Analyse, Suites & Fonctions
Fonctions numériques · Suites · Logarithme & Exponentielle · Équations et inéquations
Fonctions numériques — Limites
Fonctions numériques — Limites
Limites usuelles, opérations sur les limites, formes indéterminées, limites de fonctions irrationnelles et limite d'une fonction composée du type \(f(ax+b)\).
📋 Sommaire du Chapitre
I.1 — Rappels : limites de référence
Limites des fonctions de référence
En un point où le dénominateur s'annule, il faut distinguer la limite à gauche et à droite : par exemple \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty\) alors que \(\displaystyle\lim_{x\to0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty\).
I.2 — Opérations et formes indéterminées
Opérations sur les limites
Les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de deux fonctions se calculent en combinant les limites de chaque fonction, sauf dans les quatre cas de forme indéterminée :
Méthode — Polynômes et fractions rationnelles
En \(+\infty\) ou \(-\infty\), un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. On factorise par la puissance dominante pour lever l'indétermination.
Exemple — Polynôme
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (3x^{2}-5x+1)\) est une forme
\(\infty-\infty\).
\(3x^{2}-5x+1 = x^{2}\left(3-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\).
Comme \(x^{2}\to+\infty\) et le facteur entre parenthèses \(\to 3\),
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (3x^{2}-5x+1) = +\infty\).
Exemple — Fraction rationnelle
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{2x+1}{x-3}\) est une forme
\(\dfrac{\infty}{\infty}\).
En divisant numérateur et dénominateur par \(x\) :
\(\dfrac{2+1/x}{1-3/x} \longrightarrow \dfrac{2}{1} = 2\).
I.3 — Limites de fonctions irrationnelles
Méthode — Quantité conjuguée
Pour lever une forme \(\infty-\infty\) faisant intervenir des racines carrées, on multiplie et on divise par l'expression conjuguée \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\), ce qui fait apparaître \(A-B\) au numérateur (identité \((\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B) = A-B\)).
Exemple
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\) est une forme \(\infty-\infty\).
Le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right) = 0\).
I.4 — Limite d'une fonction composée \(f(ax+b)\)
Théorème (cas du programme)
Soit \(u(x) = ax+b\) (\(a \neq 0\)) et \(f\) l'une des fonctions simples \(x^{2}\), \(\sqrt{x}\), \(\dfrac{1}{x}\), \(\ln x\), \(e^{x}\). Si \(u(x)\) tend vers \(\ell\) (fini ou infini) et si \(f\) a pour limite \(L\) en \(\ell\), alors :
En pratique : on calcule d'abord la limite de l'expression affine \(ax+b\), puis on applique la limite usuelle de \(f\) à ce résultat.
Exemple 1
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \sqrt{2x-3}\) : ici \(u(x)=2x-3\to+\infty\), et \(\sqrt{u}\to+\infty\). Donc la limite vaut \(+\infty\).
début du domaine \(x=\tfrac32\)
Piège — Limites à gauche et à droite d'un pôle
\(\displaystyle\lim_{x\to-2/3} \dfrac{1}{3x+2}\) n'existe pas globalement : à droite, \(3x+2\to0^{+}\), donc \(\dfrac{1}{3x+2}\to+\infty\) ; à gauche, \(3x+2\to0^{-}\), donc \(\dfrac{1}{3x+2}\to-\infty\). Il faut toujours préciser le sens d'approche au voisinage d'un pôle.
L'essentiel pour le Bac
- Limites usuelles : \(x^{n}\to+\infty\), \(1/x^{n}\to0\) en \(+\infty\) ; distinguer les limites à gauche/à droite en un pôle.
- Polynômes et fractions rationnelles en \(\pm\infty\) : facteur du terme de plus haut degré.
- Racines carrées, forme \(\infty-\infty\) : quantité conjuguée.
- \(f(ax+b)\) : calculer la limite de \(ax+b\), puis appliquer la limite usuelle de \(f\) (\(x^2\), \(\sqrt x\), \(1/x\), \(\ln x\), \(e^x\)) à ce résultat.
Fonctions numériques — Dérivation
Fonctions numériques — Dérivation
Nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles, opérations sur les dérivées et dérivée d'une fonction composée du type \(f(ax+b)\).
