q\)
IV.4 — Limites de suites
On dit que \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si les termes \(u_n\) se rapprochent indéfiniment de \(\ell\) quand \(n\) grandit. On note alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Si les termes grandissent sans limite, on écrit \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\) (divergence vers \(+\infty\)). Si la suite n'admet pas de limite (oscillation persistante), on dit qu'elle diverge.
C'est le résultat pivot du chapitre : toute limite de suite géométrique ou de suite du type \(u_n = a \cdot q^n + b\) se ramène à ce tableau.
Si \(\lim u_n = \ell\) et \(\lim v_n = m\), alors : \(\lim (u_n + v_n) = \ell + m\), \(\lim (u_n \cdot v_n) = \ell m\), et \(\lim (u_n / v_n) = \ell/m\) si \(m \ne 0\). Ces règles permettent de calculer les limites terme à terme.
Lorsque \(u_n\) s'exprime comme une fraction rationnelle en \(n\), on factorise numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(n\) présente, puis on passe à la limite terme à terme.
- Repérer la puissance dominante au dénominateur.
- Diviser tous les termes (numérateur et dénominateur) par cette puissance.
- Exploiter \(\dfrac{1}{n^k} \to 0\) pour simplifier.
\(u_n = 5 \times (0{,}5)^n + 3\). Comme \(|0{,}5| < 1\), \((0{,}5)^n \to 0\), donc \(u_n \to 3\). La suite converge vers \(3\).
\(u_n = \dfrac{2n+1}{n+3}\). On divise par \(n\) : \[\frac{2n+1}{n+3} = \frac{2+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{3}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{2}{1} = 2.\]
\(v_n = \sqrt{3n+1}\). Comme \(3n+1 \to +\infty\), on a \(\sqrt{3n+1} \to +\infty\). La suite diverge vers \(+\infty\).
\(w_n = (-2)^n\). Comme \(q = -2 \le -1\), la suite oscille entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes : elle n'admet pas de limite.
Le théorème sur \(q^n\) concerne la base fixe et l'exposant variable. Pour \(u_n = n^2\) ou \(u_n = n^3\), ce sont des puissances polynomiales de \(n\) qui tendent vers \(+\infty\), pas des suites géométriques.
Comportement de \(u_n = a \cdot q^n + L\) — choisissez les paramètres
Limite \(L\)
Exercice type Bac — Placement à intérêts composés
Deux amis, Awa et Kofi, placent chacun de l'argent dans deux banques différentes.
- Awa place \(500\) € à intérêts composés de taux \(4\,\%\) par an. Son capital après \(n\) années est \(A_n = 500 \times 1{,}04^n\).
- Kofi alimente un compte par versements constants : il commence avec \(200\) € et ajoute \(60\) € chaque année. Son capital est \(K_n = 200 + 60n\).
Question 1 — Quelle est la nature de chacune des suites \((A_n)\) et \((K_n)\) ? Préciser les paramètres.
\((A_n)\) est géométrique de premier terme \(A_0 = 500\) et de raison \(q = 1{,}04\), car \(A_{n+1} = 1{,}04 \times A_n\). \((K_n)\) est arithmétique de premier terme \(K_0 = 200\) et de raison \(r = 60\), car \(K_{n+1} = K_n + 60\).
Question 2 — Calculer \(A_{10}\) et \(K_{10}\). Arrondir à l'euro.
\(A_{10} = 500 \times 1{,}04^{10}\). On calcule \(1{,}04^{10} \approx 1{,}4802\), donc \(A_{10} \approx 500 \times 1{,}4802 \approx 740\) €. \(K_{10} = 200 + 60 \times 10 = 200 + 600 = 800\) €. Après \(10\) ans, Kofi dispose de plus de capital.
Question 3 — Calculer la somme totale versée par Awa sur les \(10\) premières années (de \(A_0\) à \(A_9\)).