📋 Sommaire du Chapitre
II.1 — Rappels : nombre dérivé et tangente
Définition
Le nombre dérivé de \(f\) en \(x_{0}\) est, s'il existe :
La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x_{0}\) a pour équation :
Dérivées usuelles
II.2 — Opérations sur les dérivées
Règles opératoires
II.3 — Dérivée d'une fonction composée \(f(ax+b)\)
Théorème (cas du programme)
Si \(u(x) = ax+b\) et si \(f\) est dérivable en \(u(x)\), alors :
Formulaire pour les fonctions simples du programme
Exemples
\(f(x)=(3x-2)^{4}\) : \(f'(x) = 4\times3\times(3x-2)^{3} = 12(3x-2)^{3}\).
\(g(x)=\sqrt{5-2x}\) (défini pour \(x<\tfrac52\)) :
\(g'(x) = \dfrac{-2}{2\sqrt{5-2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5-2x}}\).
\(h(x)=e^{-2x+1}\) : \(h'(x) = -2e^{-2x+1}\).
\(k(x)=\ln(4x+3)\) (défini pour \(x>-\tfrac34\)) :
\(k'(x) = \dfrac{4}{4x+3}\).
II.4 — Signe de la dérivée et variations
Lien dérivée / variations
Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, \(f\) y est strictement croissante ; si \(f'(x) < 0\), \(f\) y est strictement décroissante ; si \(f'(x)=0\) en un point où \(f'\) change de signe, \(f\) y admet un extremum local.
Exemple
Étudier les variations de \(f(x)=(2x-1)^{2}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x) = 2\times2\times(2x-1) = 4(2x-1)\).
\(f'(x) > 0 \iff x > \tfrac12\) ; \(f'(x) < 0 \iff x < \tfrac12\).
\(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\tfrac12\right]\), croissante
sur \(\left[\tfrac12\,;+\infty\right[\), avec un minimum
\(f\!\left(\tfrac12\right)=0\).
L'essentiel pour le Bac
- \(f'(x_{0})=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ; tangente : \(y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\).
- Règles opératoires : somme, produit \((uv)'=u'v+uv'\), quotient \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\).
- \([f(ax+b)]' = a\,f'(ax+b)\) : retenir le formulaire pour \((ax+b)^n\), \(\sqrt{ax+b}\), \(\dfrac{1}{ax+b}\), \(\ln(ax+b)\), \(e^{ax+b}\).
- Signe de \(f'\) : détermine le sens de variation et les extremums.
Fonctions numériques — Travaux pratiques
Fonctions numériques — Travaux pratiques
Étude complète de fonctions polynômes (degré \(\le 4\)) et de fonctions rationnelles simples : variations, asymptotes verticales et horizontales.
📋 Sommaire du Chapitre
III.1 — Étude d'une fonction polynôme
Méthode
- Domaine de définition (toujours \(\mathbb{R}\) pour un polynôme).
- Calculer \(f'\) et la factoriser pour étudier son signe.
- Dresser le tableau de variations.
- Calculer les valeurs remarquables et tracer la courbe.
Exemple — \(f(x)=x^{4}-2x^{2}+1\)
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). On remarque que
\(f(x)=(x^{2}-1)^{2}\).
Dérivée : \(f'(x) = 4x^{3}-4x = 4x(x^{2}-1) = 4x(x-1)(x+1)\).
Tableau de signes de \(f'\) (produit de trois facteurs, coefficient \(4>0\)) : \(f'(x)<0\) sur \(]-\infty\,;-1[\), \(f'(x)>0\) sur \(]-1\,;0[\), \(f'(x)<0\) sur \(]0\,;1[\), \(f'(x)>0\) sur \(]1\,;+\infty[\).
\(f\) est donc décroissante, croissante, décroissante, croissante par morceaux : minimums locaux \(f(-1)=0\) et \(f(1)=0\), maximum local \(f(0)=1\).
III.2 — Fonction rationnelle et asymptotes
Méthode — Asymptotes
- Asymptote verticale \(x=x_{0}\) : la fonction tend vers \(\pm\infty\) quand \(x\) tend vers \(x_{0}\) (dénominateur nul).
- Asymptote horizontale \(y=\ell\) : la fonction tend vers le réel \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Exemple — \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\)
Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). On écrit \(f(x) = \dfrac{2(x-1)+3}{x-1} = 2+\dfrac{3}{x-1}\).
Quand \(x\to1^{+}\), \(\dfrac{3}{x-1}\to+\infty\) : \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to1^{-}\), \(f(x)\to-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale.
Quand \(x\to\pm\infty\), \(\dfrac{3}{x-1}\to0\), donc \(f(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale.
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^{2}} < 0\) pour tout \(x\neq1\) : \(f\) est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;1[\) et \(]1\,;+\infty[\).
III.3 — Exemple de synthèse
Exemple complet — \(f(x)=\dfrac{x+3}{2x-4}\)
Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
Asymptote verticale : quand \(x\to2^{+}\), le numérateur tend vers \(5>0\) et le dénominateur vers \(0^{+}\) : \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to2^{-}\), \(f(x)\to-\infty\). Asymptote verticale \(x=2\).
Asymptote horizontale : en divisant par \(x\), \(f(x) = \dfrac{1+3/x}{2-4/x} \to \dfrac12\) quand \(x\to\pm\infty\). Asymptote horizontale \(y=\dfrac12\).
Dérivée (règle du quotient, \(u=x+3\), \(v=2x-4\)) :
\(f'(x) < 0\) pour tout \(x\neq2\) : \(f\) est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
asymptote verticale \(x=2\)
asymptote horizontale \(y=\tfrac12\)
L'essentiel pour le Bac
- Polynôme : domaine \(\mathbb{R}\), factoriser \(f'\) pour le signe, tableau de variations.
- Fraction rationnelle : écrire sous la forme \(q + \dfrac{r}{x-x_0}\) pour lire directement les asymptotes.
- Asymptote verticale : limite infinie en un pôle ; asymptote horizontale : limite finie en \(\pm\infty\).
- Dérivée d'un quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\), signe souvent donné par le seul numérateur si celui-ci est constant.
Suites numériques
Suites numériques
Suites arithmétiques et géométriques, somme des termes, limite de \(q^{n}\) et limites de suites du type \(u_{n}=f(n)\).
📋 Sommaire du Chapitre
IV.1 — Généralités et sens de variation
Modes de génération
Une suite est définie soit de façon explicite (\(u_{n}=f(n)\)), soit par récurrence (\(u_{0}\) donné et \(u_{n+1}=f(u_{n})\)).
Méthode — Étudier la monotonie
On étudie le signe de \(u_{n+1}-u_{n}\) : si ce signe est constant positif (resp. négatif), la suite est croissante (resp. décroissante). Si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) à \(1\).
IV.2 — Suites arithmétiques
Définition
\((u_{n})\) est arithmétique de raison \(r\) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=u_{n}+r\).
Formules
Plus généralement, la somme de termes consécutifs vaut (nombre de termes) \(\times\) (premier terme + dernier terme) \(\div\ 2\).
Exemple
Soit \((u_{n})\) arithmétique de raison \(r=3\) et \(u_{0}=5\). Calculer \(u_{10}\) et \(S=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{10}\).
\(u_{10} = 5+10\times3 = 35\).
\(S = \dfrac{11\times(5+35)}{2} = \dfrac{11\times40}{2} = 220\).
IV.3 — Suites géométriques et somme des termes
Définition
\((u_{n})\) est géométrique de raison \(q\) (\(q\neq0\)) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=q\,u_{n}\).
Formules
Si \(q=1\), tous les termes sont égaux et \(S=(n+1)u_{0}\).
Exemple
Soit \((u_{n})\) géométrique de raison \(q=3\) et \(u_{0}=2\). Calculer \(u_{5}\) et \(S=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{5}\).
\(u_{5} = 2\times3^{5} = 2\times243 = 486\).
\(S = 2\times\dfrac{1-3^{6}}{1-3} = 2\times\dfrac{1-729}{-2} = 728\).
IV.4 — Limites de suites
Théorème (admis) — Limite de \(q^{n}\)
Exemple
Soit \(u_{n} = 5\times(0{,}5)^{n}+3\). Comme \(|0{,}5| < 1\), \((0{,}5)^{n}\to0\), donc \(u_{n}\to3\).
limite \(3\)
Limites de suites du type \(u_{n}=f(n)\)
Les techniques de calcul de limites de fonctions (chapitre I) s'appliquent directement aux suites \(u_{n}=f(n)\).
Exemples
\(u_{n} = \dfrac{2n+1}{n+3}\) : en divisant par \(n\),
\(\dfrac{2+1/n}{1+3/n} \longrightarrow 2\).