La somme \(S = A_0 + A_1 + \cdots + A_9\) est la somme des \(10\) premiers termes d'une suite géométrique : \[S = 500 \times \frac{1 - 1{,}04^{10}}{1 - 1{,}04} = 500 \times \frac{1 - 1{,}4802}{-0{,}04} = 500 \times \frac{0{,}4802}{0{,}04} \approx 500 \times 12 = 6001\ €.\] (Valeur exacte à vérifier à la calculatrice.)
Question 4 — Étudier les limites de \((A_n)\) et \((K_n)\) quand \(n \to +\infty\). Interpréter.
Pour \((A_n)\) : la raison \(q = 1{,}04 > 1\), donc \(1{,}04^n \to +\infty\), et \(A_n = 500 \times 1{,}04^n \to +\infty\). Le capital d'Awa croît sans limite, et de plus en plus vite. Pour \((K_n)\) : \(K_n = 200 + 60n \to +\infty\) également, mais de façon linéaire (un terme de plus en plus petit relativement). À long terme, c'est \((A_n)\) qui « écrase » \((K_n)\) : la croissance exponentielle l'emporte toujours sur la croissance linéaire.
Question 5 (bonus) — À partir de quelle année \(n\) le capital d'Awa dépasse-t-il celui de Kofi ?
On cherche le plus petit \(n\) tel que \(A_n > K_n\), soit \(500 \times 1{,}04^n > 200 + 60n\). Il n'existe pas de solution algébrique simple ; on procède par tâtonnement ou tableau de valeurs. Pour \(n = 10\) : \(A_{10} \approx 740\) et \(K_{10} = 800\), donc Awa est encore derrière. Pour \(n = 20\) : \(A_{20} = 500 \times 1{,}04^{20} \approx 500 \times 2{,}191 \approx 1096\) et \(K_{20} = 200 + 1200 = 1400\), toujours derrière. Pour \(n = 40\) : \(A_{40} \approx 500 \times 4{,}801 \approx 2400\) et \(K_{40} = 2600\), encore derrière. Pour \(n = 50\) : \(A_{50} \approx 500 \times 7{,}107 \approx 3554\) et \(K_{50} = 3200\) — Awa dépasse Kofi ! Le croisement a lieu entre \(n = 40\) et \(n = 50\), vers \(n \approx 47\).
Raison \(r\) constante : \(u_{n+1} = u_n + r\). Terme général : \(u_n = u_0 + nr\). Somme : \(S_n = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\).
Raison \(q \ne 0\) : \(u_{n+1} = qu_n\). Terme général : \(u_n = u_0 q^n\). Somme : \(S_n = u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (\(q \ne 1\)).
\(|q|<1\) : \(q^n \to 0\). \(q>1\) : \(q^n \to +\infty\). \(q \le -1\) : pas de limite.
Fractions rationnelles : diviser par la plus haute puissance de \(n\). Croissance exponentielle > polynomiale à l'infini.
Fonction ln et exponentielle
V.1 — La fonction logarithme népérien
Il existe une unique fonction dérivable sur \(]0\,;+\infty[\), notée \(\ln\) (logarithme népérien), vérifiant :
\[ \ln(1) = 0 \qquad\text{et}\qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad\text{pour tout } x > 0. \]Ce sont les deux caractéristiques qui définissent \(\ln\) de façon unique. Toutes les autres propriétés en découlent.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[ \ln(ab) = \ln a + \ln b. \]On en déduit immédiatement, pour \(a, b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[ \ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^{n}) = n\ln a. \]Puisque \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
\[ \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. \]Valeurs remarquables : \(\ln 1 = 0\) et, par définition du nombre \(e\), \(\ln e = 1\) (avec \(e \approx 2{,}718\)).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour simplifier \(\ln A\) avec \(A > 0\), on factorise \(A\) en produit, quotient ou puissance, puis on applique les règles algébriques.
- Factoriser l'expression sous le \(\ln\).
- Développer avec \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
- Simplifier les termes restants.