\(v_{n} = \sqrt{3n+1}\) : comme \(3n+1\to+\infty\), \(v_{n}\to+\infty\).
L'essentiel pour le Bac
- Arithmétique : \(u_{n}=u_{0}+nr\) ; somme = (nombre de termes) \(\times\) (premier+dernier) \(\div2\).
- Géométrique : \(u_{n}=u_{0}q^{n}\) ; somme \(=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (\(q\neq1\)).
- \(q^{n}\to0\) si \(|q|<1\), \(\to+\infty\) si \(q>1\), pas de limite si \(q\le-1\).
- \(u_{n}=f(n)\) : réutiliser les techniques de limites de fonctions (facteur dominant, composée affine+simple).
Fonction ln et exponentielle
Fonction ln et exponentielle
Définitions, propriétés algébriques, variations, limites et représentations graphiques des fonctions logarithme népérien et exponentielle.
📋 Sommaire du Chapitre
V.1 — La fonction logarithme népérien
Définition (admise)
Il existe une unique fonction dérivable sur \(]0\,;+\infty[\), notée \(\ln\), telle que \(\ln(1)=0\) et \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\) pour tout \(x>0\).
Propriété algébrique fondamentale
Conséquences, pour \(a,b>0\) et \(n\in\mathbb{Z}\) :
Variations et limites
\((\ln x)' = \dfrac1x > 0\) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(\ln\) est strictement croissante.
Valeurs remarquables : \(\ln(1)=0\) et \(\ln(e)=1\).
V.2 — La fonction exponentielle
Définition
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x\mapsto e^{x}\), est la fonction réciproque de \(\ln\) : pour \(x>0\), \(e^{\ln x}=x\) ; pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\ln(e^{x})=x\).
Propriétés
Variations et limites
\((e^{x})' = e^{x} > 0\) pour tout \(x\) : \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Valeurs remarquables : \(e^{0}=1\) et \(e^{1}=e\approx2{,}718\).
V.3 — Étude complète et représentation
Courbes symétriques
\(\ln\) et \(\exp\) étant réciproques l'une de l'autre, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
\(y=\ln x\)
\(y=x\)
Exemple — Résolution d'équations
\(\ln x = 2 \iff x = e^{2}\) (car \(\ln\) et \(\exp\) sont réciproques).
\(e^{x} = 5 \iff x = \ln 5\).
Exemple — Une inégalité classique
Étudier \(g(x) = e^{x}-x\) sur \(\mathbb{R}\), et en déduire que \(e^{x} \ge x+1\) pour tout \(x\).
\(g'(x) = e^{x}-1\) : \(g'(x)<0\) pour \(x<0\), \(g'(x)>0\) pour \(x>0\). \(g\) admet donc un minimum en \(x=0\), avec \(g(0) = 1-0 = 1\).
Le minimum de \(g\) vaut \(1\), donc \(g(x)\ge1\) pour tout \(x\), soit \(e^{x}-x\ge1\), c'est-à-dire \(\mathbf{e^{x}\ge x+1}\).
L'essentiel pour le Bac
- \(\ln(1)=0\), \((\ln x)'=1/x\), \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) ; strictement croissante, \(\ln x\to-\infty\) en \(0^+\), \(\to+\infty\) en \(+\infty\).
- \(\exp\) réciproque de \(\ln\) : \(e^{\ln x}=x\) (\(x>0\)), \(\ln(e^x)=x\) ; \(e^{a+b}=e^ae^b\), \((e^x)'=e^x\).
- \(\exp\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(e^x\to0\) en \(-\infty\), \(\to+\infty\) en \(+\infty\).
- Courbes de \(\ln\) et \(\exp\) symétriques par rapport à \(y=x\).
- Inégalité utile : \(e^{x}\ge x+1\) pour tout \(x\) (égalité en \(x=0\)).
Équations, inéquations et systèmes avec ln et exp
Équations, inéquations et systèmes avec ln et exp
Résolution d'équations et d'inéquations faisant intervenir le logarithme népérien et l'exponentielle, et systèmes simples, traités sur exemples.
📋 Sommaire du Chapitre
VI.1 — Équations avec exponentielle
Principe
La fonction exponentielle étant strictement croissante (donc injective) sur \(\mathbb{R}\) : \(e^{u}=e^{v} \iff u=v\).
Exemple 1 — Équation directe
\(e^{2x-1}=e^{3} \iff 2x-1=3 \iff x=2\).