Calculer \(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right)\).
\(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right) = \ln(e^3) - \ln(e^{1/2}) = 3\ln e - \tfrac{1}{2}\ln e = 3 - \tfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\).
Résoudre \(\ln(2x - 1) = \ln 3\) (sur \(]1/2\,;+\infty[\)).
\(\ln\) étant strictement croissante, l'équation \(\ln A = \ln B\) est équivalente à \(A = B\). Donc \(2x - 1 = 3\), soit \(x = 2\). On vérifie : \(2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Solution : \(\{2\}\).
Résoudre \(\ln x \leq \ln(3x - 2)\) sur leur domaine commun.
Domaine : \(x > 0\) et \(3x - 2 > 0\), donc \(x > 2/3\). Comme \(\ln\) est croissante, l'inéquation équivaut à \(x \leq 3x - 2\), soit \(2 \leq 2x\), soit \(x \geq 1\). En intersectant avec le domaine : \(x \geq 1\). Solution : \([1\,;+\infty[\).
On ne peut écrire \(\ln A\) que si \(A\) est strictement positif. Avant tout calcul, il faut donc préciser le domaine en imposant \(A > 0\). Oublier cette condition entraîne une pénalité systématique au Bac.
Pour comparer deux réels strictement positifs \(a\) et \(b\), on peut étudier le signe de \(\ln a - \ln b = \ln(a/b)\) : il est positif si et seulement si \(a/b > 1\), c'est-à-dire \(a > b\). La croissance de \(\ln\) transforme une comparaison de réels en une comparaison de logarithmes.
Figure 1 — Courbe de y = ln x (déplacer le curseur pour lire les valeurs)
tangente en \(a\)
V.2 — La fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^{x}\), est la fonction réciproque de \(\ln\). Cela signifie que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \ln(e^{x}) = x \qquad\text{et}\qquad e^{\ln x} = x \;(x > 0). \]En particulier, \(e^{0} = 1\), \(e^{1} = e \approx 2{,}718\) et \(e^{-1} = 1/e\). La notation \(e^{x}\) est préférable à \(\exp(x)\) car elle respecte les règles de calcul sur les puissances.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ e^{a+b} = e^{a} \cdot e^{b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^{a}} \qquad e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \qquad (e^{a})^{n} = e^{na}. \]On admet que \((e^{x})' = e^{x}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Comme \(e^{x} > 0\), la dérivée est toujours positive : \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty. \]| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e^{x}\) | \(0^+\) | \(e^{-1}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour passer d'une équation/inéquation en \(\ln\) à une en \(e\) (ou inversement), on utilise la bijectivité et les relations réciproques :
- \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u, v > 0\)).
- \(\ln u = k \iff u = e^{k}\) (avec \(u > 0\)).
- \(e^{u} = e^{v} \iff u = v\).
- \(e^{u} = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)).
- Les inégalités : \(\ln u < \ln v \iff u < v\) et \(e^u < e^v \iff u < v\).
Résoudre \(e^{2x-1} = e^{x+3}\).
Comme \(\exp\) est injective : \(2x - 1 = x + 3\), donc \(x = 4\). Solution : \(\{4\}\).
Résoudre \(e^{x} = 5\) sur \(\mathbb{R}\).
En appliquant \(\ln\) des deux membres (loisible car \(5 > 0\)) : \(\ln(e^{x}) = \ln 5\), soit \(x = \ln 5\). Solution : \(\{\ln 5\}\).
Résoudre \(e^{3x} > e^{x+4}\).
Comme \(\exp\) est croissante : \(3x > x + 4\), soit \(2x > 4\), donc \(x > 2\). Solution : \(]2\,;+\infty[\).
\(e^{\ln x}\) n'est défini que pour \(x > 0\), mais \(\ln(e^{x})\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Ne jamais appliquer \(\ln\) à un nombre négatif ou nul : \(\ln(-2)\) n'existe pas.
Lorsqu'une expression de la forme \(A \cdot e^{kx} + B\) doit être étudiée, on met \(e^{kx}\) en facteur pour lire le signe. Exemple : \(e^{x} - 2 = e^{x}(1 - 2e^{-x})\) — mais on préfère souvent étudier \(f(x) = e^{x} - 2\) directement : \(f(x) > 0 \iff e^x > 2 \iff x > \ln 2\).
Figure 2 — Courbe de y = e^x et tangente en x = a
tangente en \(a\)
V.3 — Fonctions réciproques et symétrie graphique
Deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont leurs courbes représentatives symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Pour \(\ln\) et \(\exp\), cela signifie que le point \((a\,;\, b)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\exp}\) si et seulement si \((b\,;\, a)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\ln}\).
On pose \(g(x) = e^{x} - x - 1\) et on cherche le minimum de \(g\).
- \(g'(x) = e^{x} - 1\) : \(g'(x) < 0\) pour \(x < 0\), \(g'(x) > 0\) pour \(x > 0\).
- \(g\) est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x = 0\).
- \(g(0) = 1 - 0 - 1 = 0\), donc \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x\).
- On conclut : \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cette inégalité est très souvent demandée en préliminaire d'exercice de Bac.
Montrer que \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Pour \(x > 0\), on pose \(t = \ln x\) (qui parcourt \(\mathbb{R}\) quand \(x\) parcourt \(]0\,;+\infty[\)). L'inégalité \(e^{t} \geq t + 1\) s'écrit \(x \geq \ln x + 1\), soit \(\ln x \leq x - 1\). L'égalité a lieu en \(t = 0\), c'est-à-dire en \(x = 1\).
Sur la figure interactive ci-dessous, on peut vérifier que le passage d'un point de \(\mathcal{C}_{\exp}\) à sa symétrique par rapport à \(y = x\) donne bien un point de \(\mathcal{C}_{\ln}\). Le curseur permet de déplacer le point et d'observer la construction en temps réel.
Figure 3 — Symétrie de ln et exp par rapport à y = x (déplacer le point bleu)
\(y = \ln x\)
\(y = x\)
Exercice type Bac — Étude de \((x-1)e^x+1\)
Question 1 — Domaine et limites aux bornes.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) car \(e^{x}\) et les fonctions polynômes sont définies sur \(\mathbb{R}\).
En \(-\infty\) : Quand \(x \to -\infty\), \(e^{x} \to 0\) avec une vitesse beaucoup plus grande que \(|x|\) croît (\(e^x\) est une infiniment petite rapide). Donc \((x-1)e^{x} \to 0\), soit \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1\). La droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\).
En \(+\infty\) : \((x-1) \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\), donc \((x-1)e^x \to +\infty\) et \(f(x) \to +\infty\).
Question 2 — Dérivée et tableau de variations.
On dérive \(f(x) = (x-1)e^{x} + 1\) par la règle du produit :
\(f'(x) = 1 \cdot e^{x} + (x-1) \cdot e^{x} = e^{x}(1 + x - 1) = x\,e^{x}.\)
Comme \(e^{x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x\) : \(f'(x) < 0\) pour \(x < 0\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 0\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\), avec un minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0\).
Question 3 — Sens de la variation de \(f'\).
On calcule \(f''(x) = (xe^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x\). \(f''(x) > 0 \iff x > -1\), donc \(f'\) est croissante sur \([-1\,;+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty\,;-1]\). La courbe de \(f\) présente un point d'inflexion en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-2)e^{-1} + 1 = 1 - 2/e\).
Question 4 — Position par rapport à l'axe des abscisses.
Le minimum de \(f\) est \(f(0) = 0\). Comme \(f(0) = 0\) et c'est le minimum global, on a \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cela implique en particulier que \((x-1)e^{x} \geq -1\) pour tout réel \(x\), inégalité que l'on peut retrouver en posant \(t = x\) dans l'inégalité \(e^t \geq t + 1\) vue en cours.