Méthode — Changement d'inconnue
Pour une équation du type \(ae^{2x}+be^{x}+c=0\), on pose \(t=e^{x}\) (\(t>0\)) : l'équation devient un trinôme du second degré en \(t\), que l'on résout avant de revenir à \(x=\ln t\).
Exemple 2
Résoudre \(e^{2x}-5e^{x}+6=0\).
Avec \(t=e^{x}\) : \(t^{2}-5t+6=0 = (t-2)(t-3)\), donc \(t=2\) ou \(t=3\).
\(e^{x}=2 \Rightarrow x=\ln2\) ; \(e^{x}=3 \Rightarrow x=\ln3\).
\(\mathbb{S} = \{\ln2\,;\,\ln3\}\).
VI.2 — Équations avec logarithme
Principe
\(\ln\) étant strictement croissante (donc injective) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(\ln u=\ln v \iff u=v\) (à condition que \(u>0\) et \(v>0\)). Vérifier systématiquement le domaine avant de conclure.
Exemple 1
Résoudre \(\ln(x+2)=\ln(3x-4)\).
Domaine : \(x+2>0\) et \(3x-4>0\), soit \(x>\dfrac43\).
\(x+2=3x-4 \iff x=3\). Comme \(3>\dfrac43\), la solution est valide :
\(\mathbb{S}=\{3\}\).
Exemple 2 — Somme de logarithmes
Résoudre \(\ln x+\ln(x+3)=\ln10\).
Domaine : \(x>0\).
\(\ln\big(x(x+3)\big)=\ln10 \iff x^{2}+3x-10=0\).
\(\Delta=9+40=49\), \(\sqrt\Delta=7\) : \(x=\dfrac{-3\pm7}{2}\), soit
\(x=2\) ou \(x=-5\).
Seul \(x=2\) respecte le domaine (\(x>0\)) :
\(\mathbb{S}=\{2\}\).
Piège
Ne jamais oublier de vérifier le domaine avant de valider les solutions trouvées : une solution obtenue par le calcul algébrique peut être rejetée si elle rend l'argument d'un logarithme négatif ou nul.
VI.3 — Inéquations
Principe
\(\exp\) et \(\ln\) étant strictement croissantes, elles conservent le sens des inégalités (sur leur domaine respectif).
Exemple 1
\(e^{x} \le 5 \iff x \le \ln5\) (car \(\exp\) est croissante).
Exemple 2
Résoudre \(\ln(2x-1) > 0\).
Domaine : \(2x-1>0 \iff x>\dfrac12\).
\(\ln(2x-1)>0 \iff 2x-1>1 \iff x>1\) (car \(\ln1=0\) et \(\ln\)
croissante).
En combinant avec le domaine : \(\mathbb{S} = ]1\,;+\infty[\).
VI.4 — Systèmes simples
Méthode
Un système faisant intervenir une somme et un produit (ou une somme de logarithmes) se ramène souvent, après passage à l'exponentielle, à un système {somme ; produit} classique, résolu via l'équation du second degré dont les inconnues sont racines.
Exemple
Résoudre \(\begin{cases} x+y=7 \\ \ln x+\ln y=\ln12 \end{cases}\) avec \(x>0\), \(y>0\).
La seconde équation donne \(\ln(xy)=\ln12 \iff xy=12\).
\(x\) et \(y\) sont donc les solutions de
\(t^{2}-7t+12=0\) (somme \(7\), produit \(12\)).
\(\Delta=49-48=1\), \(\sqrt\Delta=1\) : \(t=\dfrac{7\pm1}{2}\), soit
\(t=4\) ou \(t=3\).
Les deux valeurs sont positives : \(\mathbb{S} = \{(4\,;3)\,;\,(3\,;4)\}\).
L'essentiel pour le Bac
- \(e^{u}=e^{v} \iff u=v\) ; \(\ln u=\ln v \iff u=v\) (avec \(u,v>0\)) — toujours vérifier le domaine.
- Équation en \(e^{2x}\), \(e^{x}\) : poser \(t=e^{x}>0\), résoudre le trinôme, puis revenir par \(x=\ln t\).
- Inéquations : \(\exp\) et \(\ln\) conservent le sens des inégalités (fonctions strictement croissantes).
- Système somme/produit (via \(\ln(xy)\)) : les inconnues sont racines d'un trinôme du second degré.
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