Question 5 — Équation de la tangente au minimum.
Au point \((0\,;\, f(0)) = (0\,;\,0)\), la pente de la tangente est \(f'(0) = 0 \cdot e^0 = 0\). La tangente est donc l'axe des abscisses \(y = 0\). C'est cohérent avec le fait que \(x = 0\) est un minimum : la tangente y est toujours horizontale.
Définie sur \(]0\,;+\infty[\), \(\ln 1 = 0\), \((\ln x)' = 1/x\). Croissante, \(\ln x \to -\infty\) en \(0^+\), \(\ln x \to +\infty\) en \(+\infty\). Règles : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\) : \(e^{\ln x} = x\) (\(x > 0\)), \(\ln(e^x) = x\). Croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(e^x \to 0\) en \(-\infty\), \(\to +\infty\) en \(+\infty\). \((e^x)' = e^x\), \(e^{a+b} = e^a e^b\), \(e^{-a} = 1/e^a\).
\(\ln u = k \iff u = e^k\) (avec \(u > 0\)). \(e^u = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)). \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u,v > 0\)). \(e^u = e^v \iff u = v\).
\(e^x \geq x + 1\) pour tout \(x\) (égalité en \(x = 0\)). Corollaire : \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\) (égalité en \(x = 1\)). Ces inégalités se démontrent par étude du minimum d'une fonction auxiliaire.
Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Cela signifie que \((a\,;b) \in \mathcal{C}_{\exp}\) ssi \((b\,;a) \in \mathcal{C}_{\ln}\).
\(\ln A\) n'est défini que si \(A > 0\). Toujours préciser le domaine avant de résoudre une équation ou inéquation. Oublier cette condition entraîne une pénalité directe au Bac.
Équations, inéquations et systèmes avec ln et exp
VI.1 — Équations avec l'exponentielle
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc bijective : elle ne prend jamais deux fois la même valeur. On dispose ainsi de l'équivalence \[e^u = e^v \iff u = v.\] Cette simple observation permet de « dés-exponentier » une équation en égalant directement les exposants.
Résoudre \(e^{2x-1} = e^3\).
Les deux membres ont la même base \(e\), donc on égale les exposants : \[2x - 1 = 3 \iff 2x = 4 \iff x = 2.\] L'ensemble solution est \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Résoudre \(e^{3x} = e^{x+4}\).
\[3x = x + 4 \iff 2x = 4 \iff x = 2.\] \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Lorsqu'une équation contient à la fois \(e^{2x}\) et \(e^x\), on remarque que \(e^{2x} = (e^x)^2\). On pose alors \(t = e^x\), avec la contrainte impérative \(t > 0\) (l'exponentielle est toujours strictement positive). L'équation se ramène à un polynôme du second degré en \(t\) ; une fois \(t\) trouvé, on revient à \(x\) par \(x = \ln t\) (uniquement si \(t > 0\)).
Résoudre \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\).
On pose \(t = e^x > 0\). Comme \(e^{2x} = t^2\), l'équation devient : \[t^2 - 5t + 6 = 0.\] On factorise : \((t - 2)(t - 3) = 0\), donc \(t = 2\) ou \(t = 3\). Ces deux valeurs sont bien strictement positives, on peut revenir à \(x\) : \[e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2, \qquad e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3.\] \(\mathbb{S} = \{\ln 2\,;\,\ln 3\}\).
Résoudre \(e^{2x} + 3e^x - 4 = 0\).
Avec \(t = e^x > 0\) : \(t^2 + 3t - 4 = 0\), soit \((t+4)(t-1) = 0\). On obtient \(t = -4\) ou \(t = 1\). La valeur \(t = -4\) est rejetée car \(e^x > 0\). Pour \(t = 1\) : \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). \(\mathbb{S} = \{0\}\).
Après avoir résolu le trinôme en \(t\), il faut absolument vérifier que \(t > 0\) avant de calculer \(\ln t\). Une valeur négative ou nulle de \(t\) doit être rejetée sans hésitation.
Figure 1 — Résolution graphique de \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\)
VI.2 — Équations avec le logarithme
Le logarithme népérien est strictement croissant sur \(]0\,;+\infty[\), donc bijectif sur cet intervalle : \[\ln u = \ln v \iff u = v \quad (\text{avec } u > 0 \text{ et } v > 0).\] Contrairement à l'exponentielle qui est définie sur tout \(\mathbb{R}\), le logarithme exige que ses arguments soient strictement positifs. Cette vérification du domaine est une étape obligatoire, jamais optionnelle.
Résoudre \(\ln(x+2) = \ln(3x-4)\).
Domaine : il faut \(x + 2 > 0\) et \(3x - 4 > 0\), soit \(x > -2\) et \(x > \tfrac{4}{3}\), donc \(x > \tfrac{4}{3}\).
Sur ce domaine, par injectivité de \(\ln\) : \[x + 2 = 3x - 4 \iff 6 = 2x \iff x = 3.\] Comme \(3 > \tfrac{4}{3}\), la solution est valide : \(\mathbb{S} = \{3\}\).
Résoudre \(\ln x + \ln(x+3) = \ln 10\).
Domaine : \(x > 0\) (la condition \(x+3>0\) est alors automatiquement satisfaite).
On applique \(\ln a + \ln b = \ln(ab)\) : \[\ln\!\big(x(x+3)\big) = \ln 10 \iff x(x+3) = 10.\] \[x^2 + 3x - 10 = 0.\] Discriminant : \(\Delta = 9 + 40 = 49\), \(\sqrt{\Delta} = 7\). \[x = \frac{-3 \pm 7}{2} \Rightarrow x = 2 \text{ ou } x = -5.\] Seul \(x = 2 > 0\) est dans le domaine. \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Résoudre \(\ln(2x-1) = 2\).
Domaine : \(2x - 1 > 0\), soit \(x > \tfrac{1}{2}\).
On applique \(e^{\ln(\cdot)} = (\cdot)\) : \[\ln(2x-1) = 2 \iff 2x - 1 = e^2 \iff x = \frac{e^2 + 1}{2}.\] Comme \(\tfrac{e^2+1}{2} \approx 4{,}19 > \tfrac{1}{2}\), la solution est valide : \(\mathbb{S} = \!\left\{\dfrac{e^2+1}{2}\right\}\).
Une solution algébriquement correcte peut ne pas appartenir au domaine de définition (argument du logarithme négatif ou nul). Dans l'exemple 2, \(x = -5\) satisfait l'équation algébrique mais rend \(\ln x\) inexistant : elle doit être rejetée. Cette vérification finale est toujours exigée au Bac.
Figure 2 — Intersection de \(y = \ln x + \ln(x+3)\) et \(y = \ln 10\)
VI.3 — Inéquations
Parce que \(\exp\) et \(\ln\) sont toutes deux strictement croissantes, elles conservent le sens des inégalités :
\[u < v \iff e^u < e^v \qquad (u, v \in \mathbb{R})\] \[u < v \iff \ln u < \ln v \qquad (u, v > 0)\]Une fonction strictement décroissante aurait inversé le sens : c'est la raison pour laquelle il faut vérifier le sens de variation avant de passer une inégalité « sous l'exponentielle » ou « sous le logarithme ».
Résoudre \(e^x \leq 5\).
L'exponentielle est croissante, donc on peut prendre le logarithme des deux membres en conservant le sens : \[e^x \leq 5 \iff x \leq \ln 5.\] \(\mathbb{S} = ]-\infty\,;\,\ln 5]\).
Résoudre \(\ln(2x-1) > 0\).
Domaine : \(2x - 1 > 0\), soit \(x > \tfrac{1}{2}\).
On remarque que \(\ln 1 = 0\), et \(\ln\) est croissante, donc : \[\ln(2x-1) > 0 \iff 2x - 1 > 1 \iff x > 1.\] En croisant avec le domaine \(x > \tfrac{1}{2}\), on obtient : \(\mathbb{S} = ]1\,;+\infty[\).
Résoudre \(e^{2x} > 3e^x\).
On écrit \(e^{2x} - 3e^x > 0\), puis on factorise par \(e^x > 0\) : \[e^x(e^x - 3) > 0.\] Puisque \(e^x > 0\) toujours, l'inégalité est équivalente à \(e^x - 3 > 0\), soit \(e^x > 3\), soit \(x > \ln 3\). \(\mathbb{S} = ]\ln 3\,;+\infty[\).
Quand une inéquation contient \(e^{2x}\) et \(e^x\), il est souvent plus rapide de factoriser par \(e^x\) (toujours positif) que de poser \(t = e^x\) : on économise le changement de variable tout en traitant le signe correctement.
Figure 3 — Résolution graphique d'inéquations exponentielles
VI.4 — Systèmes simples
Un système mêlant logarithmes et opérations arithmétiques se résout souvent en deux temps. On exploite d'abord les propriétés de \(\ln\) pour transformer la somme ou la différence de logarithmes en une relation sur le produit ou le quotient des inconnues. On dispose alors d'un système {somme ; produit} classique, que l'on résout via un trinôme du second degré dont les inconnues sont les deux racines.
Résoudre \(\displaystyle\begin{cases} x + y = 7 \\ \ln x + \ln y = \ln 12 \end{cases}\) avec \(x > 0\) et \(y > 0\).
La seconde équation s'écrit \(\ln(xy) = \ln 12\), soit \(xy = 12\) (par injectivité de \(\ln\)).
On sait donc que \(x + y = 7\) et \(xy = 12\) : \(x\) et \(y\) sont les racines du trinôme \[t^2 - 7t + 12 = 0.\] Discriminant : \(\Delta = 49 - 48 = 1\), \(\sqrt{\Delta} = 1\). \[t = \frac{7 \pm 1}{2} \Rightarrow t = 4 \text{ ou } t = 3.\] Ces deux valeurs sont positives, donc valides. \(\mathbb{S} = \{(4\,;\,3)\,;\,(3\,;\,4)\}\).
Résoudre \(\displaystyle\begin{cases} e^a \cdot e^b = e^5 \\ e^a + e^b = e^2 + e^3 \end{cases}\).
La première équation donne \(e^{a+b} = e^5\), soit \(a + b = 5\). La seconde montre que \(e^a\) et \(e^b\) ont pour somme \(e^2 + e^3\) et pour produit \(e^5\) (d'après la première équation).
\(e^a\) et \(e^b\) sont racines de \(t^2 - (e^2 + e^3)t + e^5 = 0\). On vérifie : \((t - e^2)(t - e^3) = t^2 - (e^2+e^3)t + e^5\). Oui. Donc \((e^a, e^b) = (e^2, e^3)\) ou \((e^3, e^2)\), ce qui donne \((a, b) = (2, 3)\) ou \((3, 2)\).
Un système à deux inconnues positives avec \(x + y = S\) et \(xy = P\) est toujours équivalent à : « \(x\) et \(y\) sont les racines de \(t^2 - St + P = 0\) ». Cette observation est l'outil central pour ce type de systèmes.
Exercice type Bac — Équations, inéquations et systèmes
Partie A — Équations exponentielles. Question 1 : résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{2x} - 4e^x + 3 = 0\).
On pose \(t = e^x > 0\) ; l'équation devient : \[t^2 - 4t + 3 = 0 = (t-1)(t-3).\] Donc \(t = 1\) ou \(t = 3\), deux valeurs positives. \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\) ; \(e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3\).
\(\mathbb{S} = \{0\,;\,\ln 3\}\)
Partie B — Équations logarithmiques. Question 2 : résoudre \(\ln(x^2 - 1) = \ln(2x + 2)\).
Domaine : \(x^2 - 1 > 0\) et \(2x + 2 > 0\), soit \((x < -1 \text{ ou } x > 1)\) et \(x > -1\). En intersectant : domaine \(= ]1\,;+\infty[\).
Sur le domaine, par injectivité de \(\ln\) : \[x^2 - 1 = 2x + 2 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x-3)(x+1) = 0.\] Soit \(x = 3\) ou \(x = -1\). Seul \(x = 3\) est dans \(]1\,;+\infty[\).
\(\mathbb{S} = \{3\}\)
Partie C — Inéquation. Question 3 : résoudre \(\ln(3x+1) \geq \ln(x+5)\).
Domaine : \(3x + 1 > 0\) et \(x + 5 > 0\), soit \(x > -\tfrac{1}{3}\) et \(x > -5\), donc \(x > -\tfrac{1}{3}\).
Sur ce domaine, \(\ln\) croissante : \[\ln(3x+1) \geq \ln(x+5) \iff 3x + 1 \geq x + 5 \iff 2x \geq 4 \iff x \geq 2.\]
\(\mathbb{S} = [2\,;+\infty[\)
Partie D — Système. Question 4 : résoudre \(\displaystyle\begin{cases} \ln x + \ln y = \ln 6 \\ \ln x - \ln y = \ln \tfrac{2}{3} \end{cases}\), \(x > 0\), \(y > 0\).
En additionnant les deux équations : \[2\ln x = \ln 6 + \ln\tfrac{2}{3} = \ln\!\left(6 \times \tfrac{2}{3}\right) = \ln 4.\] Donc \(\ln x = \tfrac{\ln 4}{2} = \ln 2\), soit \(x = 2\).
En soustrayant la deuxième de la première : \[2\ln y = \ln 6 - \ln\tfrac{2}{3} = \ln\!\left(6 \div \tfrac{2}{3}\right) = \ln 9.\] Donc \(\ln y = \tfrac{\ln 9}{2} = \ln 3\), soit \(y = 3\).
\(\mathbb{S} = \{(2\,;\,3)\}\)
Partie E — Question de synthèse. Question 5 : montrer que pour tout \(x > 0\), on a \(\ln x \leq x - 1\), puis en déduire que \(\ln x \leq x\) pour tout \(x > 0\).
On pose \(h(x) = x - 1 - \ln x\) pour \(x > 0\). \[h'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}.\] \(h'(x) < 0\) si \(x \in ]0\,;1[\), \(h'(1) = 0\), \(h'(x) > 0\) si \(x > 1\). Donc \(h\) admet un minimum en \(x = 1\), avec \(h(1) = 1 - 1 - 0 = 0\). Ainsi \(h(x) \geq 0\) pour tout \(x > 0\), c'est-à-dire \(\ln x \leq x - 1\).
Puisque \(x - 1 \leq x\) pour tout \(x\), on conclut par transitivité : \[\ln x \leq x - 1 \leq x \quad \text{pour tout } x > 0.\]
\(e^u = e^v \iff u = v\). Pour une équation en \(e^{2x}\) et \(e^x\), poser \(t = e^x > 0\) et résoudre le trinôme en \(t\), puis revenir par \(x = \ln t\) en vérifiant \(t > 0\).
\(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u > 0\) et \(v > 0\)). Toujours déterminer le domaine avant de résoudre, et vérifier que les solutions trouvées appartiennent bien à ce domaine.
\(\exp\) et \(\ln\) sont croissantes : elles conservent le sens des inégalités. Prendre le logarithme ou l'exponentielle ne retourne pas le signe. Ne pas oublier le domaine pour \(\ln\).
Transformer \(\ln x + \ln y\) en \(\ln(xy)\) pour obtenir un système {somme ; produit}. Les inconnues sont alors les racines d'un trinôme \(t^2 - St + P = 0\). Vérifier la positivité.